本發(fā)明涉及無線充電器全向充電布置領(lǐng)域，更具體的說，是一種涉及全向充電的檢測(cè)技術(shù)及隨機(jī)布置下全向充電的概率估計(jì)方法。

背景技術(shù)：

如今，由于無線電力傳輸(WPT)無需布線，具有非接觸式的便利性，并能提供穩(wěn)定的電力，越來越受到學(xué)術(shù)界與工業(yè)界關(guān)注。許多以科學(xué)研究為目的的WPT系統(tǒng)——例如工業(yè)無線識(shí)別和傳感平臺(tái)(WISP)，已經(jīng)被設(shè)計(jì)和投入使用。致力于推動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)化WPT的無線電力聯(lián)盟，其會(huì)員公司在2016年達(dá)到了288家，包括了微軟、華為、三星等。對(duì)WPT來說有一個(gè)重要的問題，如果在有向充電器的扇形充電范圍中，充電器朝向與配備有向天線的充電設(shè)備朝向之間的夾角比給定的閾值大，那么設(shè)備無法接收電力?？紤]設(shè)備的潛在移動(dòng)性，一個(gè)設(shè)備可能在某個(gè)特定方向、特定位置接收到足夠大的電量，但當(dāng)設(shè)備移動(dòng)到另一個(gè)位置或者稍微旋轉(zhuǎn)之后可能無法保持這種情況。

近年來已經(jīng)出現(xiàn)了關(guān)于無線充電網(wǎng)絡(luò)的一些文獻(xiàn)研究，這些文獻(xiàn)都假設(shè)了一個(gè)全向電力接收模型，不管設(shè)備面對(duì)什么方向，都可以接收持續(xù)的電力，其重點(diǎn)在于優(yōu)化設(shè)備的充電效率，而沒有考慮設(shè)備配備有向天線的情況。針對(duì)設(shè)備接收電力范圍有向，需提出一種全向充電模型以對(duì)于任意朝向的設(shè)備進(jìn)行有效充電。無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的全視圖覆蓋則是與該問題相關(guān)度最大的。它是指給定對(duì)象在朝向任何方向的情況下，總會(huì)存在一個(gè)傳感器能夠覆蓋這個(gè)對(duì)象，且傳感器監(jiān)測(cè)方向和對(duì)象面對(duì)的方向之間角度不大于給定閾值。而傳感器網(wǎng)絡(luò)的全視圖覆蓋檢測(cè)本質(zhì)是線性和幾何問題，不能用來解決本發(fā)明中提出的非線性問題。因而現(xiàn)有工作都不能解決本發(fā)明中提出的目標(biāo)。

因此，提供一種全向充電的檢測(cè)技術(shù)及隨機(jī)布置下全向充電的概率估計(jì)方法，給出全向充電模型，并對(duì)指定區(qū)域全向充電檢測(cè)及概率估計(jì)，是本領(lǐng)域技術(shù)人員亟待解決的問題。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明目的是：檢測(cè)目標(biāo)區(qū)域是否達(dá)到了全向充電及給出目標(biāo)區(qū)域能夠達(dá)到全向充電的概率上界。

本發(fā)明的技術(shù)方案是：一種全向充電的檢測(cè)及隨機(jī)布置下全向充電的概率估計(jì)方法，其特征是，全向充電的檢測(cè)方法包括以下步驟，

(1)根據(jù)實(shí)際充電實(shí)驗(yàn)結(jié)果，設(shè)計(jì)有向充電模型；

(2)將連續(xù)的區(qū)域離散化以簡(jiǎn)化問題；將非線性的充電功率近似為分段常數(shù)，從而把連續(xù)的區(qū)域劃分為子區(qū)域，每個(gè)子區(qū)域內(nèi)部產(chǎn)生的充電功率相等；

