本發(fā)明涉及欠驅(qū)動(dòng)橋式吊車系統(tǒng)的控制技術(shù)領(lǐng)域，尤其涉及一種帶有不確定動(dòng)力學(xué)以及無(wú)負(fù)載擺角反饋的橋式吊車有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器及設(shè)計(jì)方法。

背景技術(shù)：

吊車，又稱起重機(jī)，是一種大型的工程搬運(yùn)設(shè)備，被廣泛地應(yīng)用于建筑工地、海港、碼頭等諸多領(lǐng)域。根據(jù)結(jié)構(gòu)的差異，吊車可大致地分為橋式吊車、塔式吊車、回轉(zhuǎn)懸臂式吊車。盡管吊車種類繁多，但它們都有一個(gè)本質(zhì)特性：欠驅(qū)動(dòng)特性。欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)節(jié)省了部分執(zhí)行器，因此具有硬件成本低、機(jī)電結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、重量輕、能耗小等優(yōu)點(diǎn)。考慮到欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的諸多優(yōu)勢(shì)，其控制方法的研究已經(jīng)成為近年來(lái)的一大熱點(diǎn)。在各類吊車中，橋式吊車最具代表性，應(yīng)用也最為廣泛。眾多學(xué)者針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)橋式吊車系統(tǒng)提出了一系列有意義的控制方法。

直到現(xiàn)在，欠驅(qū)動(dòng)橋式吊車系統(tǒng)的控制問(wèn)題仍然是一個(gè)開(kāi)放的課題。一方面，由于臺(tái)車質(zhì)量、負(fù)載質(zhì)量、吊繩長(zhǎng)度、摩擦力、外部擾動(dòng)的不確定性使得橋式吊車系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)具有不確定項(xiàng)。并且，這些不確定項(xiàng)很難提前預(yù)測(cè)，導(dǎo)致已有大多數(shù)控制方法的控制性能大打折扣。因此，吊車控制方法的設(shè)計(jì)應(yīng)充分考慮不確定動(dòng)力學(xué)的影響。另一方面，已有大多數(shù)控制方法均需要負(fù)載擺角的反饋。然而，在很多情況下，負(fù)載擺角是無(wú)法測(cè)量的。因此，設(shè)計(jì)出不需要負(fù)載擺角反饋的高性能控制方法是吊車現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際的需要。

實(shí)際上，輸入整形方法以及PD控制器并不需要負(fù)載擺角的反饋。輸入整形方法根據(jù)吊繩長(zhǎng)度信息，將基本命令信號(hào)與一系列被稱為輸入整形器的特定脈沖信號(hào)做卷積運(yùn)算。該方法可保證系統(tǒng)無(wú)殘余擺動(dòng)，然而其控制性能卻嚴(yán)重依賴于模型的精確程度，當(dāng)模型參數(shù)存在不確定性時(shí)，其控制效果會(huì)急劇下降。PD控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)。然而，PD控制器對(duì)參數(shù)不確定性十分敏感，限制了其實(shí)用性。

滑?？刂品椒ㄒ约白赃m應(yīng)控制方法可有效地處理系統(tǒng)參數(shù)存在不確定性的問(wèn)題。詳細(xì)地來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的一階滑?？刂品椒ㄒ殉晒?yīng)用于橋式吊車系統(tǒng)中，解決了定位和消擺問(wèn)題，并取得很好地控制結(jié)果。不過(guò)，傳統(tǒng)的一階滑?？刂品椒ㄊ遣贿B續(xù)的，對(duì)驅(qū)動(dòng)裝置帶來(lái)潛在的危險(xiǎn)并伴隨著震顫現(xiàn)象。并且，以上控制方法僅能保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，這在高精度要求的運(yùn)輸任務(wù)中是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的；另外，以上控制方法均假設(shè)其不確定動(dòng)力學(xué)與系統(tǒng)參數(shù)為線性的關(guān)系，均需要負(fù)載擺角的反饋。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的就是為了解決上述問(wèn)題，提出了一種帶有不確定動(dòng)力學(xué)的吊車有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器及方法，該控制器及方法基于兩個(gè)終端滑模觀測(cè)器，其中一個(gè)觀測(cè)器用來(lái)估計(jì)負(fù)載擺角，另一個(gè)觀測(cè)器用來(lái)估計(jì)不確定動(dòng)力學(xué)。

