本發(fā)明屬于精密加工制造領(lǐng)域，是一種壓電精密位置平臺(tái)自適應(yīng)輸出反饋逆控制方法。

背景技術(shù)：

在現(xiàn)有技術(shù)中，基于智能材料的執(zhí)行器被廣泛地應(yīng)用在微型和納米級(jí)系統(tǒng)，金屬切削系統(tǒng)和其他超高精密定位系統(tǒng)。然而，在智能材料為基礎(chǔ)的執(zhí)行器中存在不可避免的缺點(diǎn)是滯后現(xiàn)象非線性。因?yàn)闇笫遣豢晌⒎趾投嘀档?，?dāng)一個(gè)控制系統(tǒng)對(duì)于滯后缺乏補(bǔ)償時(shí)，它可能會(huì)表現(xiàn)出不理想的屬性，如振蕩，甚至不穩(wěn)定。

通常處理滯后的方法一種是構(gòu)造磁滯的逆模型，并且將其作為補(bǔ)償器放在執(zhí)行器之前的控制系統(tǒng)中；另一種方法是在不建立磁滯逆模型的情況下設(shè)計(jì)魯棒自適應(yīng)方案來(lái)減輕磁滯的影響。對(duì)于第一種方法，因?yàn)榇艤ǔＪ俏粗模艤Ｐ秃推淠嬷g的解析誤差表達(dá)式是難以建立的。在第二種方法中，把未知磁滯分為線性和非線性部分，其中非線性部分通常作為干擾。這就是第二種方法被設(shè)計(jì)的原因。然而，由于滯后的非線性部分可能是無(wú)界的，這意味觀測(cè)器誤差可能沒(méi)有上界,當(dāng)輸出信號(hào)可以獲得時(shí)，在沒(méi)有建立磁滯逆的情況下，第二種方法有可能會(huì)無(wú)效。到目前為止，很難獲得的具有磁滯逆補(bǔ)償器的輸出反饋控制方案。

在壓電精密位置平臺(tái)控制系統(tǒng)中，由于速度和加速度通常不方便測(cè)量，一種可實(shí)現(xiàn)的魯棒自適應(yīng)輸出反饋控制算法仍然無(wú)法獲得。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是針對(duì)輸出可測(cè)、存在磁滯輸入的壓電精密位置平臺(tái)，采用基于觀測(cè)器的輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制、PI模型逆和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的壓電精密位置平臺(tái)自適應(yīng)輸出反饋逆控制方法，可保證其跟蹤誤差的任意小的L_∞范數(shù)和閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)是半全局最終一致有界的，克服了反推控制方案中的“微分爆炸”問(wèn)題，簡(jiǎn)化控制器結(jié)構(gòu)，減少計(jì)算量，更便于實(shí)時(shí)控制。

實(shí)現(xiàn)本發(fā)明目的采用的技術(shù)方案是：一種壓電精密位置平臺(tái)自適應(yīng)輸出反饋逆控制方法，其特征是，它包括以下內(nèi)容：

1)壓電精密位置平臺(tái)數(shù)學(xué)模型

考慮到一類(lèi)加入回滯的非線性系統(tǒng)表達(dá)式為：

y＝x₁,i＝0,1,…,n-1 (1)

其中，是狀態(tài)向量；未知光滑線性函數(shù)，d_i(t)是外部干擾，b₀是未知常數(shù)參數(shù)，w∈R是未知的回滯現(xiàn)象，表示為：

w(u)＝P(u(t)) (2)

u是執(zhí)行器的輸入信號(hào)，P是滯后算子，

對(duì)于系統(tǒng)式(1)，以下假設(shè)是必需的：

A1:干擾d_i(t),i＝1,···,n，滿足：

其中，是一些未知正常數(shù)；A2:在設(shè)計(jì)處理下，期望軌跡y_r是光滑的，且y_r(0)是能夠得到的；對(duì)于所有的t≥0，屬于一個(gè)已知的緊集；A3:b₀的符號(hào)是已知的,不失一般性，為了方便，假設(shè)b₀＞0；

2)Prandtl-Ishlinskii(PI)模型及其逆

采用適用于描述壓電執(zhí)行器中磁滯模型的PI模型，且采用其相應(yīng)的模型逆來(lái)減輕磁滯現(xiàn)象的影響，

w(t)＝P[u](t) (4)

其中P[u](t)定義為：

其中r是閾值，p(r)是給定的密度函數(shù)滿足p(r)＞0，中，為了方便起見(jiàn)，是由密度函數(shù)p(r)所決定的常數(shù)，Λ表示積分的上限，令f_r:R→R，由(6)式定義：

f_r(u,w)＝max(u-r,min(u+r,w)) (6)

