本發(fā)明涉及土木工程領(lǐng)域的橋梁碰撞間隙設(shè)置寬度的評(píng)估，特別涉及非平穩(wěn)地震作用下橋梁系統(tǒng)碰撞間隙寬度的概率評(píng)價(jià)方法，具體地說(shuō)是基于非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法、精細(xì)積分法和矩陣運(yùn)算方法的橋梁系統(tǒng)概率的計(jì)算方法，可用于判斷既有橋梁碰撞間隙寬度的評(píng)估和為新建橋梁提供碰撞間隙寬度設(shè)置的理論依據(jù)和參數(shù)分析方法。

背景技術(shù)：

地震本身具有隨機(jī)性，所以采用隨機(jī)振動(dòng)法進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗震分析是未來(lái)抗震領(lǐng)域發(fā)展的方向，但是由于理論復(fù)雜，計(jì)算效率低下使其在土木工程中的應(yīng)用受到了延緩。國(guó)內(nèi)外學(xué)者運(yùn)用隨機(jī)振動(dòng)理論對(duì)大跨度橋梁進(jìn)行了相關(guān)研究，在隨機(jī)振動(dòng)領(lǐng)域做了重大的貢獻(xiàn)，并取得相應(yīng)成果。但是，對(duì)于復(fù)雜的大跨度結(jié)構(gòu)，再加上考慮多點(diǎn)激勵(lì)和非平穩(wěn)性等條件，傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)方法計(jì)算結(jié)果用cqc組合計(jì)算巨大，很難用于實(shí)際工程。很多學(xué)者采用簡(jiǎn)化的srss組合方式，但是這卻忽略了相關(guān)項(xiàng)的影響，對(duì)于頻率密集的大跨度復(fù)雜結(jié)構(gòu)，振型之間相互耦合，srss組合方式不能滿(mǎn)足工程要求。

虛擬激勵(lì)法采用矩陣表達(dá)形式概念明確，計(jì)算效率高。虛擬激勵(lì)法將非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)轉(zhuǎn)化為時(shí)程分析，簡(jiǎn)化了非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)的求解方式。但通用有限元軟件沒(méi)有自帶的虛擬激勵(lì)法計(jì)算模塊，如何在通用有限元軟件中實(shí)現(xiàn)隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法是推動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)在工程領(lǐng)域應(yīng)用的關(guān)鍵，且國(guó)內(nèi)外研究甚少。一般情況下，需要研究人員自編程序來(lái)解決虛擬激勵(lì)法的計(jì)算以及軟件的前后處理，這樣就會(huì)導(dǎo)致大量時(shí)間耗費(fèi)在編程建模上。傳統(tǒng)的虛擬激勵(lì)法很難在通用有限元中實(shí)現(xiàn)，即使能實(shí)現(xiàn)也僅限于自由度比較少的結(jié)構(gòu)。因?yàn)閭鹘y(tǒng)的虛擬激勵(lì)法將絕對(duì)位移分解為擬靜力位移項(xiàng)和動(dòng)力相對(duì)位移項(xiàng)后求解運(yùn)動(dòng)方程。在一維多點(diǎn)激勵(lì)時(shí)，求解結(jié)構(gòu)的擬靜力位移項(xiàng)和動(dòng)力相對(duì)位移項(xiàng)都要先得到靜力影響矩陣，然后再根據(jù)靜力影響矩陣確定擬靜力位移和自由度方向的虛擬激勵(lì)荷載來(lái)求動(dòng)力相對(duì)位移項(xiàng)，尤其是對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，自由度相當(dāng)多，這使得傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)荷載加載和求解非常耗時(shí)，更不用說(shuō)多點(diǎn)非平穩(wěn)激勵(lì)分析了。如果還需自己編寫(xiě)程序計(jì)算，那么虛擬激勵(lì)法很難在實(shí)際工程中進(jìn)行推廣應(yīng)用。

眾所周知，時(shí)程分析法也是非常耗時(shí)。雖然虛擬激勵(lì)法將非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)轉(zhuǎn)化為時(shí)程分析，但是在每一個(gè)離散頻率點(diǎn)做一次時(shí)程分析，那么離散頻率有成千上萬(wàn)個(gè)，導(dǎo)致時(shí)程分析也有成千上萬(wàn)次，計(jì)算量還是很大。精細(xì)積分法的引入正好解決了這個(gè)問(wèn)題，只需要兩個(gè)時(shí)程分析就能完成所有的計(jì)算，這大大提高了計(jì)算效率，便于工程應(yīng)用推廣。