為了實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明采用如下技術(shù)方案：

一種帶有不確定動(dòng)力學(xué)的吊車有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器，包括：

設(shè)計(jì)第一終端滑模觀測(cè)器對(duì)負(fù)載擺角θ進(jìn)行估計(jì)；設(shè)計(jì)第二終端滑模觀測(cè)器對(duì)不確定動(dòng)力學(xué)h進(jìn)行估計(jì)；根據(jù)所得到的估計(jì)值設(shè)計(jì)無(wú)負(fù)載擺角反饋的有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器如下：

其中，k₀₄∈R⁺為正的控制增益；為臺(tái)車速度的估計(jì)誤差，為吊車位移的一階導(dǎo)數(shù)，為吊車位移一階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值，為吊車位移二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值；p₃,q₃∈R⁺為正的奇數(shù)，且有p₃＜q₃；e₃＝x_d-x為臺(tái)車的跟蹤誤差，x_d為臺(tái)車的目標(biāo)軌跡；M為臺(tái)車質(zhì)量，m_p為負(fù)載質(zhì)量；為γ₂的估計(jì)值，γ₂＝h；f_rx為摩擦力，l為吊繩長(zhǎng)度；為負(fù)載擺角的估計(jì)值，為負(fù)載擺角一階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值，為負(fù)載擺角二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值；

進(jìn)一步地，所述第一終端滑模觀測(cè)器具體為：

其中，定義輔助函數(shù)為p的估計(jì)值，p_e為觀測(cè)誤差，

k₀₁∈R⁺為正的觀測(cè)增益，p₁,q₁∈R⁺為正奇數(shù)，且有p₁＜q₁；p_e為觀測(cè)誤差，b₁為正常數(shù)。

進(jìn)一步地，所述第二終端滑模觀測(cè)器具體為：

其中，定義變量：γ₂＝h；

引入狀態(tài)：

關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)：

則：u為不確定動(dòng)態(tài)h關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；

以及分別為γ₁和γ₂的估計(jì)，k₀₂∈R⁺為正的觀測(cè)增益，γ_v＝l₁sgn(e₁),l₁,l₂,l₃,l₄,l₅∈R⁺為正的觀測(cè)增益，q₂和p₂為正的奇數(shù)，且q₂＞p₂。

一種帶有不確定動(dòng)力學(xué)的吊車有限時(shí)間軌跡跟蹤控制方法，包括：

(1)假設(shè)不確定動(dòng)力學(xué)f關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是有界，不確定動(dòng)力學(xué)h關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)有界，負(fù)載擺角θ以及的初始估計(jì)與實(shí)際值相同；

(2定義關(guān)于負(fù)載擺角θ的輔助函數(shù)p以及求解輔助函數(shù)p的觀測(cè)誤差p_e，根據(jù)觀測(cè)誤差p_e設(shè)計(jì)第一終端滑模觀測(cè)器，對(duì)負(fù)載擺角θ進(jìn)行估計(jì)；使得在有限時(shí)間T_o內(nèi)準(zhǔn)確收斂至p，且在有限時(shí)間T_o內(nèi)準(zhǔn)確收斂至負(fù)載擺角θ；其中為輔助函數(shù)p的估計(jì)值，為負(fù)載擺角θ的估計(jì)值；

(3)定義關(guān)于不確定動(dòng)力學(xué)h的輔助函數(shù)Q以及設(shè)計(jì)第二終端滑模觀測(cè)器，在有限的時(shí)間內(nèi)精確的估計(jì)出不確定動(dòng)力學(xué)h；

(4)根據(jù)得到的負(fù)載擺角θ以及不確定動(dòng)力學(xué)h的估計(jì)值，得到無(wú)負(fù)載擺角反饋的有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器；

(5)將實(shí)際檢測(cè)的臺(tái)車位移x、臺(tái)車速度輸入到上述帶有不確定動(dòng)力學(xué)的吊車有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器中，輸出驅(qū)動(dòng)臺(tái)車運(yùn)動(dòng)的力矩F，在系統(tǒng)臺(tái)車、負(fù)載質(zhì)量、吊繩長(zhǎng)度、摩擦力參數(shù)不確定以及存在外部擾動(dòng)的情況下均能夠在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)臺(tái)車的精確定位以及吊鉤擺動(dòng)、負(fù)載繞吊鉤擺動(dòng)的有效抑制與消除。