進(jìn)而，play算子F_r[u](t)滿足：

其中，0≤i≤N-1，0＝t₀＜t₁＜…＜t_N＝t_E是[0,t_E]上的一個(gè)分割，以使函數(shù)u在(t_i,t_i+1]上的每個(gè)子區(qū)間是單調(diào)的，即非增或非減，

為了補(bǔ)償式(1)中回滯非線性w(u)，構(gòu)造PI模型的逆：

其中，ο表示補(bǔ)償算子；P^-1[·](t)是PI模型的逆補(bǔ)償算子，

其中是常數(shù)，表示的是式(9)中的積分上限，且，

由于在實(shí)際中，回滯是無(wú)法獲得的，這就意味著密度函數(shù)p(r)需要在測(cè)量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上來(lái)得到，逆模型是在基于估計(jì)密度函數(shù)基礎(chǔ)上構(gòu)造的，使用作為P[u](t)的估計(jì)值，因此，通過(guò)將補(bǔ)償理論應(yīng)用到P[·](t)和得：

其中，γ(r)，δ(r)是P[·](t)和初始載入曲線，u_d是被設(shè)計(jì)的控制信號(hào)，

考慮到式(11)和不等式F_r[u_d](t)+E_r[u_d](t)＝u_d(t)，得出：

w(t)＝φ′(Λ)u_d+d_b(t) (12)

其中φ′(Λ)正常數(shù)，E_r(·)是PI模型的stop算子，由于|E_r(·)|＜Λ，有界且滿足：

|d_b(t)|≤D (13)

其中，D正常數(shù)，從式(11)至式(12)獲得分析誤差e(t)表達(dá)式為：

將式(12)代入式(1)，得：

其中，b_Λ是正常數(shù)且滿足：

b_Λ＝b₀φ′(Λ) (16)

3)徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNNs)對(duì)未知項(xiàng)逼近

遵循引理1，采用一個(gè)權(quán)重屬性的線性徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNNs)來(lái)近似緊集中的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，

引理1:對(duì)任意給定的連續(xù)實(shí)函數(shù)f而言，RBFNNs是一個(gè)全局逼近器，f:Ω_ξ→R其中，ξ是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，q是輸入維數(shù)。對(duì)于任意的ε_m＞0，通過(guò)適當(dāng)?shù)倪x擇σ和ζ_k∈R^q,k＝1,…,N，之后，存在一個(gè)RBFNN使得：

f(ξ)＝ψ^T(ξ)θ^*+ε (17)

其中θ^*是θ＝[θ₁,…,θ_N]∈R^N最優(yōu)權(quán)值向量，且定義為：

其中，Y(ξ)＝ψ^T(ξ)θ表示的是RBFNNs的輸出，ψ(ξ)＝[ψ₁(ξ),…,ψ_N(ξ)]∈R^N是基本函數(shù)向量，通常情況下，所謂的高斯函數(shù)一般按如下形式作為基本函數(shù)：

其中，σ＞0,k＝1,…,N，是常值向量，稱(chēng)為基本函數(shù)的中心；σ是實(shí)數(shù)，稱(chēng)為基本函數(shù)的寬度，ε是近似誤差，且滿足：

ε＝f(ξ)-θ^*Tψ(ξ) (20)

使用引理1和式(17)，RBFNNs作為逼近器來(lái)近似式(17)中的未知連續(xù)函數(shù)，得(21)式：

其中，ε_i,i＝1…,N是任意正常數(shù)，表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差，且，

其中是狀態(tài)變量x₁,…,x_i的估計(jì)值，并會(huì)在式(40)中引入，

將式(21)代入式(15)，得:

系統(tǒng)式(1)表達(dá)成下面的狀態(tài)空間形式：

其中，b＝[0,…0,b_Λ]^T∈Rⁿ,e₁＝[1,0,…,0]^T，

B＝D_b+ε+d (25)

其中，d＝[d₁(t),…,d_n(t)]^T,ε＝[ε₁,…,ε_n]^T,D_b＝[0,…,0,d_b(t)]^T∈Rⁿ是類(lèi)干擾項(xiàng)，

其中，在式(19)中被定義，對(duì)于一類(lèi)回滯非線性系統(tǒng)，控制的目標(biāo)是建立一種基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)的輸出反饋動(dòng)態(tài)面控制方案，使得與跟蹤誤差的L_∞范數(shù)一致，輸出信號(hào)y能很好的跟蹤參考信號(hào)y_r，且閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)都是一致有界的；

4)基于觀測(cè)器的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面逆補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

①高增益卡爾曼濾波觀測(cè)器

將式(24)轉(zhuǎn)變?yōu)?27)式：

令

A₀＝A-qe₁^T (28)