(3)提出一種最小覆蓋集提取技術(shù)，在包含無限個(gè)點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)找出有限個(gè)有可能不滿足充電閾值的點(diǎn)，并提取每個(gè)候選區(qū)域的最小覆蓋集，使用提取結(jié)果完成檢測(cè)；具體而言，選取子區(qū)域邊界上的有限個(gè)點(diǎn)形成有限個(gè)待檢測(cè)策略，調(diào)整策略部署方式求取最小覆蓋集，檢查來自每個(gè)子區(qū)域中每個(gè)最小覆蓋集的總充電功率，進(jìn)而判定區(qū)域是否達(dá)到全向充電；

隨機(jī)布置下全向充電的概率估計(jì)方法，包括以下步驟：

(1)對(duì)區(qū)域使用三角格點(diǎn)進(jìn)行離散處理，對(duì)區(qū)域中任意點(diǎn)可全向充電的概率上界進(jìn)行分析；將給定區(qū)域劃分成密集的三角格點(diǎn)，給出格點(diǎn)推導(dǎo)至整個(gè)區(qū)域可全向充電的概率上界公式。

給定N個(gè)具有半徑為D、角度為A_o的扇形充電區(qū)域的充電器在面積為S_Ω的區(qū)域Ω中隨機(jī)均勻分布，假定充電設(shè)備具有半徑為D、角度為2φ_s的扇形接收區(qū)域，則Ω達(dá)到全向充電的概率上界為P_f(N,D',φ'_s,P'_th)^G。其中，

d'₀＝Pr^-1(P'_th),

其中，充電模型為：

α,β為充電器硬件參數(shù)，||o_is_j||為充電器o_i與充電設(shè)備s_j之間的距離。

(2)對(duì)已有條件進(jìn)行推導(dǎo)，得出整個(gè)區(qū)域可全向充電的概率上界公式；

所述有向充電模型，是指從現(xiàn)有有向充電器和有向充電設(shè)備的實(shí)驗(yàn)推導(dǎo)出該模型：設(shè)有充電器o_i，其充電范圍可近似為一個(gè)以該點(diǎn)為圓心、圓心角為A_o、半徑為D的扇形；有充電設(shè)備s_j，其接收功率范圍可近似為一個(gè)以該點(diǎn)為圓心、圓心角為A_s、半徑為D的扇形。假設(shè)o_i、s_j朝向方向的單位向量分別為則s_j可接收到o_i提供的充電功率須滿足以下條件：(1)||o_is_j||≤D，(2) (3)其中，||o_is_j||代表o_i與s_j之間的距離， 代表向量與之間的夾角。

本發(fā)明提出全向充電的概念、設(shè)計(jì)全向充電模型，并設(shè)計(jì)分段常數(shù)近似和區(qū)域離散化技術(shù)和最小覆蓋集提取技術(shù)，檢測(cè)目標(biāo)區(qū)域是否達(dá)到了全向充電；通過對(duì)區(qū)域進(jìn)行格點(diǎn)離散化，推導(dǎo)出所有網(wǎng)格點(diǎn)都是全向充電的可能性上界。針對(duì)前者，本發(fā)明：1、提出基于經(jīng)驗(yàn)的充電模型；2、提出一種分段常數(shù)近似和區(qū)域離散化技術(shù)，把目標(biāo)區(qū)域劃分成子區(qū)域，每個(gè)子區(qū)域內(nèi)的充電功率近似為常數(shù)，并限制了誤差；3、提出一種最小覆蓋集提取技術(shù)，把目標(biāo)區(qū)域中可能的無限種設(shè)備部署方式，提取成有限個(gè)點(diǎn)，減少連續(xù)搜索空間。針對(duì)后者，本發(fā)明通過區(qū)域格點(diǎn)化并對(duì)充電功率的有效近似，從一個(gè)點(diǎn)的理論結(jié)果推導(dǎo)出所有網(wǎng)格點(diǎn)都可全向充電的概率上界。