進(jìn)一步地，所述步驟(2)中，關(guān)于負(fù)載擺角θ的輔助函數(shù)p具體為:

其中，g為重力加速度，l為吊繩長(zhǎng)度，為負(fù)載擺角的二階導(dǎo)數(shù)。

進(jìn)一步地，所述步驟(2)中，第一終端滑模觀測(cè)器具體為：

其中，k₀₁∈R⁺為正的觀測(cè)增益，p₁,q₁∈R⁺為正奇數(shù)，且有p₁＜q₁；b₁為正常數(shù)。

進(jìn)一步地，所述步驟(3)中，關(guān)于不確定動(dòng)力學(xué)h的輔助函數(shù)Q具體為；

對(duì)Q關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)得：

其中，f_rx為摩擦力，l為吊繩長(zhǎng)度；為負(fù)載擺角的估計(jì)值，為負(fù)載擺角一階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值，為負(fù)載擺角二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值；F為施加于臺(tái)車上的合力。

進(jìn)一步地，第二終端滑模觀測(cè)器具體為：

其中，定義變量：γ₂＝h；

引入狀態(tài)：

則：u為不確定動(dòng)態(tài)h關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；

以及分別為γ₁和γ₂的估計(jì)，k₀₂∈R⁺為正的觀測(cè)增益，γ_v＝l₁sgn(e₁)，l₁,l₂,l₃,l₄,l₅∈R⁺為正的觀測(cè)增益，q₂和p₂為正的奇數(shù)，且q₂＞p₂。

進(jìn)一步地，所述步驟(4)中，無(wú)負(fù)載擺角反饋的有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器具體為：

其中，k₀₄∈R⁺為正的控制增益；為臺(tái)車速度的估計(jì)誤差，為吊車位移的一階導(dǎo)數(shù)，為吊車位移一階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值，為吊車位移二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值；p₃,q₃∈R⁺為正的奇數(shù)，且有p₃＜q₃；e₃＝x_d-x為臺(tái)車的跟蹤誤差，x_d為臺(tái)車的目標(biāo)軌跡；M為臺(tái)車質(zhì)量，m_p為負(fù)載質(zhì)量；為γ₂的估計(jì)值，γ₂＝h；f_rx為摩擦力，l為吊繩長(zhǎng)度；為負(fù)載擺角的估計(jì)值，為負(fù)載擺角一階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值，為負(fù)載擺角二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值；

進(jìn)一步地，為抑制并消除負(fù)載擺角，期望的臺(tái)車軌跡選擇為：

其中，為目標(biāo)位置；為臺(tái)車最大允許加速度以及速度；表示調(diào)節(jié)初始加速度的參數(shù)；κ＞1.0754為正的控制增益。

本發(fā)明的有益效果是：

與已有大多數(shù)控制方法相比，本發(fā)明所提控制器不需要負(fù)載擺角的反饋，并解決系統(tǒng)存在的不確定動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題。本發(fā)明所提控制方法針對(duì)不確定系統(tǒng)參數(shù)以及外部擾動(dòng)具有很強(qiáng)的魯棒性；不需要負(fù)載擺角的反饋，更具實(shí)際運(yùn)行價(jià)值。本發(fā)明所設(shè)計(jì)控制器可實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間的收斂性。利用Lyapunov方法以及LaSalle不變性原理證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與收斂性。仿真結(jié)果表明所提控制方法的正確性與有效性。

附圖說(shuō)明

圖1為橋式吊車系統(tǒng)示意圖；

圖2為利用本發(fā)明方法在精確模型參數(shù)下得到的控制輸入、負(fù)載擺角和臺(tái)車軌跡仿真結(jié)果圖；

圖3為利用LQR控制器在精確模型參數(shù)下得到的控制輸入、負(fù)載擺角和臺(tái)車軌跡仿真結(jié)果圖；

圖4為利用增強(qiáng)耦合非線性控制器在精確模型參數(shù)下得到的控制輸入、負(fù)載擺角和臺(tái)車軌跡仿真結(jié)果圖；

圖5為利用PD控制器在精確模型參數(shù)下得到的控制輸入、負(fù)載擺角和臺(tái)車軌跡仿真結(jié)果圖；

圖6為利用本發(fā)明方法在不確定動(dòng)力學(xué)作用下得到的控制輸入、負(fù)載擺角和臺(tái)車軌跡仿真結(jié)果圖；

圖7為基于運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的自適應(yīng)控制方法在不確定動(dòng)力學(xué)作用下得到的控制輸入、負(fù)載擺角和臺(tái)車軌跡仿真結(jié)果圖。