另外，地震災(zāi)后調(diào)查發(fā)現(xiàn)，地震作用下橋梁設(shè)計(jì)提供的梁體間隙寬度不足時(shí)，不能滿(mǎn)足梁體之間的相對(duì)位移需求，從而導(dǎo)致梁體發(fā)生碰撞破壞。在頻遇地震中，梁體之間的碰撞導(dǎo)致梁體局部破壞。在罕遇地震中，梁體之間的碰撞可能導(dǎo)致落梁，落梁過(guò)程中梁體可能會(huì)對(duì)橋墩有巨大沖擊，造成全橋的垮塌，進(jìn)而使得災(zāi)后橋梁修復(fù)困難。如何提供合理的間隙寬度來(lái)減輕或避免梁體在地震中的碰撞已成為橋梁抗震領(lǐng)域研究的關(guān)鍵問(wèn)題。

再者，基于概率理論來(lái)研究橋梁碰撞間隙寬度的設(shè)計(jì)能表征地震動(dòng)的隨機(jī)性對(duì)間隙寬度的影響。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)碰撞間隙寬度的研究較少，研究方法基本為確定性動(dòng)力時(shí)程分析和非確定性的隨機(jī)振動(dòng)兩種方法。動(dòng)力時(shí)程分析方法要體現(xiàn)隨機(jī)性需通過(guò)大量的時(shí)程積分運(yùn)算才能得到相對(duì)位移響應(yīng)峰值均值。如要得到橋梁?jiǎn)蝹€(gè)構(gòu)件破壞的條件超越概率，需要計(jì)算不同地震強(qiáng)度水平下的峰值響應(yīng)均值和方差，計(jì)算量巨大，更不用說(shuō)考慮橋梁整個(gè)系統(tǒng)的條件超越概率；隨機(jī)振動(dòng)法可方便得到相對(duì)位移響應(yīng)峰值均值，但是因其理論復(fù)雜，計(jì)算效率低下，在實(shí)際工程中應(yīng)用較少?；陔S機(jī)振動(dòng)方法研究各種因素對(duì)橋梁碰撞間隙寬度設(shè)計(jì)的影響，主要因素有土層分布、地震空間性、地震非平穩(wěn)性、樁-土-結(jié)構(gòu)相互作用、支座參數(shù)(剛度和阻尼)和地震動(dòng)強(qiáng)度等。但是，上述的研究均未涉及到橋梁系統(tǒng)碰撞超越概率。橋梁結(jié)構(gòu)是一個(gè)完整的系統(tǒng)，從系統(tǒng)可靠度角度來(lái)專(zhuān)門(mén)研究橋梁碰撞間隙寬度是非常必要的。

因此，如果將隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法、精細(xì)積分法與矩陣系統(tǒng)可靠度結(jié)合起來(lái)研究橋梁系統(tǒng)在各設(shè)計(jì)間隙寬度下的碰撞系統(tǒng)概率分布，進(jìn)而就可以評(píng)估間隙寬度設(shè)置對(duì)橋梁系統(tǒng)安全性的影響。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是要解決現(xiàn)有技術(shù)問(wèn)題，從而提供一種非平穩(wěn)地震作用下橋梁系統(tǒng)碰撞間隙寬度的概率評(píng)價(jià)方法。

為達(dá)到上述目的，本發(fā)明是按照以下技術(shù)方案實(shí)施的：

非平穩(wěn)地震作用下橋梁系統(tǒng)碰撞間隙寬度的概率評(píng)價(jià)方法，包括以下步驟：

步驟一、建立非平穩(wěn)空間地震激勵(lì)下的橋梁碰撞間隙寬度需求概率模型；

步驟二、引入精細(xì)積分法提高非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)計(jì)算效率；

步驟三、建立了非平穩(wěn)地震作用下震級(jí)與梁體間隙寬度超越概率的關(guān)系；

步驟四、基于矩陣系統(tǒng)運(yùn)算方法建立橋梁系統(tǒng)所有碰撞處各碰撞間隙寬度和橋梁系統(tǒng)碰撞概率關(guān)系。

具體地，所述步驟四中的所有碰撞處為梁體與梁體和梁體與橋臺(tái)之間的碰撞處。

進(jìn)一步，所述步驟二采用方法是基于apdl語(yǔ)言二次開(kāi)發(fā)功能及matlab數(shù)據(jù)處理功能實(shí)現(xiàn)非平穩(wěn)地震多點(diǎn)激勵(lì)快速模擬和數(shù)據(jù)的快速處理，運(yùn)用直接求解的虛擬激勵(lì)法與精細(xì)積分法來(lái)計(jì)算兩個(gè)瞬態(tài)分析得到所有頻率點(diǎn)下的響應(yīng)。