本發(fā)明的顯著效果是：區(qū)域中可全向充電定義為一個(gè)配備有向天線的設(shè)備在區(qū)域的任何位置并朝向任何方向，都可以被有向充電器充電，且功率不小于給定閾值。本發(fā)明首先提出了基于經(jīng)驗(yàn)的充電模型，進(jìn)而提出了一種分段常數(shù)近似和 區(qū)域離散化方法，并限制了功率近似誤差；進(jìn)而提出一種最小覆蓋集提取技術(shù)，僅提取有限個(gè)可能無法達(dá)到充電閾值的點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)。同時(shí)對(duì)隨機(jī)布置充電器的給定區(qū)域進(jìn)行了全向充電概率估計(jì)，通過區(qū)域格點(diǎn)化并對(duì)充電功率的有效近似，得到概率上界。本發(fā)明首次提出全向充電的概念，其檢測(cè)方法有效減少了解空間搜索數(shù)量，概率估計(jì)給出了有效上界。尤其是：1、提出了一個(gè)有效的模型，檢測(cè)部署充電器后的目標(biāo)區(qū)域是否全向充電；2、導(dǎo)出了一個(gè)隨機(jī)部署下全向充電概率的上界；3、通過模擬和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)得到本發(fā)明所提出的算法優(yōu)于用來比較的其他算法至少1.2倍，并且理論上的結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)結(jié)果具有高度的一致性。

附圖說明

圖1有向充電模型；

圖2充電功率近似方法示意圖；

圖3區(qū)域離散化示例；

圖4子區(qū)域?yàn)槊鏁r(shí)的最小覆蓋集提取示例；圖4解釋了算法的執(zhí)行過程。圖4(a)給定6個(gè)充電器與1個(gè)子區(qū)域；圖4(b1)首先過每對(duì)充電器作直線與子區(qū)域邊界相交：圖4(b2)：之后對(duì)稱縮小扇形角度至A_s，圖4(c1)與子區(qū)域邊界交于點(diǎn)p'與p”圖4(c2)找到兩個(gè)相同的最小覆蓋，圖4(d))隨機(jī)在子區(qū)域邊界上選擇點(diǎn)p_ref；

圖5(a)、(b)、(c)三種位移情況示意圖。

具體實(shí)施方式

本發(fā)明有兩方面，第一方面有三個(gè)階段：設(shè)計(jì)充電模型、分段常數(shù)近似和區(qū)域離散化、覆蓋集提取并檢測(cè)是否全向充電；第二方面有兩個(gè)階段：網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)區(qū)域進(jìn)行離散處理、計(jì)算選取點(diǎn)的全向充電的概率。在全向充電檢測(cè)階段，分段常數(shù)近似和區(qū)域離散化技術(shù)和覆蓋集提取技術(shù)對(duì)區(qū)域的可充電性進(jìn)行判定。在全向充電概率計(jì)算階段，網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)區(qū)域進(jìn)行離散處理，計(jì)算選取點(diǎn)的全向充電的概率，通過公式推導(dǎo)計(jì)算得出整個(gè)區(qū)域?qū)崿F(xiàn)全向充電的概率。

階段1.1：設(shè)計(jì)充電模型

通過實(shí)際的無線充電器對(duì)無線設(shè)備的充電實(shí)驗(yàn)得到如下兩點(diǎn)性質(zhì)：1、無線傳感器只有在無線充電器正對(duì)方向的一定角度、一定距離范圍內(nèi)才可接收到有效功率；2、無線傳感器朝向與充電器朝向兩者之間連線夾角不能過大，否則也無法接收充電功率。

在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，本發(fā)明提出了有向充電模型(如圖1所示)：充電器o_i正對(duì)方向的單位向量為其具有以該點(diǎn)為圓心、圓心角為A_o且半徑為D的扇形充電區(qū)域，在扇形區(qū)域外的充電功率為零；充電設(shè)備s_j正對(duì)方向單位向量為同樣，其具有以該點(diǎn)為圓心、圓心角為A_s且半徑為D的扇形充電功率接收區(qū)域。設(shè)備s_j可以從充電器o_i接收到有效充電功率的條件是：s_j應(yīng)位于o_i的充電區(qū)域內(nèi)，且o_i應(yīng)位于s_j的接收區(qū)域內(nèi)。其數(shù)學(xué)定義為：(1)||o_is_j||≤D，(2) (3)其中，||o_is_j||代表o_i與s_j之間的距離， 代表向量與之間的夾角。從圖1中可以看出：s_j可以從o_i接收有效充電功率，但s_k不能。