其中，q＝[q₁,…,q_n]，通過(guò)適當(dāng)?shù)倪x擇向量q使A₀為赫維茨矩陣，

構(gòu)造高增益卡爾曼濾波器來(lái)估計(jì)式(27)中的狀態(tài)變量x，

其中k≥1是正設(shè)計(jì)參數(shù)，e_n代表的屬于Rⁿ形式的n階坐標(biāo)向量，且，

Φ＝diag{1,k,…,k^n-1} (32)

從式(29)至式(32)，估計(jì)狀態(tài)向量如下，

進(jìn)一步，定義估計(jì)誤差，

然后，得，

其中，ε₁是ε的第一項(xiàng)，B在式(25)中已定義；

引理2：令高增益卡爾曼濾波器由式(29)-式(31)和如下二階函數(shù)定義，

V_ε:＝ε^TPε (36)

其中，是正定矩陣且滿足：

其中，A₀由式(28)定義，令：

其中，||B||_max是||B||的最大值。對(duì)于任意的k≥1，對(duì)式(36)求導(dǎo)得：

由于式(33)中的b_Λ和θ^*未知，是無(wú)法獲得的，因此實(shí)際的狀態(tài)估計(jì)是：

其中，和是b_Λ和θ^*的估計(jì)值，

改進(jìn)的所述高增益卡爾曼濾波器是用來(lái)處理定義在式(25)中的有界B項(xiàng)，通過(guò)適當(dāng)?shù)倪x擇式(29)至式(31)中的設(shè)計(jì)參數(shù)k≥1和式(32)中定義的矩陣Φ，能夠使觀測(cè)誤差ε任意?。?/p>

②動(dòng)態(tài)面逆控制器設(shè)計(jì)

控制器的設(shè)計(jì)包括替代變量、控制律和自適應(yīng)律，其中τ₂,…,τ_n是低通濾波器的時(shí)間常數(shù)，l_i,i＝1,…,n和γ_θ,σ_θ,γ_ζ,σ_ζ,γ_b,σ_b是正的設(shè)計(jì)常數(shù)，

替代變量：S₁＝y(tǒng)-y_r (T.1)

S_i＝v_0,i-z_i,i＝2,…,n (T.2)

其中，z_i有下式產(chǎn)生，

其中，

且

控制律：

自適應(yīng)律：

發(fā)明的一種壓電精密位置平臺(tái)自適應(yīng)輸出反饋逆控制方法的優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在：

1)設(shè)計(jì)的高增益狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)，并且處理系統(tǒng)和環(huán)境干擾中的不確定項(xiàng)，因此，相較于狀態(tài)反饋控制算法，只有控制系統(tǒng)的輸出是要求可以獲得情況下，才使所提出的控制算法更適合實(shí)際應(yīng)用；

2)通過(guò)應(yīng)用所提出的控制方案在壓電精密位置平臺(tái)上進(jìn)行了試驗(yàn)，其中壓電精密位置平臺(tái)可認(rèn)為是一個(gè)只有系統(tǒng)的輸出是可以測(cè)量的三階系統(tǒng)；

3)通過(guò)調(diào)整狀態(tài)觀測(cè)器和未知參數(shù)的自適應(yīng)律的初始條件，可以實(shí)現(xiàn)跟從誤差的任意小的L_∞范數(shù)，克服了反推控制方案中的“微分爆炸”問(wèn)題，簡(jiǎn)化控制器結(jié)構(gòu)，減少計(jì)算量，更便于實(shí)時(shí)控制。