進(jìn)一步，所述步驟三利用matlab矩陣運(yùn)算，通過(guò)矩陣迭代計(jì)算系數(shù)矩陣c和概率矩陣p，快速計(jì)算不同震級(jí)下超越橋梁設(shè)計(jì)的間隙寬度的條件概率。

進(jìn)一步，所述步驟四將單個(gè)間隙寬度超越條件概率按其事件本身的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行組合，快速計(jì)算出系統(tǒng)條件超越概率，從而識(shí)別地震作用下任意超過(guò)間隙寬度后發(fā)展碰撞的橋梁系統(tǒng)破壞條件概率。

本發(fā)明的原理為：

運(yùn)用虛擬激勵(lì)法求解非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)，將其轉(zhuǎn)換為時(shí)程分析，提高了隨機(jī)振動(dòng)計(jì)算效率；精細(xì)積分法將時(shí)程分析縮減為兩次，大大提高計(jì)算效率；引入矩陣運(yùn)算法再次提高計(jì)算效率。系統(tǒng)可靠度計(jì)算效率的提高為其在實(shí)際工程中應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)；基于虛擬激勵(lì)法得到不同震級(jí)下隨時(shí)間變化的梁體響應(yīng)位移峰值均值和均方值，可得到不同震級(jí)下的概率分布，然后通過(guò)矩陣迭代計(jì)算得到系統(tǒng)發(fā)生碰撞的條件概率分布，進(jìn)而評(píng)估間隙寬度設(shè)置對(duì)橋梁系統(tǒng)安全性的影響

1.精細(xì)積分法將時(shí)程分析縮減為兩次，大大提高計(jì)算效率；

引入矩陣運(yùn)算法再次提高計(jì)算效率。系統(tǒng)可靠度計(jì)算效率的提高為其在實(shí)際工程中應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)?；谔摂M激勵(lì)法得到不同震級(jí)下隨時(shí)間變化的梁體響應(yīng)位移峰值均值和均方值，可得到不同震級(jí)下的概率分布，然后通過(guò)矩陣迭代計(jì)算得到系統(tǒng)發(fā)生碰撞的條件概率分布，進(jìn)而評(píng)估間隙寬度設(shè)置對(duì)橋梁系統(tǒng)安全性的影響。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明具有以下有益效果：

1、本發(fā)明選擇虛擬激勵(lì)法求解隨機(jī)振動(dòng)，將計(jì)算效率提高了2-4個(gè)數(shù)量級(jí)；

2、多點(diǎn)激勵(lì)的虛擬激勵(lì)法在通用有限元軟件中的快速模擬，不需要編制專(zhuān)門(mén)程序，為工程師節(jié)約了時(shí)間，贏(yíng)得了效益，從而推動(dòng)了隨機(jī)振動(dòng)法在實(shí)際工程中的應(yīng)用；

3、運(yùn)用虛擬激勵(lì)法和精細(xì)積分法在頻域-時(shí)域內(nèi)混合求解得出各強(qiáng)度水平非平穩(wěn)地震下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均值和均方差(均值和均方差隨時(shí)間變化)；

4、引入davenport理論計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)峰值均值和均方差，迅速得到地震強(qiáng)度與平均需求之間的關(guān)系；

5、引入極值分布函數(shù)獲得隨時(shí)間變化的單個(gè)間隙寬度需求的條件超越概率分布；

6、運(yùn)用矩陣運(yùn)算方法計(jì)算各極限狀態(tài)的系統(tǒng)條件超越概率。

綜述，本發(fā)明運(yùn)用虛擬激勵(lì)法、精細(xì)積分法和矩陣運(yùn)算法三次提高系統(tǒng)條件概率的計(jì)算效率，克服了系統(tǒng)概率求解低下的缺點(diǎn)，便于在實(shí)際工程中推廣應(yīng)用；該發(fā)明可以從橋梁系統(tǒng)層面。評(píng)估橋梁各間隙寬度設(shè)置對(duì)地震作用下橋梁動(dòng)力響應(yīng)的影響