通過采用被廣泛接受的經(jīng)驗(yàn)充電模型，滿足上述充電條件的充電器o_i給設(shè)備s_j的充電功率可表示為：

其中，α和β取決于電磁環(huán)境和充電器的硬件參數(shù)的常量,||o_is_j||代表充電器o_i與充電設(shè)備s_j之間的距離。若設(shè)備s_j被多個(gè)充電器充電，則s_j收到的功率是來自所有充電器的接收的功率的總和。

為了更好地給出全向充電概念，首先給出如下定義：

定義1.1.1：策略：一個(gè)布置策略是一個(gè)二元組(p,θ)，其中，p在平面Ω內(nèi)(p∈Ω)，0°≤θ＜360°。該二元組表示布置位置p及充電器或充電設(shè)備朝向θ。

定義1.1.2：給定設(shè)備s_j與充電器o_i，如果s_j采用(p,θ)策略布置時(shí)可被o_i充電，則稱o_i覆蓋s_j。策略(p,θ)下的覆蓋充電器集合，是所考慮的子區(qū)域中所有覆蓋s_j的充電器的集合。

全向充電定義如下：

定義1.1.3：全向充電：給定已固定位置的設(shè)備s_j，如果該設(shè)備在任何方向都可以接收不小于功率閾值P_th的充電功率，那么s_j所在位置可全向充電。如果一個(gè)區(qū)域Ω中的設(shè)備采用任何策略(p,θ)(p∈Ω)都能夠被全向充電，則區(qū)域Ω可全向充電。

階段1.2：分段常數(shù)近似和區(qū)域離散化

1)Pr(d)的分段常數(shù)近似：本方法使用分段常數(shù)函數(shù)Pr'(d)近似充電功率Pr(d)，這樣做的目標(biāo)是限定近似錯(cuò)誤與計(jì)算開銷。

圖2說明了近似Pr(d)的主要方法。令L(0),L(1),...,L(K)為K個(gè)常數(shù)劃分段的端點(diǎn)。顯然，K越大，近似錯(cuò)誤將會(huì)減小，但會(huì)產(chǎn)生更多的計(jì)算開銷。圖2中K被設(shè)置為2，水平虛線代表充電功率的近似值。

定義1.2.1：令L(0)＝0,L(K)＝D，分段常數(shù)近似Pr(d)定義為：

下面的定理可保證近似錯(cuò)誤小于ε。

定理1.2.1：令L(0)＝0,L(K)＝D,L(k)＝β((1+ε)^k/2-1),(k＝1,2,...,K-1)，則該方法的近似比為：

定理1.2.2：劃分的常數(shù)段數(shù)量因此K＝O(ε^-1)。

2)離散2D區(qū)域：本方法將基于功率的分段常數(shù)近似Pr(d)離散2D區(qū)域， 從而定義解空間。如圖3所示，分別以L(1),L(2),...,L(K)為半徑劃分充電區(qū)域，設(shè)備s₁和s₂位于充電器o₁,o₂半徑為L(zhǎng)(1)與L(2)劃分的區(qū)域內(nèi)，但由于兩者的朝向，它們只被充電器o₂覆蓋，即只能接收到o₂同等的在L(2)級(jí)別的充電功率Pr(L(2))。通過離散2D區(qū)域方法，整個(gè)充電區(qū)域被劃分成許多子區(qū)域，在每個(gè)子區(qū)域中近似功率相同。在圖3中，充電器o₁與o₂的總充電區(qū)域被劃分成了9個(gè)子區(qū)域。