具體實(shí)施方式：

下面結(jié)合附圖與實(shí)例對(duì)本發(fā)明做進(jìn)一步說(shuō)明：

本發(fā)明提出了一種帶有不確定動(dòng)力學(xué)以及無(wú)負(fù)載擺角反饋的橋式吊車有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器及設(shè)計(jì)方法。具體來(lái)說(shuō)，基于兩個(gè)終端滑模觀測(cè)器，其中一個(gè)觀測(cè)器用來(lái)估計(jì)負(fù)載擺角，另一個(gè)觀測(cè)器用來(lái)估計(jì)不確定動(dòng)力學(xué)。然后，通過(guò)這些估計(jì)的信息，提出有限時(shí)間軌跡跟蹤控制方法。利用Lyapunov方法以及LaSalle不變性原理證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與收斂性。仿真結(jié)果表明所提控制方法的正確性與有效性。

1.橋式吊車動(dòng)力學(xué)模型

橋式吊車系統(tǒng)模型如圖1所示，其動(dòng)力學(xué)模型可描述為：

其中，M為臺(tái)車質(zhì)量，m_p表示負(fù)載質(zhì)量，l代表吊繩長(zhǎng)度，h和f為不確定動(dòng)力學(xué)，x(t)代表吊車位移，θ(t)表示負(fù)載擺角，f_rx為摩擦力，F(xiàn)為施加于臺(tái)車上的合力。

實(shí)際上，(1)式的不確定動(dòng)力學(xué)h以及(2)式的不確定動(dòng)力學(xué)f是由不確定的臺(tái)車質(zhì)量ΔM、不確定的負(fù)載質(zhì)量Δm_p、不確定的吊繩長(zhǎng)度Δl、不確定的摩擦力Δf_rx、外部擾動(dòng)d₁以及d₂引起的。此時(shí)不確定動(dòng)力學(xué)h和f可寫(xiě)為：

為不失一般性，進(jìn)行如下的假設(shè)：

假設(shè)1：不確定動(dòng)力學(xué)f關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是有界的，其界限為lb₁，即：

其中，b₁∈R⁺為已知的正常數(shù)。

假設(shè)2：為促進(jìn)接下來(lái)分析，假設(shè)θ以及的初始估計(jì)與實(shí)際值相同，即：

假設(shè)3：不確定動(dòng)力學(xué)h關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)表示為u。雖然u未知，但其幅值為有界的，即||u||≤π，其中，π∈R+為已知的正常數(shù)。

2.無(wú)負(fù)載擺角反饋的有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

2.1負(fù)載擺角估計(jì)

為估計(jì)不方便測(cè)量的負(fù)載擺角，設(shè)計(jì)了一個(gè)終端滑模觀測(cè)器。

針對(duì)吊車系統(tǒng)，sinθ≈θ,cosθ≈1是成立的。因此，(2)式可寫(xiě)為：

定義輔助函數(shù)p以及分別為其中，為p的估計(jì)值，為θ的估計(jì)值。p的觀測(cè)誤差為：

其中，p_e為觀測(cè)誤差。

為估計(jì)p，針對(duì)帶有不確定動(dòng)力學(xué)f的系統(tǒng)(6)，設(shè)計(jì)如下形式的終端滑模觀測(cè)器：

其中，k₀₁∈R⁺為正的觀測(cè)增益，p₁,q₁∈R⁺為正奇數(shù)，且有p₁＜q₁，b₁∈R⁺為已知的正常數(shù)。

定理1：針對(duì)含有不確定動(dòng)力學(xué)f的動(dòng)力學(xué)方程(6)，滑模觀測(cè)器(8)可保證在有限時(shí)間T_o內(nèi)準(zhǔn)確收斂至p，且在有限時(shí)間T_o內(nèi)準(zhǔn)確收斂至θ，其中：

那么，當(dāng)t≥T_o時(shí)，p_e≡0，

證明：選取候選Lyapunov函數(shù)為：

對(duì)(10)式關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)并將(7)、(8)式代入可得：

