論計(jì)算結(jié)果不能精確地預(yù)測(cè)出樣本A的吸聲特性，這可能是由于樣品本身的物理特征 沒有用模型清晰地表示出來。
[0037] 圖IA中吸聲單元包含一長(zhǎng)方形彈性薄膜，尺寸為3Imm X 15mm、厚度0.2mm。彈性薄 膜固定在一相對(duì)較硬的剛性框架上，其上放置兩片半圓形鐵片，鐵片的半徑為6mm，厚度是 1mm。鐵片有意設(shè)計(jì)為非對(duì)稱形狀，目的在于引入"擺動(dòng)"模式，如下所示。相對(duì)較硬的網(wǎng)格可 以被視作一個(gè)封閉的平面框架，其尺度可從數(shù)十厘米延展至數(shù)十米不等。此外，鐵片可以被 其他任何剛性或半剛性的非對(duì)稱薄片代替。樣本A即具有此種結(jié)構(gòu)，在圖IA中，xy平面刻畫 了此種結(jié)構(gòu)，在y方向有兩個(gè)分離的鐵片。聲波沿z方向入射。這個(gè)簡(jiǎn)單的單元主要被用來理 解有關(guān)的機(jī)理，以及和理論預(yù)測(cè)結(jié)果作對(duì)比。
[0038]如圖1B，1C，和ID所示，三個(gè)橫截面剖圖表示結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模式。上述三個(gè)截面圖取 自結(jié)構(gòu)的中心線，分別代表了圖IA中的B、C、D三個(gè)頻率點(diǎn)。圖1B、IC和ID中示出的截面圖表 示了吸聲單元縱向位移w沿X軸方向的分布。截面圖中的直線部分(7.5mm< |x I ^ 13.5mm)表 示了薄片的位置，該薄片可視為是剛性的。在截面圖1B，1C，和ID中，圓串曲線131，132,133 表示激光測(cè)振儀的測(cè)量結(jié)果。而實(shí)曲線141，142,143代表有限元仿真結(jié)果。圖IE給出樣本A 的照片。
[0039]圖IA中給出了樣本A的吸聲系數(shù)實(shí)測(cè)曲線，在172Ηζ，340Ηζ，813Ηζ三個(gè)頻率附近取 得吸收峰值。其中，最為引人注目的是在172Hz處的吸收峰，超過70%的入射聲波能量被耗 散，對(duì)于僅有200微米厚度的吸聲薄膜來講，在如此低的頻率取得這樣的效果是令人難以置 信的，因?yàn)榇藭r(shí)空氣中的波長(zhǎng)大約為2米。圖IA顯示出這種現(xiàn)象直接來自于薄膜的共振模 式。
[0040] 圖IA中，172Hz，340HZ，710Hz處的箭頭表示計(jì)算的吸收峰值頻率。計(jì)算中所用橡膠 薄膜的楊氏模量取值為1.9X IO6Pa,泊松比為0.48。
[0041] 實(shí)驗(yàn)中，薄膜的制造材料為硅橡膠Silastic 3133。薄膜的楊氏模量和泊松比分別 通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到。
[0042]圖2給出了楊氏模量的數(shù)值。圓圈211，222,223分別表示了不同頻率處的楊氏模量 E的實(shí)測(cè)值。虛線表示了在所考慮的頻率范圍內(nèi)楊氏模量的平均值1.9X106Pa。
[0043]楊氏模量的測(cè)量采用了 "ASTM E-756三明治梁"結(jié)構(gòu)，利用鋼基梁(無膜)和含有夾 心層薄膜材料(梁之間夾有薄膜)時(shí)的性能差異得到薄膜材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)。實(shí)驗(yàn)中，得 到了不同頻率處薄膜材料的剪切模量μ。薄膜的泊松比μ大約為0.48。因此，根據(jù)不同彈性系 數(shù)之間的關(guān)系式，楊氏模量為：
[0044] Ε = 2μ(1+ν), (1)
[0045] 不同頻率處的楊氏模量(Ε)由如圖2中圓圈211，222,223所示。對(duì)樣本所采用的材 料而言，其楊氏模量值E在所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)從1.2 X IO6Pa變化到2.6 X 106Pa。為了簡(jiǎn)化 模型分析，采用了與頻率無關(guān)的楊氏模量值E = l.9X IO6Pa(如圖2中虛線所示）。
