基于fem?kl的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法
【專利摘要】本發(fā)明公開了一種非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法，包括以下步驟：1、確定非平穩(wěn)隨機(jī)載荷的均值和自協(xié)方差矩陣；2、計(jì)算自協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，并獲得特征值的截?cái)鄶?shù)；3、建立結(jié)構(gòu)的有限元模型，并采用商業(yè)有限元中的瞬態(tài)分析方法，計(jì)算以載荷均值和載荷自協(xié)方差矩陣的特征向量分別作為載荷下的均值響應(yīng)函數(shù)和特征向量響應(yīng)函數(shù)；4、基于KL展開獲得結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，包括響應(yīng)的方差和自協(xié)方差函數(shù)。本發(fā)明克服傳統(tǒng)非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法只能用于簡單結(jié)構(gòu)的局限性，提供了一種適合于復(fù)雜結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法，同時(shí)可以顯著提高非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析的計(jì)算效率。
【專利說明】
基于FEM-KL的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法
技術(shù)領(lǐng)域
[0001] 本發(fā)明涉及非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及一種基于FEM-KL的非平 穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分析方法
【背景技術(shù)】
[0002] 非平穩(wěn)隨機(jī)載荷是工程結(jié)構(gòu)中普遍存在的一種載荷，例如:地震載荷、潮汐載荷、 飛行器在服役期間由發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火和各種飛行姿態(tài)調(diào)整引起的振動(dòng)和沖擊動(dòng)力學(xué)載荷等。在 工程應(yīng)用中，由于非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法的局限性，常將非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷簡化 為平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷，然而這樣的簡化方式會(huì)對(duì)后續(xù)的隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析帶來不可忽視的 誤差。
[0003] 非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析是當(dāng)前隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析的一個(gè)技術(shù)難點(diǎn)。目前對(duì)于非 平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析，通常采用Karhunen-Loeve(KL)展開和Polynomial Chaos (PC)展開 等譜隨機(jī)有限元技術(shù)將非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解為一系列確定性隨機(jī)變量后，利用蒙特卡 羅法進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。然而該方法僅適用于簡單結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析，對(duì)于 大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，由于具有較大的自由度，目前缺乏有效率的分析方法。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0004] 發(fā)明目的：針對(duì)現(xiàn)有技術(shù)中存在的問題，本發(fā)明公開了一種非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng) 分析方法，該方法適合于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。
[0005] 技術(shù)方案:本發(fā)明公開了一種非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法，包括如下步驟：
[0006] (1)確定非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的均值和自協(xié)方差矩陣；
[0007] (2)計(jì)算自協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，并獲得特征值的截?cái)鄶?shù)；
[0008] (3)建立結(jié)構(gòu)的有限元模型，并采用商業(yè)有限元軟件中的瞬態(tài)分析方法，計(jì)算以載 荷均值和特征向量分別作為載荷下的均值響應(yīng)函數(shù)和特征向量響應(yīng)函數(shù)；