4)其方法科學(xué)合理，適用性強(qiáng)，效果佳。

附圖說(shuō)明

圖1為PI模型(a)、PI逆模型(b)和補(bǔ)償結(jié)果(c)示意圖；

圖2為逆補(bǔ)償方案示意圖；

圖3為本發(fā)明的壓電精密位置平臺(tái)自適應(yīng)輸出反饋逆控制方法示意圖；

圖4為實(shí)際壓電精密位置平臺(tái)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖；

圖5為壓電精密位置平臺(tái)的一般原理示意圖；

圖6為壓電陶瓷執(zhí)行器和PI模型之間輸入-輸出響應(yīng)比較示意圖；

圖7為建模誤差示意圖；

圖8為仿真和實(shí)驗(yàn)?zāi)嫜a(bǔ)償結(jié)果(3μm)示意圖；

圖9為仿真和實(shí)驗(yàn)?zāi)嫜a(bǔ)償結(jié)果(5μm)示意圖；

圖10為實(shí)際位移輸出y和期望軌跡y_r示意圖；

圖11為有磁滯補(bǔ)償和無(wú)磁滯補(bǔ)償時(shí)的跟蹤誤差示意圖；

圖12為有磁滯補(bǔ)償和沒(méi)有使用磁滯補(bǔ)償?shù)目刂齐妷菏疽鈭D；

圖13為所提出的動(dòng)態(tài)面法和傳統(tǒng)反推法的跟蹤誤差示意圖；

圖14為所提出的動(dòng)態(tài)面法和傳統(tǒng)反推法的位移示意圖；

圖15為所提出的動(dòng)態(tài)面法和傳統(tǒng)反推法的控制電壓示意圖。

圖1中，縱坐標(biāo)表示磁滯輸出，橫坐標(biāo)表示磁滯輸入；圖5中，k_amp是固定增益；R₀是驅(qū)動(dòng)電路的等效內(nèi)阻；v_h是由于磁滯效應(yīng)產(chǎn)生的電壓，H和T_em代表壓電效應(yīng)；C_A表示所有壓電陶瓷電容的總和；q和分別代表的是PCA中的所有電荷和由此流過(guò)電路的電流，q_c是存儲(chǔ)在線性電容C_A中的電荷。q_p表示由于壓電效應(yīng)從機(jī)械一側(cè)產(chǎn)生的傳導(dǎo)電荷，v_A表示傳導(dǎo)電壓，對(duì)于機(jī)械部分，m，b_s和k_s分別表示質(zhì)量，阻尼系數(shù)和運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的剛度；圖中橫坐標(biāo)表示磁滯輸入，縱坐標(biāo)表示磁滯輸出；圖4橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示輸出y對(duì)目標(biāo)函數(shù)y_r的跟蹤性能；圖6橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示位移；圖7橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)建模誤差(％)；圖8和圖9橫坐標(biāo)表示期望位移，縱坐標(biāo)表示實(shí)際位移；圖10橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示位移；圖11橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示跟蹤誤差；圖12橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示控制電壓；圖13橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示跟蹤誤差；圖14橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示位移；圖15橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示控制電壓。

具體實(shí)施方式

下面利用附圖和實(shí)施例對(duì)本發(fā)明作進(jìn)一步說(shuō)明。

本發(fā)明的壓電精密位置平臺(tái)自適應(yīng)輸出反饋逆控制方法，包括以下內(nèi)容：

1)壓電精密位置平臺(tái)數(shù)學(xué)模型

考慮到一類(lèi)加入回滯的非線性系統(tǒng)表達(dá)式為：

y＝x₁,i＝0,1,…,n-1 (1)

其中，是狀態(tài)向量；未知光滑線性函數(shù)，d_i(t)是外部干擾，b₀未知常數(shù)參數(shù)，w∈R未知的回滯現(xiàn)象，表示為：

w(u)＝P(u(t)) (2)

u是執(zhí)行器的輸入信號(hào)，P是滯后算子，

對(duì)于系統(tǒng)式(1)，以下假設(shè)是必需的：

A1:干擾d_i(t),i＝1,···,n，滿足：

其中，是一些未知正常數(shù)；A2:在設(shè)計(jì)處理下，期望軌跡y_r是光滑的，且y_r(0)是能夠得到的；對(duì)于所有的t≥0，屬于一個(gè)已知的緊集；A3:b₀的符號(hào)是已知的,不失一般性，為了方便，假設(shè)b₀＞0；

2)Prandtl-Ishlinskii(PI)模型及其逆

采用適用于描述壓電執(zhí)行器中磁滯模型的PI模型，且采用其相應(yīng)的模型逆來(lái)減輕磁滯現(xiàn)象的影響，

w(t)＝P[u](t) (4)

其中P[u](t)定義為：

其中r是閾值，p(r)是給定的密度函數(shù)滿足p(r)＞0，中，為了方便起見(jiàn)，是由密度函數(shù)p(r)所決定的常數(shù)，Λ表示積分的上限，令f_r:R→R，由(6)式定義：

f_r(u,w)＝max(u-r,min(u+r,w)) (6)

進(jìn)而，play算子F_r[u](t)滿足：

其中，t_i＜t≤t_i+1，0≤i≤N-1，0＝t₀＜t₁＜…＜t_N＝t_E是[0,t_E]上的一個(gè)分割，以使函數(shù)u在(t_i,t_i+1]上的每個(gè)子區(qū)間是單調(diào)的，即非增或非減，

為了補(bǔ)償式(1)中回滯非線性w(u)，構(gòu)造PI模型的逆：

其中，ο表示補(bǔ)償算子；P^-1[·](t)是PI模型的逆補(bǔ)償算子，

其中是常數(shù)，表示的是式(9)中的積分上限，且，

由于在實(shí)際中，回滯是無(wú)法獲得的，這就意味著密度函數(shù)p(r)需要在測(cè)量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上來(lái)得到，逆模型是在基于估計(jì)密度函數(shù)基礎(chǔ)上構(gòu)造的，使用作為P[u](t)的估計(jì)值，因此，通過(guò)將補(bǔ)償理論應(yīng)用到P[·](t)和得：