將(5)式代入(11)式可得：

p₁、q₁為正的奇數(shù)，那么p₁+q₁為偶數(shù)，則與此同時(shí)，求解(12)式可得：

由(13)式可知，當(dāng)t≥T₀時(shí)，V_O1(t)≡0，其中：

由V_O1(t)≡0可得：

由(15)式以及p、的定義可得：

定義結(jié)合假設(shè)2，(16)式可寫(xiě)為：

求解(17)式可得：

α＝0 (18)

由(18)式得：

由(15)、(19)式可知，定理1得證。

2.2不確定動(dòng)力學(xué)h的估計(jì)

為保證控制器的高性能，應(yīng)估計(jì)出吊車系統(tǒng)中未確定動(dòng)態(tài)h，并進(jìn)行有效地補(bǔ)償。為此，設(shè)計(jì)一個(gè)滑模觀測(cè)器來(lái)估計(jì)不確定動(dòng)力學(xué)h。

定義一個(gè)輔助函數(shù)：對(duì)Q關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)可得：

由(19)式可知，當(dāng)t≥T₀時(shí)，引入一個(gè)輔助函數(shù)E，其表達(dá)式為：此時(shí)，(20)式可寫(xiě)為：

為促進(jìn)接下來(lái)滑模觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，引入一個(gè)新的狀態(tài)其表達(dá)式為：

其中，k₀₂∈R⁺為正的觀測(cè)增益。

對(duì)(22)式關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)可得：

那么，對(duì)不確定動(dòng)態(tài)h的估計(jì)問(wèn)題就轉(zhuǎn)換成了對(duì)線性增廣系統(tǒng)(23)的狀態(tài)估計(jì)。其中(23)式中可測(cè)量/可求出。假設(shè)不確定動(dòng)態(tài)h關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為u，并引入兩個(gè)新的變量γ₁、γ₂，其表達(dá)式為：γ₂＝h。此時(shí)，(23)可寫(xiě)為：

為估計(jì)不確定動(dòng)態(tài)h(γ₂)，定義如下形式的終端滑模觀測(cè)器：

其中，以及分別為γ₁和γ₂的估計(jì)，γ_v＝l₁sgn(e₁),l₁,l₂,l₃,l₄,l₅∈R⁺為正的觀測(cè)增益，q₂和p₂為正的奇數(shù)，且有q₂＞p₂。

定義觀測(cè)誤差e為：e＝[e₁ e₂]^T。那么，由(24)-(27)式可得觀測(cè)誤差e的動(dòng)力學(xué)方程為：

引理1：在終端滑模觀測(cè)器(26)和(27)的作用下，當(dāng)t≥T₀時(shí)，觀測(cè)誤差系統(tǒng)(28)和(29)中的觀測(cè)誤差e是一致最終有界的。在此過(guò)程中，假設(shè)γ₁、γ₂在t＝T₀時(shí)的估計(jì)值與實(shí)際值相等，即：

證明：考慮如下形式的Lyapunov函數(shù)：

對(duì)(30)式關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，并將(28)、(29)式代入可得：

其中：

由于k₀₂,l₂,l₃為正數(shù)，那么β為正定的。因此，β的最小特征值λ_min為正的。

緊接著，(31)式可寫(xiě)為：

當(dāng)||e||≠0時(shí)，為保證以下條件應(yīng)滿足：

換句話說(shuō)，當(dāng)e不在集合內(nèi)時(shí)，為負(fù)。此時(shí)，V_O2單調(diào)遞減。明顯地，V_O2的遞減最終將驅(qū)動(dòng)e進(jìn)入集合D內(nèi)，然后將限制在集合D內(nèi)。由于即||e(T₀)||＝0，由Lyapunov定理以及LaSalle不變性原理可知，當(dāng)t≥T₀時(shí)，觀測(cè)誤差均限制在集合D內(nèi)。這表明e是一致最終有界的。

定理2：考慮由線性系統(tǒng)(19)、(20)以及終端滑模觀測(cè)器(21)、(22)得到的誤差觀測(cè)系統(tǒng)(23)、(24)，選擇觀測(cè)增益l₁,l₂,l₃,l₄,l₅使得：

l₅-π＞0 (35)