[0046] 楊氏模量的虛部采用了 Ιπι(Ε)=ω Xq的形式，通過擬合吸聲系數(shù)得到x〇 = 7.96 X IO2Pa · s。仿真得到了許多本征模態(tài)。其中，只選用了左右對(duì)稱的模態(tài)，因?yàn)榉菍?duì)稱模態(tài)不 會(huì)與正入射的平面聲波發(fā)生耦合。計(jì)算得到的吸收峰值頻率分別為172,340,和710Hz，（如 圖IA箭頭標(biāo)識(shí)），與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到的峰值頻率吻合很好。
[0047]圖IB，IC和ID分別給出了單元三個(gè)吸聲峰值頻率處，沿X軸分布的z向位移w的剖面 圖。其中，圓形表示激光測(cè)振儀的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，實(shí)線表示有限元仿真結(jié)果。二者吻合良好。 然而，剖面圖中最突出的特征是，雖然Z向位移W在薄片周長(zhǎng)的位置上是連續(xù)的(其位置為剖 面圖中的直線部分，其曲率為零），但W的垂直于周邊的一階空間導(dǎo)數(shù)卻存在尖銳的斷點(diǎn)。對(duì) 于低頻共振，這種不連續(xù)性來自兩個(gè)相對(duì)于y軸對(duì)稱的半圓薄片的"擺動(dòng)"；而在712HZ頻率 共振時(shí)，中心薄膜區(qū)域振動(dòng)很大，而兩個(gè)半圓薄片卻像"錨"一樣固定不動(dòng)。
[0048] 薄片的擺動(dòng)模式并非單純地沿z軸的平向運(yùn)動(dòng)（垂直于薄膜平面）。以擺動(dòng)模式振 動(dòng)的薄片，其各個(gè)部分相對(duì)于平衡位置具有不同的位移(相對(duì)于平衡位置而言）。從物理上 來講，薄片的擺動(dòng)模式可以看作沿z軸的平動(dòng)和沿平行于X軸轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加運(yùn)動(dòng)。
[0049] 這些模態(tài)的特征決定了其共振頻率的調(diào)節(jié)方式:如圖IE所示，擺動(dòng)模態(tài)的共振頻 率隨著薄片質(zhì)量平方根倒數(shù)而改變，而薄膜共振模態(tài)的頻率隨著圖IE中所示的兩個(gè)半圓形 薄片間距離的改變而增加或減小。中間頻率的模態(tài)同樣是擺動(dòng)模態(tài)，但是在兩翼的末端呈 反相。而薄片的非對(duì)稱形狀加劇了這一擺動(dòng)模式。
[0050] 另外一種類型的單元，即樣本B，尺寸為159mmX 15mm，由8片相同的薄片組成，每4 片為一組，對(duì)稱粘貼在薄膜上面(片間距離為15mm)，組間距離為32mm。樣本B可以在很多低 頻處達(dá)到吸聲系數(shù)接近1的吸聲效果。
[0051]圖3顯示了樣本B的吸聲系數(shù)隨薄膜位移變化的測(cè)量結(jié)果，通過在薄膜后面放置一 鋁反射板，可以改變薄膜的聲阻抗。鋁反射板可以放置在薄膜后面的不同距離的近場(chǎng)處，從 而取得所需的吸聲效果。圓曲線321-325給出了 172Hz頻率時(shí)，薄膜與鋁反射板之間的距離 由7mm變化至42mm時(shí)（步長(zhǎng)為7mm)，試驗(yàn)測(cè)得的薄膜吸聲系數(shù)與薄膜位移之間的關(guān)系。水平 虛線341表示了移走鋁板時(shí)的吸聲系數(shù)，即薄膜與鋁板之間的距離為無窮大。
[0052]圖3中，給出了 172Hz頻率的入射聲波在聲壓為0.3Pa時(shí)，所測(cè)得的薄膜最大的縱向 位移與吸聲系數(shù)的函數(shù)關(guān)系。圓曲線321-325分別表示了薄膜與鋁反射板之間的距離由7_ 變化至42mm(步長(zhǎng)為7mm)時(shí)，吸聲系數(shù)的變化?？梢钥吹?，空氣墊可以增強(qiáng)吸收，當(dāng)距離增大 至42mm時(shí)，吸聲系數(shù)可以高達(dá)86%。這個(gè)距離大約為波長(zhǎng)的2%。當(dāng)繼續(xù)增大此距離時(shí)，吸聲 效果開始變?nèi)?，最終到達(dá)虛線341所示之值。