附圖說(shuō)明

圖1為本發(fā)明的變化場(chǎng)地條件下的空間分布圖。

圖2為本發(fā)明的時(shí)程分析的三角加載形式圖。

圖3為本發(fā)明的流程圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合具體實(shí)施例對(duì)本發(fā)明作進(jìn)一步描述，在此發(fā)明的示意性實(shí)施例以及說(shuō)明用來(lái)解釋本發(fā)明，但并不作為對(duì)本發(fā)明的限定。

如圖3所示，本發(fā)明的非平穩(wěn)地震作用下橋梁系統(tǒng)碰撞間隙寬度的概率評(píng)價(jià)方法，包括以下步驟：

步驟一、建立非平穩(wěn)空間地震激勵(lì)下的橋梁碰撞間隙寬度需求概率模型；

步驟二、引入精細(xì)積分法提高非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)計(jì)算效率；

步驟三、建立了非平穩(wěn)地震作用下震級(jí)與梁體間隙寬度超越概率的關(guān)系；

步驟四、基于矩陣系統(tǒng)運(yùn)算方法建立橋梁系統(tǒng)所有碰撞處各碰撞間隙寬度和橋梁系統(tǒng)碰撞概率關(guān)系。

如下以下對(duì)本發(fā)明進(jìn)行詳細(xì)計(jì)算，如圖3所示，具體步驟如下：

1)絕對(duì)位移直接求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程的虛擬激勵(lì)法

運(yùn)用虛擬激勵(lì)法求解式(1)可得：

式中，pe^iωt就是虛擬激勵(lì)荷載，p是由激勵(lì)功率譜分解得到，為結(jié)構(gòu)絕對(duì)位移虛擬響應(yīng)。求解方程(2)式，得到絕對(duì)位移響應(yīng)功率譜密度如下

第i階譜矩陣表示為

基于davenport理論得到峰值響應(yīng)的期望和均方差分別為

峰值期望：

峰值均方差：式(5)和式(6)中，ye和σy分別為線(xiàn)性響應(yīng)x(t)的峰值和標(biāo)準(zhǔn)差，并定義無(wú)量綱參數(shù)η＝y(tǒng)e/σy；平均頻率表示為e(η)為η的近似峰值期望值表示為e(η)≈(2lnvτ)^1/2+γ/(2lnvτ)^1/2；τ為地震持時(shí)，γ＝0.5772為歐拉常數(shù)。

基于式(1-6)可得到不同地震強(qiáng)度水平作用下橋梁梁體之間和梁體與橋臺(tái)之間的相對(duì)位移(△)的響應(yīng)峰值，從而得到地震作用下梁體間的間隙寬度需求均值和均方差，為超越碰撞間隙寬度的條件概率需求模型奠定基礎(chǔ)。

2)碰撞間隙寬度條件碰撞概率模型

據(jù)研究發(fā)現(xiàn)相對(duì)位移峰值響應(yīng)xpeak(t)為隨機(jī)過(guò)程且服從極值i型分布。xpeak(t)概率分布函數(shù)可表示為

g(xpeak(t))＝exp{-exp{-αn(xpeak(t)-un)}}(7)

式中

不同震級(jí)下的相對(duì)位移響應(yīng)峰值均值和均方差由式(5)和式(6)得到并表示為各震級(jí)條件下峰值均值和均方差分別為和那么在特定某一震級(jí)下超過(guò)間隙寬度并使得橋梁發(fā)生碰撞的概率被稱(chēng)為條件碰撞概率。條件碰撞超越概率表示如下

pp/m(t)＝1-exp{-exp{-αn(xpk/m(t)-un)}}(8)式中

從式(8)中可知，震級(jí)條件下峰值均值和均方差已知情況下，xpk/m(t)的分布可以判斷任意間隙寬度時(shí)的條件碰撞超越概率。

3)基于矩陣的系統(tǒng)可靠度

假設(shè)橋梁結(jié)構(gòu)第i個(gè)碰撞點(diǎn)有di個(gè)設(shè)計(jì)間隙寬度，i＝1,...,n，則樣本空間被分為個(gè)窮盡互斥基本事件，且用ej表示，j＝1,...,m。c表示任意事件系數(shù)向量且由0和1組成。ej發(fā)生的概率可表示為pj＝p(ej)，j＝1,...,m。由于事件ej互斥，那么非平穩(wěn)地震作用下系統(tǒng)事件的概率esys(t)可表示為ej事件之和，則系統(tǒng)條件概率表示為兩向量的內(nèi)積