在有限的時(shí)間內(nèi)可精確的估計(jì)出不確定動(dòng)力學(xué)h。

證明：此過(guò)程包括如下兩方面的證明。

1)e₁的有限時(shí)間收斂性

考慮如下形式的Lyapunov函數(shù)：

對(duì)(36)式關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，并將(28)式代入可得：

針對(duì)||e₁||≠0，為保證選擇：

為保證(38)式成立，選擇：

求解(39)式可得：

那么，

成立。

對(duì)(41)式關(guān)于時(shí)間積分，可得：

由(42)式可知，當(dāng)t＝T₁時(shí)：

由(28)式可得：

2)e₂的有限時(shí)間收斂性：當(dāng)t≥T₁時(shí)，且有：

為完成定理2的證明，考慮如下形式的正定標(biāo)量函數(shù)：

對(duì)(45)式關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，并將(35)、(44)式代入可得:

求解(46)式可得:

由(47)式可得，當(dāng)t＝T₂時(shí)：

||e₂||＝0。換句話說(shuō)，不確定動(dòng)態(tài)可在有限時(shí)間T₂內(nèi)，由精確估計(jì)出不確定動(dòng)力學(xué)h。

2.3無(wú)負(fù)載反饋的有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器

為完成軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)，定義如下形式的臺(tái)車位移估計(jì)表達(dá)式：

其中，k₀₃,δ₀∈R⁺為正的增益，p₃,q₃∈R⁺為正的奇數(shù)，且有p₃＜q₃，e₃＝x_d-x為臺(tái)車的跟蹤誤差，x_d為臺(tái)車的目標(biāo)軌跡，

因此，無(wú)負(fù)載擺角反饋的有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)為：

其中，為臺(tái)車速度的估計(jì)誤差，k₀₄∈R+為正的控制增益。

定理3：所提跟蹤控制器(50)以及終端滑模觀測(cè)器(8)、(26)、(27)可保證臺(tái)車軌跡在有限時(shí)間內(nèi)收斂至期望軌跡。

證明：由e₃，e₄的定義可得：

由(49)、(51)式可知：

另一方面，由(1)式可得:

為證明定理3，選擇如下的Lyapunov候選函數(shù)：

對(duì)(54)式關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，并將(50)、(51)、(53)式代入可得:

由定理1可知，當(dāng)t≥T₀時(shí)，由定理2可知，當(dāng)t≥T₂時(shí)，其中：T₂≥T₀。那么，(55)式可寫(xiě)為:

經(jīng)過(guò)有限時(shí)間T₂后，(49)式可簡(jiǎn)化為:

其中:

求解(50)式可得:

因此，有(58)式可知，當(dāng)t≥T₃時(shí)，e₃≡0，e₄≡0，其中:

這表明，臺(tái)車的跟蹤誤差e₃在有限的時(shí)間T₃內(nèi)收斂至0。

備注1：為抑制并消除負(fù)載擺角，期望的臺(tái)車軌跡x_d選擇為

其中，為目標(biāo)位置；為臺(tái)車最大允許加速度以及速度；表示調(diào)節(jié)初始加速度的參數(shù)；κ＞1.0754為正的控制增益。

臺(tái)車期望的目標(biāo)軌跡(由(60)式表示)由兩部分組成：

(i)定位參考軌跡x_d1：驅(qū)動(dòng)臺(tái)車至目標(biāo)位置；

(ii)消擺部分x_d2：快速消除負(fù)載擺動(dòng)并不影響臺(tái)車的定位性能。

3.數(shù)值仿真

為驗(yàn)證所提控制方法的正確性與有效性，進(jìn)行如下兩組仿真實(shí)驗(yàn)。詳細(xì)地來(lái)說(shuō)，在第一組仿真實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)對(duì)比LQR控制器，增強(qiáng)耦合非線性控制器，PD控制器，驗(yàn)證所提控制方法控制性能的優(yōu)異性。在第一組組實(shí)驗(yàn)中，由于LQR控制器，增強(qiáng)耦合非線性控制器，PD控制器均是基于精確動(dòng)力學(xué)的情況下提出的，所以h和f設(shè)為0。第二組仿真實(shí)驗(yàn)將驗(yàn)證所提控制方法針對(duì)不確定動(dòng)力學(xué)的魯棒性，并與基于運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的自適應(yīng)跟蹤控制器進(jìn)行對(duì)比。

LQR控制器、增強(qiáng)耦合非線性控制器、PD控制器以及基于運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的自適應(yīng)跟蹤控制器的表達(dá)式如下：