同樣地，可以根據(jù)子區(qū)域的劃分?jǐn)?shù)量限定設(shè)備充電功率的近似錯(cuò)誤。

定理1.2.3：令Pr(s_j)為設(shè)備s_j的近似充電功率，其中，若s_j可以被o_i充電則x_ji＝1，否則x_ji＝0。那么近似錯(cuò)誤表達(dá)式為：

階段1.3：最小覆蓋集(MCS)提取

本發(fā)明提出新方法，僅提取有限數(shù)量的策略代表整個(gè)連續(xù)區(qū)域，檢測(cè)這些策略可接收的充電功率是否滿足閾值，即足以判定整個(gè)區(qū)域是否可全向充電。這些策略與可覆蓋策略的充電器集合相關(guān)，這些充電器集合被稱為最小覆蓋集(MCS)。最后基于所有子區(qū)域獲得的結(jié)果，判斷整個(gè)區(qū)域是否可全向充電。

1)準(zhǔn)備工作：給出如下定義。

定義1.3.1：最小覆蓋集(MCS)：給定一個(gè)子區(qū)域與一個(gè)充電器集合O_i，集合中的每個(gè)充電器都可以覆蓋子區(qū)域中的同一個(gè)設(shè)備，即給這個(gè)設(shè)備充電。若不存在一個(gè)集合也在該子區(qū)域覆蓋同樣的設(shè)備，那么O_i是一個(gè)最小覆蓋集(MCS)。

定義1.3.2：給定兩個(gè)在同一子區(qū)域中的策略(p₁,θ₁),(p₂,θ₂)，它們對(duì)應(yīng)的充電器集合分別為O₁,O₂，如果O₁＝O₂，那么稱策略(p₁,θ₁),(p₂,θ₂)相等；若則稱策略(p₁,θ₁)劣于(p₂,θ₂)，或策略(p₂,θ₂)優(yōu)于(p₁,θ₁)。

定義1.3.3：子區(qū)域Ω_i的候選覆蓋充電器集O_i是可以覆蓋Ω_i中設(shè)備的全部 充電器。

本發(fā)明方法只需考慮所有的最小覆蓋集，而不必枚舉所有可能的策略以及相關(guān)的充電器覆蓋集。

為簡(jiǎn)化之后的分析，先把子區(qū)域退化成點(diǎn)作為特殊樣例進(jìn)行最小覆蓋集提取，再研究一般情況。

2)子區(qū)域?yàn)辄c(diǎn)時(shí)的最小覆蓋集提取：該方法的基本思想是旋轉(zhuǎn)一個(gè)位于所考慮點(diǎn)的虛擬設(shè)備，朝向角從0°旋轉(zhuǎn)到360°，提取這個(gè)過程中的充電器最小覆蓋集。

3)子區(qū)域?yàn)槊鏁r(shí)的最小覆蓋集提取(一般情況)：算法1中詳細(xì)描述了算法細(xì)節(jié)。圖4解釋了算法的執(zhí)行過程。給定6個(gè)充電器與1個(gè)子區(qū)域(如圖4(a)所示)，首先過每對(duì)充電器作直線與子區(qū)域邊界相交：如圖4(b1)中，過o₁o₂作直線與子區(qū)域邊界相交于點(diǎn)p'和p”，并以交點(diǎn)為中心，作出圓心角為A_s+ε、半徑為D的扇形(其中，ε是預(yù)定義的接近于0的正數(shù))，之后對(duì)稱縮小扇形角度至A_s，以排除o₁與o₂(如圖4(b2)所示)，從而得到了兩個(gè)最小覆蓋集{o₃,o₅,o₆}與{o₃,o₄,o₅,o₆}。下一步，以圓周角為A_s+ε作出穿過每一對(duì)充電器的圓弧，例如o₃,o₄，并與子區(qū)域邊界交于點(diǎn)p'與p”(如圖4(c1)所示)，以交點(diǎn)為圓心作出兩個(gè)圓心角為A_s+ε、半徑為D的扇形。同樣，將扇形角度從A_s+ε對(duì)稱縮小到A_s，把o₃與o₄排除在外，然后找到兩個(gè)相同的最小覆蓋集{o₅,o₆}(如圖4(c2)所示)。最后，隨機(jī)在子區(qū)域邊界上選擇點(diǎn)p_ref(圖4(d))進(jìn)行子區(qū)域?yàn)辄c(diǎn)時(shí)的最小覆蓋集提取。最后，由于{o₃,o₄,o₅,o₆}{o₃,o₅,o₆}兩者包含了{(lán)o₅,o₆}而被移除。