式中p為概率矩陣的列向量。

橋梁系統(tǒng)每一個(gè)碰撞點(diǎn)在多個(gè)設(shè)計(jì)間隙寬度的情況下，系統(tǒng)碰撞事件概率可表示為psys(t)＝c^tp(t)，psys(t)表示一個(gè)隨時(shí)間變化的概率矩陣，其中i行j列的元素表示在第j個(gè)條件下第i個(gè)事件在時(shí)間t的概率。只要確定c和p(t)中各元素，則碰撞系統(tǒng)事件概率可方便得到。系數(shù)矩陣c通過(guò)以下迭代方式得到

c[n]的第i列是第i個(gè)事件向量，記為有如下的運(yùn)算關(guān)系

同理，p也可由矩陣迭代計(jì)算得到

其中，pi表示第i個(gè)事件概率，且

步驟1)中式(2)的虛擬力p由激勵(lì)功率譜分解得到且表征地震動(dòng)空間性。

式中，子矩陣元素si'j'(iω,t)為3×3維矩陣，參照附圖1，相應(yīng)兩個(gè)水平向(x，y)和豎向(z)的地震動(dòng)分量組成的互功率譜矩陣表示為

三維地面運(yùn)動(dòng)的水平向(x,y)分量取相同的功率譜密度函數(shù)，而豎向(z)的功率譜密度取其水平向的0.6倍。故式(15)的非對(duì)角線(xiàn)元素為

式中，si'j',xx(iω,t)，si'j',yy(iω,t)，^si'j',zz(ⁱω,t)由場(chǎng)地傳遞函數(shù)從基巖功率譜密度矩陣函數(shù)得到。

式中，hu,i(iω)，hv,i(iω)，hw,i(iω)和hu,j(iω)，hv,j(iω)，hw,j(iω)分別為空間點(diǎn)i-i′、j-j′在u，v，w方向的場(chǎng)地傳遞函數(shù)。i，j點(diǎn)x，y，z方向的自功率譜密度函數(shù)為

式中，gi,x(ω,t)為第i個(gè)空間點(diǎn)x向在時(shí)域和頻域內(nèi)的調(diào)制函數(shù)，sii,xx(iω)是

基巖x向自功率譜密度函數(shù)，γij(iω)為空間點(diǎn)i，j的相干函數(shù)，形式如下

γij(iω)＝|γij(iω)|exp[-iωdij/vapp(ω)](19)

其中，dij為空間點(diǎn)i，j距離在地震波傳播方向的投影，vapp(ω)表示視波速。

為了得到式(16)-(18)中的頻率傳遞函數(shù)，基于一維波動(dòng)理論，假設(shè)基巖中地震波由面外sh波或者面內(nèi)p-sv波組成，場(chǎng)地頻率傳遞函數(shù)hu,i(iω)，hv,i(iω)，hw,i(iω)表示為

kshxsh＝psh，kp-svxp-sv＝pp-sv(20)

其中，xsh，psh和xp-sv，pp-sv是關(guān)于sh波和p-sv波的位移和荷載向量；剛度矩陣xsh和kp-sv主要由土體性質(zhì)、入射波類(lèi)型、入射角和圓頻率ω確定；動(dòng)力荷載向量psh和pp-sv主要依賴(lài)于基巖的特性、類(lèi)型、頻率和入射波的幅值。通過(guò)式(20)可以得到在每一個(gè)離散頻率點(diǎn)面內(nèi)或面外的頻率傳遞函數(shù)。

為了構(gòu)造虛擬力，三維非平穩(wěn)地震激勵(lì)功率譜矩陣可分解為

式中，p是3m×r維矩陣，r是矩陣的秩，上標(biāo)*和t分別表示復(fù)數(shù)共軛和轉(zhuǎn)置。

式(20)中的w(iω)為3m×3m矩陣，表示了行波效應(yīng)和場(chǎng)地土條件對(duì)相位的變化，表達(dá)式如下

其中，ti,x表示地震波沿x方向到第i個(gè)支撐處所需時(shí)間，θi,x，θm,y，θm,z分別表示在第i個(gè)支撐處x，y，z方向的相位角，將由下面的公式得到