[0009] (4)根據(jù)均值響應(yīng)函數(shù)和特征向量響應(yīng)函數(shù)以及KL展開獲得結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng) 態(tài)響應(yīng)，包括響應(yīng)的方差和自協(xié)方差函數(shù)。
[0010] 進(jìn)一步地，所述步驟（1)中非平穩(wěn)隨機(jī)載荷X(t)的均值μ(〇和自協(xié)方差矩陣(Xti， t2)計(jì)算公式為：
[0011] y(t)=E[X(t)] (1)
[0012] C(ti,t2)=E[(X(ti)-y(ti))(X(t2)-y(t2))] (2)
[0013] 其中均為時(shí)間變量，E[ ·]表示求期望。
[0014] 進(jìn)一步地，步驟(2)包括如下步驟：
[0015] (201)將時(shí)間t分成m個(gè)時(shí)間段[tk-i，tk];
[0016] 其中k=l，2,3，···，m-l，m;m的取值應(yīng)大于或等于非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷X(t)的時(shí)間 步數(shù)；
[0017] (202)選擇分段常函數(shù)hk⑴作為正交基，其表達(dá)式為：
[0019] (203)求解第二類Fredholm積分方程，獲得自協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量;其 中第二類Fredholm積分方程為：
[0020] ΜΦ = ΛΝΦ (4)
[0021] 式中，矩陣Μ的元素為蚴=f ^ Gy.:)/說沖也，矩陣N中的元素為 八;"=Γ'λ,(〇λ,.⑴心，矩陣λ的元素為八。=5。入土，矩陣Φ = [φ1α)，Φ2α)，···，Φ? * -?ηιη (t)，...，(K(t)]T，為自協(xié)方差矩陣的第i階特征向量，對(duì)應(yīng)的特 征值，tmin和tmax分別為分析時(shí)間的上下界，3ij為克羅內(nèi)克函數(shù)，定義如式（5) ; i，j = 1， 2,......,m；
[0023] (204)獲得特征值的截?cái)鄶?shù)n，即自大到小的前η個(gè)特征值之和大于所有特征值之 和的95 %時(shí)，在第η階處截?cái)唷?br>[0024] 進(jìn)一步地，所述步驟(4)包括如下步驟：
[0025] (401)基于KL展開獲得結(jié)構(gòu)在ρ點(diǎn)的響應(yīng)為：
[0027] 式中A(t)為以載荷均值μ(〇作為載荷下的均值響應(yīng)函數(shù);nu(t)為以第i階特征向 量Φ i(t)作為載荷下的特征向量響應(yīng)函數(shù);所述表示一組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的隨機(jī)變量，具有均值 為〇、方差為1的性質(zhì)；
[0028] (402)計(jì)算獲得響應(yīng)的方差<(〇和自協(xié)方差函數(shù)以^力)分別如下：
[0031] 有益效果:本發(fā)明公開的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法，將FEM(Finite Element Method，有限元方法)和KL方法結(jié)合，克服了傳統(tǒng)非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法只能用于簡 單結(jié)構(gòu)的局限性，適合于復(fù)雜結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的分析，同時(shí)可以顯著提高非平穩(wěn) 隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析的計(jì)算效率。
【附圖說明】
[0032]圖1為本發(fā)明方法的邏輯流程框圖；
[0033]圖2為加筋板的有限元模型；
[0034]圖3為加筋板A處的位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差；
[0035 ]圖4為加筋板A處的位移響應(yīng)自協(xié)方差函數(shù)。
【具體實(shí)施方式】
[0036]下面結(jié)合附圖和【具體實(shí)施方式】，進(jìn)一步闡明本發(fā)明。
[0037]表1加筋板的幾何和材料屬性
[0039] 以一四邊簡支加筋板為例，施加均值為零，自協(xié)方差為貝塞爾形式的隨機(jī)載荷進(jìn) 行非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。載荷步數(shù)為1000,載荷時(shí)長為Is。加筋板的幾何尺寸和材料屬 性如表1所示。
[0040] 步驟1:確定隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷X( t)的均值μ( t)和自協(xié)方差矩陣C( t，t2)，分別如式(9) 和式(10):
[0041 ] y(t)=0 (9)
[0043] 其中Jo表示0階第一類貝塞爾函數(shù)；
[0044] 步驟2:計(jì)算自協(xié)方差矩陣(XU，t2)的特征值和特征向量，并獲得特征值和特征向 量的截?cái)鄶?shù)η，具體步驟如下：
[0045] 201、將時(shí)間18分成1000個(gè)時(shí)間段[七15-131{]，其中1^=1，2,3，~，999，1000 ;
[0046] 202、選擇分段常函數(shù)hk(t)作為正交基，其表達(dá)式為：
[0048] 203、求解第二類Fredholm積分方程，獲得自協(xié)方差矩陣的特征值\和特征向量φι (t);其中第二類Fredholm積分方程為：
[0049] ΜΦ = ΛΝΦ
[0050] 其中，矩陣Μ中的元素
，矩陣Ν中的元素
，矩陣 Λ 中的元素 Aij = 5ijAi，矩陣 Φ = [ φΚ?), Φ2(?), · · ·，Φ? (t)，. . .，Φ lQQ()(t) ]Τ，Φ i(t)為自協(xié)方差矩陣C(tl，t2)的第：1階特征向量，λ?是φ i(t)對(duì)應(yīng)的 特征值，δυ為克羅內(nèi)克函數(shù)，i，j = 1，2，……，1000。