算法1：最小覆蓋集提取

輸入：子區(qū)域Ω_i，候選充電器覆蓋集O_i

輸出：所有最小覆蓋集

Step1：對(duì)O_i中所有充電器對(duì)(設(shè)為o₁,o₂)執(zhí)行：

Step1.1：過o₁,o₂作直線與子區(qū)域邊界相交，把設(shè)備放置在這些交點(diǎn)上并調(diào) 整方向，使得o₁,o₂剛好位于角度為A_s+ε的扇形覆蓋區(qū)的逆時(shí)針邊界上，(ε是預(yù)定義的接近于0的正數(shù))，然后把這些扇形角度縮小到A_s并得到當(dāng)前扇形區(qū)域內(nèi)的充電器集合，該集合作為最小覆蓋集加入備選解集。如果這些集合中存在空集，則返回最小覆蓋集為空集。

Step1.2：過o₁,o₂作圓周角為A_s+ε的圓弧并與子區(qū)域邊界相交，把設(shè)備放置在交點(diǎn)上并調(diào)整方向，使得o₁,o₂剛好位于角度為A_s+ε扇形的兩條直線邊界上。把扇形角度縮小到A_s并得到當(dāng)前扇形區(qū)域內(nèi)的充電器集合，該集合作為最小覆蓋集加入備選解集。如果這些集合中存在空集，則返回最小覆蓋集為空集。

Step2：隨機(jī)在子區(qū)域的邊界上選擇一點(diǎn)p_ref，對(duì)這個(gè)點(diǎn)執(zhí)行子區(qū)域?yàn)辄c(diǎn)時(shí)的最小覆蓋集提取，并把結(jié)果添加到備選解集。

Step3：移除備選解集中所有包含了其他最小覆蓋集的解，返回最終解集。

可以看出，算法1只考慮有限個(gè)在子區(qū)域邊界上的點(diǎn)，以下將說明該算法的有效性和完備性。

定義1.3.4：投影：給定一個(gè)策略(p,θ)，把采用該策略的設(shè)備沿著該策略方向移動(dòng)，直到達(dá)到子區(qū)域的邊界上的某個(gè)點(diǎn)p'，并保持朝向不變。

定義1.3.5：旋轉(zhuǎn)：給定一個(gè)策略(p,θ)，把采用該策略的設(shè)備的朝向角從θ旋轉(zhuǎn)到θ'，并保持位置不變。

定義1.3.6：平移：給定一個(gè)策略(p,θ)，把采用該策略的設(shè)備從位置p移動(dòng)到另一個(gè)位置p'，并保持朝向不變。

引理1.3.1：如果(p',θ)是(p,θ)的投影，那么(p,θ')不會(huì)優(yōu)于(p,θ)。

通過引理1.3.1，可得出以下重要推論：

推論1.3.1：最小覆蓋集提取只需要考慮子區(qū)域邊界上的點(diǎn)。

推論1.3.1即說明了算法1中僅考慮子區(qū)域邊界上點(diǎn)是有效的，以下將進(jìn)而說明完備性。

首先，根據(jù)推論1.3.1，只需考慮子區(qū)域在邊界上的策略即可。給定一個(gè)任意的子區(qū)域邊界上的策略(p,θ)，可執(zhí)行兩步調(diào)整：第一步，固定位置p，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)設(shè)備直至至少有一個(gè)設(shè)備原先接收區(qū)域外部的充電器o₂接觸設(shè)備的接收區(qū)域的逆時(shí)針邊界，設(shè)此時(shí)策略為(p,θ')。調(diào)整后的策略(p,θ')不會(huì)優(yōu)于(p,θ)(將扇形接收區(qū)域邊界上的充電器排除)。第二步，沿著子區(qū)域的邊界移動(dòng)設(shè)備并且相應(yīng)改變?cè)O(shè)備的方向，此過程中保證扇形接收區(qū)域逆時(shí)針邊界一定過充電器o₂，直至有另外的充電器將落入設(shè)備的接收區(qū)域內(nèi)。該調(diào)整過程只有三個(gè)可能的情況(如圖5所示)：