式中，θij,xx為空間點(diǎn)i-i′和j-j′在x方向的相位差。

式(11)中的sg(iω)表達(dá)式如下

式中，sgi,x代表空間點(diǎn)i的x方向上的功率譜密度函數(shù)，水平向(x,y)與豎向(z)的功率譜比值為3:2。

式(11)中的g(ω,t)為三維非平穩(wěn)地面運(yùn)動(dòng)非均勻調(diào)制函數(shù)，形式如下

一般認(rèn)為各個(gè)空間每一個(gè)方向上調(diào)制函數(shù)一致，故可取

gi,x(ω,t)＝gi,y(ω,t)＝gi,z(ω,t)＝g(ω,t)(27)

式(11)中，矩陣r表示多維多點(diǎn)地面運(yùn)動(dòng)的相干矩陣，一般是正定或半正定矩陣，可通過(guò)ldl^t分解如下

r＝[q]3m×r[q^t]r×3m＝[|γij|]3m×3m(當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，|γij|＝1；當(dāng)i≠j時(shí)，0≤|γij|<1)(28)

式中，r被分解為非零特征值αj與其相應(yīng)特征向量(j＝1,2,…,r,r≤3m)的和，其形式如下

部分相干情況下，第階虛擬激勵(lì)表示為

從式(30)可知，相干效應(yīng)、行波效應(yīng)、局部場(chǎng)地效應(yīng)和非平穩(wěn)性分別通過(guò)虛擬激勵(lì)項(xiàng)中的w(iω)、sg(iω)和g(ω,t)來(lái)體現(xiàn)。

完全相干和完全不相干虛擬力可表示為

根據(jù)式(20)和式(21)可得第j個(gè)特征值下的絕對(duì)位移響應(yīng)為

式中

式中，ij(iω,t)是杜哈梅爾積分，h(t-τ)單位脈沖函數(shù)，在部分相干情況的絕對(duì)位移響應(yīng)功率譜密度函數(shù)表示為

同樣，可以得到完全相干和完全不相干情況下的響應(yīng)為

完全相干

式中

完全不相干

式中

由公式(33)、(36)、(38)可以看出，需要在每一個(gè)頻率點(diǎn)下做一次瞬態(tài)分析計(jì)算，雖然相對(duì)于傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)理論來(lái)說(shuō)，直接求解的虛擬激勵(lì)法已經(jīng)非常節(jié)約時(shí)間了，但是如果離散的頻率點(diǎn)太細(xì)，那么計(jì)算的瞬態(tài)分析也就越多，這樣也就非常耗時(shí)，故下面引入精細(xì)積分方法并在通用有限元軟件實(shí)現(xiàn)，這樣只需要兩個(gè)瞬態(tài)分析就能確定結(jié)構(gòu)任意一個(gè)關(guān)注節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)，這樣大大縮短了計(jì)算時(shí)間。

在有限元計(jì)算中，式(2)可另寫(xiě)成如下形式

式中

為確定頻率點(diǎn)下的非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)時(shí)程，mb為橋梁基礎(chǔ)處附加的大質(zhì)量。

將每一個(gè)確定頻點(diǎn)下的動(dòng)力方程式(39)寫(xiě)成狀態(tài)方程形式

其中

狀態(tài)方程(41)的一般解為

式中e^ht為指數(shù)矩陣，對(duì)式(43)進(jìn)行離散積分，設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為δt，由遞推法可知，在ti時(shí)刻的響應(yīng)v(ti)＝vi可用ti-1時(shí)刻的響應(yīng)v(ti-1)＝vi-1來(lái)表示如下

式中，t＝e^h△t為指數(shù)矩陣，改寫(xiě)成如下形式

t＝e^h△t＝[e^h△t/m]^m(45)

令τ＝△t/m，當(dāng)取m＝2ⁿ很大的，△τ非常小，由泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式有

當(dāng)n＝20時(shí)，與一般計(jì)算機(jī)的舍入誤差相比較，泰勒級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差要小的多，不會(huì)由于截?cái)鄮?lái)數(shù)值誤差，故t(τ)的計(jì)算精度實(shí)際上已經(jīng)給出了計(jì)算機(jī)上的精確解。

[i+tai]≡[i+ta,i-1]²＝[i+2ta,i-1+ta,i-1×ta,i-1](i＝1,2,…,n)(47)

因此依次類(lèi)推

[i+tan]＝[i+ta,n-1]²＝[i+ta,n-2]⁴＝…＝[i+ta0]^m＝t(τ)(48)