[00511 204、獲得特征值的截?cái)鄶?shù)η。在此實(shí)施例中前7階特征值之和為0.98,所以在第7階 處截?cái)唷?br>[0052]步驟3:建立加筋板的有限元模型如圖2所示，并采用商業(yè)有限元軟件中的瞬態(tài)分 析方法，計(jì)算以載荷均值y(t)和特征向量(^(t)分別作為載荷下加筋板Α處的位移響應(yīng)函 數(shù)A(t)和nu(t);
[0053]步驟4:基于KL展開獲得結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，包括響應(yīng)的方差和自協(xié)方差 函數(shù)。
[0054] 401、基于KL展開獲得加筋板在A處的位移響應(yīng)為：
[0056]其中〖:表示一組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的隨機(jī)變量，具有均值為0、方差為1的性質(zhì)；
[0057] 40 2、計(jì)算獲得位移響應(yīng)的方差σ,丨⑴和自協(xié)方差函數(shù)Rp (H，tk)分別如以下兩式 所示，將二者表示為圖形的形式，分別如圖3和圖4所示。
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 一種非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法，其特征在于包括W下步驟： (1) 確定非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的均值和自協(xié)方差矩陣； (2) 計(jì)算自協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，并獲得特征值的截?cái)鄶?shù)； (3) 建立結(jié)構(gòu)的有限元模型，并采用商業(yè)有限元軟件中的瞬態(tài)分析方法，計(jì)算W載荷均 值和特征向量分別作為載荷下的均值響應(yīng)函數(shù)和特征向量響應(yīng)函數(shù)； (4) 根據(jù)均值響應(yīng)函數(shù)和特征向量響應(yīng)函數(shù)W及化展開獲得結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響 應(yīng)，包括響應(yīng)的方差和自協(xié)方差函數(shù)。2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法，其特征在于，所述步驟（1)中 非平穩(wěn)隨機(jī)載荷x(t)的均值μ(υ和自協(xié)方差矩陣C(ti，t2)計(jì)算公式為： y(t)=E[X(t)] C(tl,t2)=E[(X(tl)-y(tl))(X(t2)-]i(t2))] 其中均為時(shí)間變量，E[ ·]表示求期望。3. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法，其特征在于，所述步驟(2)包 括W下步驟： (201) 將時(shí)間t分成m個(gè)時(shí)間段[tk-i，tk]; 其中k=l，2,3,…，的取值應(yīng)大于或等于非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷X(t)的時(shí)間步 數(shù)； (202) 選擇分段常函數(shù)hk(t)作為正交基，其表達(dá)式為：(203) 求解第二類Fre化olm積分方程，獲得自協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量;其中第 二類Rre化olm積分方程為： ΜΦ = ΛΝΦ;式中，矩陣Μ的元素3矩陣Ν中的元素為 矩陣 A的元素為 Aij = SiAi，矩陣Φ = [ φι(?)，d)2(t)，. . .，Φ? (t)，. . .，d)m(t)]'，(l)i(t)為自協(xié)方差矩陣C(tl，t2)的第i階特征向量，λι是(l)i(t)對(duì)應(yīng)的特 征值，tmin和tmax分別為分析時(shí)間的上下界，Si功克羅內(nèi)克函數(shù)，i，j = 1，2，......，m; (204) 獲得特征值的截?cái)鄶?shù)n，即自大到小的前η個(gè)特征值之和大于所有特征值之和的 95%時(shí)，在第η階處截?cái)唷?. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析方法，其特征在于，所述步驟(4)包 括W下步驟： (401) 基于化展開獲得結(jié)構(gòu)在Ρ點(diǎn)的響應(yīng)為：式中A(t)為W載荷均值y(t)作為載荷下的均值響應(yīng)函數(shù);mi(t)為W第i階特征向量Φι (t)作為載荷下的特征向量響應(yīng)函數(shù);所述ξι表示一組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的隨機(jī)變量，具有均值為0、 方差為1的性質(zhì)； (402) 計(jì)算獲得響應(yīng)的方差σ汝)和自協(xié)方差函數(shù)Rp(tk-i，tk)分別如下：
【文檔編號(hào)】G06F17/50GK106096102SQ201610383839
【公開日】2016年11月9日
【申請(qǐng)日】2016年6月2日 公開號(hào)201610383839.7, CN 106096102 A, CN 106096102A, CN 201610383839, CN-A-106096102, CN106096102 A, CN106096102A, CN201610383839, CN201610383839.7
【發(fā)明人】李彥斌, 費(fèi)慶國, 廖濤, 吳邵慶, 張鵬
【申請(qǐng)人】東南大學(xué)