1)LQR控制器

其中，為控制增益。

2)增強(qiáng)耦合非線性控制器

其中，為正的控制增益，ξ_x為如下的輔助函數(shù)：

3)PD控制器

其中，k_p,k_d∈R⁺為正的控制增益。

4)基于運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的自適應(yīng)跟蹤控制器

其中，為正的控制增益，r＝x-x_d1為臺(tái)車跟蹤誤差，為參數(shù)向量的在線估計(jì)，由以下更新率產(chǎn)生：

其中，Γ為正定對(duì)稱對(duì)角更新增益矩陣。

仿真1：精確模型參數(shù)下控制性能的驗(yàn)證：在本組實(shí)驗(yàn)中，吊車系統(tǒng)參數(shù)的實(shí)際值與名義值是相同的，設(shè)為：

M＝7kg,m_p＝1kg,l＝0.6m,h＝f＝0

摩擦力具有如下形式：

臺(tái)車目標(biāo)位置為：

p_d＝1m

期望的臺(tái)車軌跡(60)的各個(gè)參數(shù)設(shè)為：

k_a＝0.5,k_v＝0.5,ε＝2,κ＝4

本發(fā)明所設(shè)計(jì)控制器、LQR控制器、增強(qiáng)耦合非線性控制器、PD控制器的控制增益見(jiàn)表1。

表1.仿真1控制增益

本發(fā)明所設(shè)計(jì)控制器、LQR控制器、增強(qiáng)耦合非線性控制器以及PD控制器的仿真結(jié)果如圖2-5所示。通過(guò)對(duì)比圖2與圖3-5可知，在相似的運(yùn)輸時(shí)間下(5s內(nèi))，所提控制方法的最大負(fù)載擺角以及驅(qū)動(dòng)力是這四種控制方法中最小的。這些結(jié)果表明了所提控制方法控制性能的優(yōu)異性。

仿真2：不確定動(dòng)力學(xué)作用下控制性能的驗(yàn)證：在本組實(shí)驗(yàn)中，吊車系統(tǒng)參數(shù)的名義值設(shè)置為：

M＝12kg,m_p＝9kg,l＝0.7m

臺(tái)車質(zhì)量、負(fù)載質(zhì)量以及吊繩長(zhǎng)度的實(shí)際值分別為：14kg、10kg、1.0m。那么，下式可得：

ΔM＝2kg,Δm_p＝1kg,Δl＝0.3m

摩擦力的名義值和仿真1的相同，其實(shí)際值為：

為模擬外部擾動(dòng)，將正弦擾動(dòng)d₁以及隨機(jī)擾動(dòng)d₂施加于吊車系統(tǒng)中，其幅值均為10。

臺(tái)車的目標(biāo)位置設(shè)置為：

p_d＝1m

期望目標(biāo)軌跡(60)的參數(shù)和仿真1中的相同。

本發(fā)明所設(shè)計(jì)控制器以及基于運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的自適應(yīng)控制器的控制增益見(jiàn)表2。

表2仿真2控制增益

圖6-7所示為所提控制方法與基于運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的自適應(yīng)控制方法在存在不確定動(dòng)力學(xué)的仿真結(jié)果。由圖6-7可知，不確定動(dòng)力學(xué)對(duì)所提控制方法的跟蹤控制性能影響不大。然而，當(dāng)存在不確定動(dòng)力學(xué)時(shí)，基于運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的自適應(yīng)控制方法的控制性能大打折扣。由圖6可知，估計(jì)的負(fù)載擺角的曲線幾乎與負(fù)載擺角的實(shí)際曲線相同，這表明針對(duì)負(fù)載擺角設(shè)計(jì)的終端滑模觀測(cè)器的正確性。這些優(yōu)點(diǎn)為本發(fā)明所提控制方法的實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了便利。

上述雖然結(jié)合附圖對(duì)本發(fā)明的具體實(shí)施方式進(jìn)行了描述，但并非對(duì)本發(fā)明保護(hù)范圍的限制，所屬領(lǐng)域技術(shù)人員應(yīng)該明白，在本發(fā)明的技術(shù)方案的基礎(chǔ)上，本領(lǐng)域技術(shù)人員不需要付出創(chuàng)造性勞動(dòng)即可做出的各種修改或變形仍在本發(fā)明的保護(hù)范圍以內(nèi)。