每次運(yùn)算單元矩陣[i]不參與計(jì)算，因?yàn)閠ai很小，當(dāng)它與單位矩陣[i]相加時(shí)就成為其尾數(shù)，在計(jì)算機(jī)的舍入操作中就會(huì)自動(dòng)舍去。為了避免這種情況的發(fā)生，采用下列遞推方式求解

[tai]＝2[ta，i-1]+[ta，i-1][ta，i-1](i＝1,2,…,n)(49)

假定在每一個(gè)時(shí)間積分步(ti-1,ti)中，荷載為線(xiàn)性變換，則非平穩(wěn)虛擬力f(ω,t)可離散為t0,t1,t2,…,tk處的隨機(jī)變量f0,f1,f2,…,fk,非平穩(wěn)虛擬力可表示為

f(ω,τ)＝r0+r1(τ-ti-1)(50)

式中，r0，r1是一個(gè)是不變向量。

將式(50)代入式(44)可得

式中h^-1的計(jì)算可根據(jù)式(42)可得

將式(51)進(jìn)一步寫(xiě)成下式

令s1＝(i-t)(h^-2/△t)+th^-1,s2＝(t-i)(h^-2/△t)-h^-1(54)

式中，h^-2＝h^-1·h^-1，則式(53)簡(jiǎn)化為

vi＝t△vi-1+s1fi-1+s2fi(i＝1,2,…,k)(55)

每一固定頻點(diǎn)時(shí)，v0＝0，則通過(guò)式(55)可得到固定頻率點(diǎn)各時(shí)刻的響應(yīng)表達(dá)式為

式中

s3＝ts2+s1(57)

若用ai,0，ai,1，…，ai,i分別表示f0，f1，…，fi前面的系數(shù)，ai,i中第^一個(gè)i表示ti時(shí)刻，第二個(gè)表示第i個(gè)荷載離散點(diǎn)位置，則式(56)可表示為

vi＝ai,0f0+ai,1f1+…+ai,i-1fi-1+ai,ifi(i＝1,2,…,k)(58)

式中，ai,0，ai,1，…，ai,i只與結(jié)構(gòu)本身有關(guān)，而與外荷載無(wú)關(guān)，體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)本身在外荷載激勵(lì)下所表現(xiàn)出來(lái)的固有屬性。ai,i的計(jì)算過(guò)程是一個(gè)遞推過(guò)程，用vi-1的系數(shù)ai-1,0，ai-1,1，…，ai-1,i-1來(lái)推導(dǎo)下一步的系數(shù)為

將式(59)代入式(58)寫(xiě)成矩陣的形式，則

由式(60)可知，系數(shù)矩陣中所有其他所有的元素都是第一列和第二列元素的重復(fù)，也就是說(shuō)只要能得到第一列和第二列的所有元素，那么整個(gè)系數(shù)矩陣就能確定。令f0＝1，fk＝0(k>0)，進(jìn)行一個(gè)瞬態(tài)分析就可以得到系數(shù)矩陣的第一列元素。同理，令f0＝0，f1＝1，fk＝0(k>2)，進(jìn)行一個(gè)瞬態(tài)分析就可以得到系數(shù)矩陣的第二列元素，求解加載方式如附圖2。

只要得到系數(shù)矩陣，那么任意頻率點(diǎn)處的非平穩(wěn)時(shí)程荷載作用下的響應(yīng)就能根據(jù)式(60)得到。當(dāng)運(yùn)用絕對(duì)位移直接求解時(shí)，對(duì)于多維多點(diǎn)激勵(lì)的非平穩(wěn)地震動(dòng)荷載，需要對(duì)每一個(gè)激勵(lì)點(diǎn)三個(gè)方向依次進(jìn)行激勵(lì)，分別得到所需的結(jié)構(gòu)關(guān)鍵點(diǎn)響應(yīng)的系數(shù)矩陣a，然后將每一個(gè)方向的激勵(lì)時(shí)程與對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣a相乘后疊加就得到多維多點(diǎn)在固定頻率點(diǎn)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。最后，將所有的頻率點(diǎn)下的激勵(lì)時(shí)程都對(duì)應(yīng)代入后就得到整個(gè)頻率范圍的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

本發(fā)明的技術(shù)方案不限于上述具體實(shí)施例的限制，凡是根據(jù)本發(fā)明的技術(shù)方案做出的技術(shù)變形，均落入本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。