其中，γ(r)，δ(r)是P[·](t)和初始載入曲線，u_d是被設(shè)計(jì)的控制信號(hào)，

考慮到式(11)和不等式F_r[u_d](t)+E_r[u_d](t)＝u_d(t)，得出：

w(t)＝φ′(Λ)u_d+d_b(t) (12)

其中φ′(Λ)正常數(shù)，E_r(·)是PI模型的stop算子，由于|E_r(·)|＜Λ,有界且滿足：

|d_b(t)|≤D (13)

其中，D正常數(shù)，從式(11)至式(12)獲得分析誤差e(t)表達(dá)式為：

將式(12)代入式(1)，得：

其中，b_Λ是正常數(shù)且滿足：

b_Λ＝b₀φ′(Λ) (16)

3)徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNNs)對(duì)未知項(xiàng)逼近

遵循引理1，采用一個(gè)權(quán)重屬性的線性徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNNs)來(lái)近似緊集中的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，

引理1:對(duì)任意給定的連續(xù)實(shí)函數(shù)f而言，RBFNNs是一個(gè)全局逼近器，f:Ω_ξ→R其中，ξ是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，q是輸入維數(shù)。對(duì)于任意的ε_m＞0，通過(guò)適當(dāng)?shù)倪x擇σ和ζ_k∈R^q,k＝1,…,N，之后，存在一個(gè)RBFNN使得：

f(ξ)＝ψ^T(ξ)θ^*+ε (17)

其中θ^*是θ＝[θ₁,…,θ_N]∈R^N最優(yōu)權(quán)值向量，且定義為：

其中，Y(ξ)＝ψ^T(ξ)θ表示的是RBFNNs的輸出，ψ(ξ)＝[ψ₁(ξ),…,ψ_N(ξ)]∈R^N是基本函數(shù)向量，通常情況下，所謂的高斯函數(shù)一般按如下形式作為基本函數(shù)：

其中，σ＞0,k＝1,…,N，ζ_k∈Rⁿ是常值向量，稱(chēng)為基本函數(shù)的中心。σ是實(shí)數(shù)，稱(chēng)為基本函數(shù)的寬度，ε是近似誤差，且滿足：

ε＝f(ξ)-θ^*Tψ(ξ) (20)

使用引理1和式(17)，RBFNNs作為逼近器來(lái)近似式(17)中的未知連續(xù)函數(shù)，得(21)式：

其中，ε_i,i＝1…,N是任意正常數(shù)，表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差，且，

其中是狀態(tài)變量x₁,…,x_i的估計(jì)值，并會(huì)在式(40)中引入，

將式(21)代入式(15)，得(23)式:

系統(tǒng)式(1)表達(dá)成下面的狀態(tài)空間形式：

其中，b＝[0,…0,b_Λ]^T∈Rⁿ,e₁＝[1,0,…,0]^T，

B＝D_b+ε+d (25)

其中，d＝[d₁(t),…,d_n(t)]^T,ε＝[ε₁,…,ε_n]^T,D_b＝[0,…,0,d_b(t)]^T∈Rⁿ是類(lèi)干擾項(xiàng)，

其中，在式(19)中被定義，對(duì)于一類(lèi)回滯非線性系統(tǒng)，控制的目標(biāo)是建立一種基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)的輸出反饋動(dòng)態(tài)面控制方案，使得與跟蹤誤差的L_∞范數(shù)一致，輸出信號(hào)y能很好的跟蹤參考信號(hào)y_r，且閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)都是一致有界的；

4)基于觀測(cè)器的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面逆補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

①高增益卡爾曼濾波觀測(cè)器

將式(24)轉(zhuǎn)變?yōu)?27)式：

令

A₀＝A-qe₁^T (28)

其中，q＝[q₁,…,q_n]，通過(guò)適當(dāng)?shù)倪x擇向量q使A₀為赫維茨矩陣，

構(gòu)造高增益卡爾曼濾波器來(lái)估計(jì)式(27)中的狀態(tài)變量x，

其中k≥1是正設(shè)計(jì)參數(shù)，e_n代表的屬于Rⁿ形式的n階坐標(biāo)向量，且，

Φ＝diag{1,k,…,k^n-1} (32)

從式(29)-式(32)，估計(jì)狀態(tài)向量如下，

進(jìn)一步，定義估計(jì)誤差，

然后，對(duì)式(34)求導(dǎo)得，

其中，ε₁是ε的第一次取值，B在式(25)中已定義；

引理2：令高增益卡爾曼濾波器由式(29)-式(31)和如下二階函數(shù)定義，

V_ε:＝ε^TPε (36)