[0053]為了更深入的解釋強(qiáng)吸收的原因，我們考察在固體彈性薄膜中傳播的彎曲波(或 柔性波），其波場(chǎng)滿足如下雙調(diào)和方程：
[0055] 式中，D = Eh3/12(l_v2)為抗彎剛度，h為薄膜的厚度。
[0056] 對(duì)應(yīng)的單位面積彈性曲率能量密度為：
[0058]由于Ω是法向位移w的二階空間導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，若w的一階空間導(dǎo)數(shù)在鐵片邊緣不連 續(xù)，那么很容易推斷，面能量密度Ω在這些區(qū)域的數(shù)值會(huì)非常大（當(dāng)薄膜厚度趨于0時(shí)會(huì)發(fā) 散）。此外，由于二階導(dǎo)數(shù)是二次方的，經(jīng)面積分后得到的總勢(shì)能也必然很大。隨著厚度h趨 于無窮小，薄膜系統(tǒng)的振動(dòng)模式可以看作是殼模型的弱形式解。盡管在鐵片邊界上雙調(diào)和 方程無法嚴(yán)格成立(因?yàn)槎A空間導(dǎo)數(shù)不存在），但除去這些測(cè)度為〇的點(diǎn)集外，弱形式解仍 然可以保證相應(yīng)的拉格朗日量取得極小值。
[0059]圖4為計(jì)算得到的彈性勢(shì)能密度分布(左欄），應(yīng)變張量的跡ε = εχχ+εγγ+εζζ(中欄）， 以及xy平面的位移w(右欄）。這些行為是鐵片并非單純的ζ向平移運(yùn)動(dòng)的后果。由于鐵片發(fā) 生拍動(dòng)，因此不同部位相對(duì)于其平衡位置的位移是不同的。從物理上講，鐵片的拍動(dòng)可以看 作是鐵片沿ζ軸方向的平移運(yùn)動(dòng)和繞平行于X軸的一個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的疊加。從上到下的三 排圖分別對(duì)應(yīng)三個(gè)吸聲峰值頻率，即190Hz，346Hz，和712Hz。左中欄的彩條表示相對(duì)幅值大 小，數(shù)值以10為底的對(duì)數(shù)表示。右欄的彩條則是線性標(biāo)度的。由于這些共振模式關(guān)于X軸是 鏡面對(duì)稱的，為了獲得更清晰的顯示，我們只畫出了左半部分。圖中豎直的藍(lán)色虛線代表鏡 面對(duì)稱平面。
[0060]理論預(yù)測(cè)Ω在邊界區(qū)域會(huì)有很大的數(shù)值，這可從圖4中可以清楚地看出，圖中分別 畫出了通過COMSOL軟件模擬得到的3個(gè)吸聲峰值頻率處的彈性勢(shì)能密度U(左列，其中不同 的顏色代表取以10為底的對(duì)數(shù)后的數(shù)值)和xy平面內(nèi)的法向位移w(右列）的分布(薄膜的中 截面），從上到下依次對(duì)應(yīng)于190Hz，346Hz和712Hz。可以看出，在鐵片邊緣區(qū)域的能量密度 比其他區(qū)域最大高出4個(gè)數(shù)量級(jí)，此外，在單元薄膜被固定住的上下邊界附近，能量密度也 很高。通過數(shù)值模擬結(jié)果還可以發(fā)現(xiàn)，彈性能密度U在這些邊界區(qū)域內(nèi)的積分分別占整個(gè)系 統(tǒng)的總彈性能量的98% (190Hz)、87% (346Hz)和82% (712Hz)。由于局部能量耗散正比于能 量密度與耗散系數(shù)的乘積，高能量密度所帶來的乘法效應(yīng)會(huì)使整個(gè)系統(tǒng)的總體吸聲能力明 顯增強(qiáng)。這一事實(shí)可以從圖4中列所示的3個(gè)吸聲峰值頻率附近的應(yīng)變場(chǎng)分布看出。在鐵片 邊緣區(qū)域的應(yīng)變?yōu)镠T 3到KT4的量級(jí)，比薄膜其他部分的應(yīng)變至少大1到2個(gè)數(shù)量級(jí)。
[0061]在通常的開放系統(tǒng)中，高能量密度除了被吸收掉以外，還可通過透射聲波和反射 聲波的方式輻射出去。值得注意的是，本暗聲學(xué)超材料包含大量彈性能量集中的小體積，因 而可以