情況1：在某些子區(qū)域邊界位置p'，有充電器接觸到了(p',θ”)覆蓋區(qū)域的逆時(shí)針邊界(圖5(a))。

情況2：在某些子區(qū)域邊界位置p'，有充電器接觸到了(p',θ”)覆蓋區(qū)域的順時(shí)針邊界(圖5(b))。

情況3：既不是情況1也不是情況2，即(p',θ”)覆蓋區(qū)域邊界不會(huì)碰到其他任何充電器(圖5(c))。(此情況相當(dāng)于子區(qū)域邊界上任何策略(p,θ')都等同于(p',θ”))

算法1中的Step1.1、Step1.2及Step2分別對(duì)應(yīng)于上述三種情況的(p',θ”)，同時(shí)排除了所有在各自覆蓋區(qū)域邊界上的充電器。既然原始策略(p,θ)是隨機(jī)選擇的，因而算法1獲得的最小覆蓋集包含了子區(qū)域Ω_i中所有可能的最小覆蓋集，從而說明了算法1的完備性。

階段2.1：網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)區(qū)域進(jìn)行離散處理

本發(fā)明采用足夠密集的三角形格點(diǎn)近似整個(gè)連續(xù)的區(qū)域。本發(fā)明提出以下引理說明：如果網(wǎng)格點(diǎn)足夠密集、都可全向充電，且滿足一定附加條件，那么整個(gè)區(qū)域可全向充電。其中，三元組(D,φ_s,P_th)代表區(qū)域中設(shè)備與充電器網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)一設(shè)置，φ_s＝A_s/2。

引理2.1.1：若所有三角網(wǎng)格點(diǎn)可以都被設(shè)置(D',φ'_s,P'_th)下的一系列充電 器全向充電，那么對(duì)于有同樣充電器集合的區(qū)域中的任何點(diǎn)都能全向充電。其中，D'＝D-ΔD,φ'_s＝φ_s-Δφ_s,P'_th＝P_th+ΔP，并假設(shè)A_o＝2π，相鄰三角格點(diǎn)間距離滿足且

階段2.2：計(jì)算選取點(diǎn)的全向充電的概率

為了能夠?qū)λ芯W(wǎng)格點(diǎn)全向充電的概率進(jìn)行研究，先考慮區(qū)域中隨機(jī)點(diǎn)的概率。

本發(fā)明將充電功率近似為：

其中，d'₀＝Pr^-1(P'_th)。這里將充電區(qū)域中的充電功率的概率分布設(shè)為常數(shù)，即f(Pr'(d))＝γ，且γ由下式給出：

容易驗(yàn)證在d'₀≤d≤D'時(shí)，Pr'(d)≥Pr(d)，因此近似功率比真實(shí)功率大。

引理2.2.1：給定N個(gè)充電器，A_o＝2π，隨機(jī)均勻分布在面積為S_Ω的區(qū)域Ω中，則Ω中任意一點(diǎn)可全向充電的概率上界為：

其中，

由上述引理，所有網(wǎng)格點(diǎn)乃至整個(gè)區(qū)域的的全向充電概率上界可根據(jù)如下規(guī)則求得:給定N個(gè)充電器在面積為S_Ω的區(qū)域Ω中隨機(jī)均勻分布，Ω達(dá)到全向充電的概率上界為P_f(N,D',φ'_s,P'_th)^G。其中，P_f在引理2.2.1中給出， l₀在引理2.1.1中給出。