其中，是正定矩陣且滿足：

其中，A₀由式(28)定義，令：

其中，||B||_max是||B||的最大值。對(duì)于任意的k≥1，對(duì)式(36)求導(dǎo)得：

由于式(33)中的b_Λ和θ^*未知，是無(wú)法獲得的，因此實(shí)際的狀態(tài)估計(jì)是：

其中，和是b_Λ和的估計(jì)值，

改進(jìn)的所述高增益卡爾曼濾波器是用來(lái)處理定義在式(25)中的有界B項(xiàng)，通過(guò)適當(dāng)?shù)倪x擇式(29)-式(31)中的設(shè)計(jì)參數(shù)k≥1和式(32)中定義的矩陣Φ，能夠使觀測(cè)誤差ε任意??；

②動(dòng)態(tài)面逆控制器設(shè)計(jì)

控制器的設(shè)計(jì)包括替代變量、控制律和自適應(yīng)律，其中τ₂,…,τ_n是低通濾波器的時(shí)間常數(shù)，l_i,i＝1,…,n和γ_θ,σ_θ,γ_ζ,σ_ζ,γ_b,σ_b是正的設(shè)計(jì)常數(shù)，

替代變量：S₁＝y(tǒng)-y_r (T.1)

S_i＝v_0,i-z_i,i＝2,…,n (T.2)

其中，z_i有下式產(chǎn)生，

其中，

且

控制律：

自適應(yīng)律：

1、穩(wěn)定性指標(biāo)分析

在這一部分中，將會(huì)對(duì)所提出的自適應(yīng)輸出反饋DSIC方案的穩(wěn)定性和性能分析進(jìn)行討論，來(lái)分析穩(wěn)定性和跟蹤誤差的L_∞性能。

為了控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，定義的如下李雅普諾夫函數(shù)：

其中，V_ε是關(guān)于高增益卡爾曼濾波觀測(cè)誤差ε的二次函數(shù)，其在引理2中已給出。

定理1：考慮到這種閉環(huán)系統(tǒng)，其包括具有式(4)所描述的磁滯非線性時(shí)滯系統(tǒng)(1)，(T.9)-(T.11)中的未知參數(shù)自適應(yīng)律，與假設(shè)A1-A3有關(guān)的控制律(T8)。然后對(duì)于任意給定的正數(shù)p，如果式(41)中V(0)滿足V(0)≤p，

a)通過(guò)適當(dāng)選擇設(shè)計(jì)參數(shù)k,l₁,…,l_n，時(shí)間常數(shù)τ₂,…,τ_n，自適應(yīng)律參數(shù)γ_θ,σ_θ,γ_ζ,σ_ζ,γ_b,σ_b，閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)一致有界，且可以任意小。

b)跟蹤誤差S₁的L_∞性能可以得到且任意小，結(jié)合式(T.5)與式(41)可得式(42)：

其中C₁是正常數(shù)，且滿足

2、壓電精密位置平臺(tái)的實(shí)驗(yàn)研究

A.實(shí)驗(yàn)裝置

為了顯示所提出的控制方案的有效性，進(jìn)行圖4所示壓電精密位置平臺(tái)的實(shí)驗(yàn)研究。控制系統(tǒng)的組成要素如下：

···壓電陶瓷執(zhí)行器：實(shí)驗(yàn)中使用了Physik Instrument公司生產(chǎn)的壓電陶瓷執(zhí)行器P-753.31 C。它提供了一個(gè)38μm峰值輸出位移，對(duì)執(zhí)行器來(lái)說(shuō)，電壓范圍是0-100V。

·電容傳感器：為了測(cè)量執(zhí)行器的位移響應(yīng)，使用了一個(gè)靈敏度為2.632V/μm的集成電容式傳感器。

·電壓放大器：使用了固定增益為10的電壓放大器(LVPZT,E-505)作為壓電執(zhí)行器的勵(lì)磁電壓。

·數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)：帶有16位模-數(shù)、數(shù)-模轉(zhuǎn)換器的dSPACE控制板用來(lái)獲得壓電精密位置平臺(tái)的位移，它是由電容傳感器測(cè)量獲得的。

B、壓電精密位置平臺(tái)的模型

從所積累的壓電精密位置平臺(tái)的建模結(jié)果來(lái)說(shuō)，壓電精密位置平臺(tái)的一般原理圖模型可以由圖5表示，它是由壓電陶瓷執(zhí)行器(PCA))和機(jī)械部分組成。圖5中，k_amp是固定增益；R₀是驅(qū)動(dòng)電路的等效內(nèi)阻；v_h是由于磁滯效應(yīng)產(chǎn)生的電壓。H和T_em代表壓電效應(yīng)；C_A表示所有壓電陶瓷電容的總和；q和分別代表的是PCA中的所有電荷和由此流過(guò)電路的電流。q_c是存儲(chǔ)在線性電容C_A中的電荷。q_p表示由于壓電效應(yīng)從機(jī)械一側(cè)產(chǎn)生的傳導(dǎo)電荷，v_A表示傳導(dǎo)電壓。對(duì)于機(jī)械部分，m，b_s和k_s分別表示質(zhì)量，阻尼系數(shù)和運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的剛度。基于上述壓電精密位置平臺(tái)的示意模型，定義描述壓電精密位置平臺(tái)的三階模型如下:

其中，在式(12)給出的w＝φ′(Λ)u_d+d_b(t)是壓電執(zhí)行器的輸出，且

C.關(guān)于磁滯建模及其逆補(bǔ)償器構(gòu)造的實(shí)驗(yàn)

為了便于對(duì)式(5)中所描述模型的參數(shù)識(shí)別，式(5)中對(duì)應(yīng)的離散表達(dá)式如下：

為了獲得最優(yōu)play算子p_i,i＝1,2,3,…,n，來(lái)描述圖4中壓電陶瓷執(zhí)行器P-753.31中的磁滯現(xiàn)象，結(jié)合如下約束二次優(yōu)化：

min{[CΛ-d]^T[CΛ-d]} (45)

其中C常數(shù)，d是正弦信號(hào)，Λ(i)滿足

Λ(i)≥0,i∈{1,2,3,…,n} (46)

通過(guò)使用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用MATLAB中的最小二乘優(yōu)化工具箱來(lái)辨識(shí)p_i。而這些數(shù)據(jù)是基于圖4中實(shí)際壓電精密位置平臺(tái)控制系統(tǒng)，在一個(gè)所設(shè)計(jì)的振幅減少的正弦輸入信號(hào)d的條件下獲得的。由于建模誤差是不可避免的，我們只能獲得p_i的估計(jì)參數(shù)r_i＝[0,0.1,1.7834,3.4669,5.1503,6.8338,8.5172,10.2007,11.8841,13.5676,15.2510,21.9848,32.0855]。圖6顯示了在壓電陶瓷執(zhí)行器(虛線)和PI模型(實(shí)線)之間的輸入輸出響應(yīng)的比較。圖7所示的建模誤差定義如下：

其中，x(t)和w(t)分別表示壓電陶瓷執(zhí)行器和PI模型的輸出。比較結(jié)果和建模誤差(小于1％)表明PI模型確實(shí)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合的比較好。

利用上述PI模型的辨識(shí)參數(shù)和式(10)中的解析逆可以表示為離散表達(dá)式的數(shù)值實(shí)現(xiàn)如下：

且因此，閾值和權(quán)值計(jì)算如下：為了表明式(48)中所建立逆補(bǔ)償器的有效性，經(jīng)圖4所示的dSPACE模塊將MATLAB/SIMULINK中的代碼轉(zhuǎn)換為實(shí)時(shí)代碼，由此進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。一個(gè)輸入信號(hào)u_d(t)＝B₁sin(2πft)，其中B₁＝3μm,5μm,f＝1Hz，應(yīng)用到補(bǔ)償器中，并且通過(guò)功率放大器(LVPZT,E-505)將輸出應(yīng)用到壓電陶瓷執(zhí)行器中。

執(zhí)行器的位移響應(yīng)緊接著由圖4中的傳感器監(jiān)測(cè)測(cè)量得到，然后下載到dSPACE模塊中。為了對(duì)仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果作比較，逆補(bǔ)償器的仿真也是在MATLAB/Simulink進(jìn)行。圖8展示了當(dāng)應(yīng)用圖2中磁滯逆補(bǔ)償器時(shí)，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較。從圖8和圖9中的仿真結(jié)果可以看出，期望位移和輸出位移之間存在一個(gè)完美的線性輸入輸出關(guān)系，這暗示了磁滯的作用被完全取消了。然而，存在一個(gè)逆補(bǔ)償誤差，其在圖8和圖9的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中清楚的展現(xiàn)出來(lái)。事實(shí)上，補(bǔ)償誤差可能是由建模誤差和環(huán)境干擾引起的。從圖8(B₁＝3μm)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，輸入和輸出之間仍然是滯環(huán)的關(guān)系，這表明磁滯不能完全消除。因此，應(yīng)用所提出的輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制方案來(lái)減小補(bǔ)償誤差。

現(xiàn)在，令x₁＝x,之后，式(43)可以表達(dá)為如下：

其中，w表示在圖5中所示的壓電陶瓷執(zhí)行器中的磁滯非線性。

D.控制器的設(shè)計(jì)步驟和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于觀測(cè)器的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面逆補(bǔ)償器設(shè)計(jì)的部分，在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，高增益K-濾波器按照式(29)至式(31)設(shè)計(jì)，其中，v(0)＝ξ₀(0)＝Ξ(0)＝0,k＝1.5,q＝[3,2,1]^T。對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)ψ₃(ξ₃)，我們選擇了帶有基本函數(shù)中心的5個(gè)節(jié)點(diǎn)，ζ_j,j＝1,…,5，其大小依次為-0.5,0,1,2,3,4,5,6，寬度η_j＝1,j＝1,…,7；接下來(lái)，Ψ^T(ξ)＝diag{0,0,ψ₃}，其中ψ₃＝[ψ_3,1(ξ₁),…,ψ_3,7(ξ₁)]。根據(jù)第III部分，動(dòng)態(tài)面誤差是S₁＝x₁-y_r，S₂＝v_0,2-z₂，S₃＝v_0,3-z₃。自適應(yīng)律為虛擬控制律選擇為其中最終的控制律選為在第1,2步中的一階濾波器為其中，與之對(duì)應(yīng)的是，上述自適應(yīng)律和控制信號(hào)的設(shè)計(jì)參數(shù)選擇為l₁＝50,l₂＝2，l₂＝l₃＝2,γ_ζ＝5,σ_ζ＝0.7,γ_θ＝2,σ_θ＝0.9,γ_b＝5,σ_b＝0.9。自適應(yīng)律的初始條件選為

為了驗(yàn)證所提出的控制方案的有效性，在壓電精密位置平臺(tái)上進(jìn)行了下面兩個(gè)試驗(yàn)。為了達(dá)到實(shí)時(shí)控制的目的，在dSPACE控制面板上，將改進(jìn)的自適應(yīng)輸出反饋控制算法轉(zhuǎn)化為由C語(yǔ)言編譯的采樣頻率為10kHz的S函數(shù)文件。

A.多頻率軌跡跟蹤試驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)中，是在兩種情況下對(duì)多頻率期望軌跡y_r＝3+2sin(2π*2t)+sin(2π*15t)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)跟蹤控制：有和沒(méi)有式(48)中所構(gòu)造的磁滯補(bǔ)償。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10-15所示。圖10闡明了壓電陶瓷執(zhí)行器實(shí)際位移y(實(shí)線)和期望軌跡y_r(虛線)的位移?？梢钥闯?，實(shí)現(xiàn)了一個(gè)相當(dāng)令人滿意的跟蹤性能，其跟蹤誤差及其小。圖11展示了有和沒(méi)有使用磁滯補(bǔ)償?shù)母櫿`差。圖11清楚的表明，與沒(méi)有使用磁滯補(bǔ)償?shù)那闆r相比，加入磁滯補(bǔ)償其暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差更小。例如，如果用error_max＝max(|y-y_r|)來(lái)表示跟蹤誤差的最大值，在沒(méi)有使用磁滯補(bǔ)償?shù)那闆r下，error_max是0.014μm，而加入磁滯的情況下error_max只有0.0059μm，是沒(méi)有加入磁滯補(bǔ)償情況的一半。此外，由于良好的跟蹤性能和極小的跟蹤誤差，圖10和圖11充分驗(yàn)證了所提出的具有式(48)中磁滯補(bǔ)償器的輸出反饋控制方案的有效性。圖12表示的是控制電壓的軌跡，實(shí)線表示加入了磁滯補(bǔ)償，虛線表示沒(méi)有加入磁滯補(bǔ)償。應(yīng)該指出的是，沒(méi)有磁滯補(bǔ)償?shù)目刂品桨甘菆D3中“磁滯逆模型估計(jì)”沒(méi)有被包括的一種情況。然后，u＝u_d和壓電精密位置平臺(tái)系統(tǒng)是在沒(méi)有任何補(bǔ)償?shù)那闆r下，由控制信號(hào)u_d直接驅(qū)動(dòng)的。

B.單頻軌跡跟蹤和反推控制比較的實(shí)驗(yàn)研究

為了展現(xiàn)所提出動(dòng)態(tài)面控制的優(yōu)勢(shì)，我們對(duì)動(dòng)態(tài)面控制方案和反推控制方案做了比較。圖12-14表示的是期望軌跡為y_r＝2sin(40πt)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖12展示的是所提出的動(dòng)態(tài)面控制方案的跟蹤誤差，其穩(wěn)態(tài)誤差error_max＝0.0158μm，傳統(tǒng)反推控制方法穩(wěn)態(tài)誤差為error_max＝0.0647μm。圖14和圖15分別展示了兩種方法之下的位移和控制電壓。從這些結(jié)果可以很明顯的看出，動(dòng)態(tài)面法比傳統(tǒng)的反推控制法表現(xiàn)出更好的控制性能。

具體實(shí)施方式僅是對(duì)本發(fā)明的說(shuō)明，并不構(gòu)成對(duì)權(quán)利要求保護(hù)范圍的限制，本領(lǐng)域技術(shù)人員不經(jīng)過(guò)創(chuàng)造性勞動(dòng)的等同替代，均在本發(fā)明保護(hù)范圍內(nèi)。