本發(fā)明涉及一種磁懸浮敏感陀螺轉子離心變形誤差在線補償方法，適用于復雜構型圓包絡面轉子高速旋轉時的離心變形誤差補償，特別是懸浮球形轉子類高精度陀螺轉子高速旋轉離心變形干擾力矩的補償。

技術背景

超導磁懸浮陀螺、靜電懸浮陀螺是目前國際公認精度最高的兩種慣性元件，其精度已經(jīng)分別達到了10-11°/小時和10-6°/小時。為了盡可能提高陀螺的測量精度，上述陀螺均采用了非接觸式的轉子懸浮技術，其懸浮轉子均為球面包絡空心結構。這種球面轉子懸浮類陀螺的轉子在高速旋轉時所產(chǎn)生的離心變形，是動態(tài)條件下導致轉子非球形誤差，進而產(chǎn)生漂移誤差、影響陀螺測量精度的主要因素。要進一步提高該類陀螺的精度，就必須根據(jù)陀螺轉子的變形特性，采用各種設計或補償方法，補償轉子在工作狀態(tài)下的離心變形，保證其在工作狀態(tài)下的球形度。但是由于球面懸浮轉子工作狀態(tài)下轉動速度高，工作環(huán)境特殊(真空腔中或穩(wěn)流氣腔內)，因此無法實現(xiàn)其離心變形的在線測量。同時，由于轉子的離心變形與轉速密切相關，因此，一方面，現(xiàn)有的離線測量手段難以實現(xiàn)轉子的理想工作條件，另一方面，低速條件下的離線測量結果對工作狀態(tài)下的變形補償意義有限。難度大，無法實現(xiàn)補償。

目前對球形轉子離心變形分析較多的，主要集中于靜電懸浮陀螺和超導懸浮陀螺，但是對復雜構形的陀螺轉子的離心變形機理分析，以及轉子離心變形導致干擾力矩的可行補償方法研究，目前尚未見到相關文獻報道。論文《deformationanalysisandoptimizationonhollowsphericalrotorinelec-trostacticallysuspendedgyroscope》和《超導空心球形轉子變形分析》中分別涉及了靜電懸浮陀螺和超導磁懸浮陀螺空心球形轉子的變形分析。前者采用有限元仿真的方法，分析了靜電陀螺空心球形轉子在不同工作環(huán)境下的靜態(tài)變形、離心變形與溫度變形，并定性提出，可利用離心變形在工作狀態(tài)下的變形特點減小和補償離心變形，使其變?yōu)榻茍A球，以減小轉子動態(tài)非球形誤差，因此將轉子表面加工成長球形，是提高靜電陀螺精度的重要途徑。后者所涉及的球形轉子因為結構上存在上半圓端面，因而實際上是一種不完全球形，文章采用ansys軟件仿真表明了該結構與理想球殼結構轉子離心變形存在較大的不一致性。兩篇文獻均從仿真角度分析了轉子的離心變形，并沒有提出可行的通用離心變形補償方法，仍然不能實現(xiàn)對轉子離心變形的有效補償。

新型的磁懸浮敏感陀螺轉子結構復雜，其結構為兩個不同半徑的實心球缺拼接而成，球缺本體又有較復雜的結構槽，因此，其在工作狀態(tài)下的離心變形不能用專著《靜電陀螺動力學》中的理想球形變形理論進行描述，轉子離心變形補償問題更為復雜。專利《一種基于逆場力加載的復雜外形高速旋轉轉子離心變形的補償方法(201510565912.8)》將轉子高速旋轉時所受的離心力等效為圓柱形梯度場力，并運用逆力場加載的方法，得到理想轉子在靜態(tài)條件下的結構參數(shù)，從而實現(xiàn)了轉子以理想外形在工作狀態(tài)下運行。但這種方法僅從機械結構方面實現(xiàn)了定速工作下的離心變形誤差補償，在非工作轉速條件下，誤差依然沒有得到補償。本發(fā)明通過對轉子離心變形的理論分析，構建了勒讓德級數(shù)形式的轉子變形理論模型，并依此為基礎建立了轉子在離心變形條件下干擾力矩的實時在線測量方法，與磁懸浮敏感陀螺測量方程相結合，可實時在線準確、方便的補償了轉子在不同轉速條件下的離心變形誤差，提高磁懸浮敏感陀螺角速度測量精度。

技術實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的技術解決問題是：提供了一種實時在線準確、方便的轉子離心變形誤差補償方法，實現(xiàn)了轉子任意轉速下離心變形誤差的高精度補償。該方法通過對轉子離心變形的理論分析，獲得轉子變形的勒讓德級數(shù)表達式，并在此基礎上，獲得了轉子離心變形導致的干擾力矩模型。利用系統(tǒng)實時測量的轉子轉速信息，完成了轉子離心變形干擾力矩的在線計算，結合轉子角速度測量方程，實現(xiàn)了對角速度測量結果中離心變形誤差的實時在線補償，如圖1所示。

該方法不僅可以實現(xiàn)轉子的實時在線補償，而且可以得到離心干擾力矩的解析表達式，為陀螺的高精度高帶寬的姿態(tài)角速率測量和干擾力矩的測量計算提供了一種全新的技術途徑。

本發(fā)明的技術解決方案是：通過對復雜構型球包絡面磁懸浮轉子離心變形的理論分析，建立基于勒讓德級數(shù)的離心變形解析表達式，進而計算得到離心變形導致的干擾力矩。利用實時測量的轉子轉速值，實現(xiàn)對陀螺測量方程中干擾力矩的實時在線補償，提高陀螺角速度測量精度，具體包括以下步驟：

(1)建立復雜構型球形包絡轉子高轉速工作狀態(tài)下轉子離心變形解析模型，圖2為所示磁懸浮敏感陀螺結構剖面圖，圖3為所述復雜構型球形包絡轉子結構示意圖；

如圖4建立以轉子球心為原點的球面坐標系，球面轉子表面上一點p處，沿θ、φ、r方向的線應變εθ、εφ、εr與位移分量之間的幾何關系按照下式計算確定：

式中：

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

r——p點在球面坐標系中r方向坐標值(m)；

εθ——θ方向的線應變(無量綱)；

εφ——φ方向的線應變(無量綱)；

εr——r方向的線應變(無量綱)；

u——p點在球面坐標系中θ方向的位移分量(rad)；

ω——p點在球面坐標系中r方向的位移分量(m)。

p點處應力與應變之間的關系按照下式計算確定：

式中：

σθ——θ方向的正應力(pa)；

σφ——φ方向的正應力(pa)；

σr——r方向的正應力(pa)；

εθ——θ方向的線應變(無量綱)；

εφ——φ方向的線應變(無量綱)；

εr——r方向的線應變(無量綱)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)。

以dr、dφ的定義的微元體為研究對象，如圖5所示，則微元體的徑向平衡條件按照下式計算確定：

nr1-nr2+nφdφ＝fe(3)

其中，

nr1＝σrrbdφ

nr2＝(σr+dσr)(r+dr)bdφ(4)

nφ＝σφbdr

fe＝ρω²r²bdrdφ

式中：

nr1——作用于同心圓斷面外側上的作用力(n)；

nr2——作用于同心圓斷面內側上的作用力(n)；

nφ——作用于子午面斷面上的作用力(n)；

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

b——微元體厚度(m)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

σθ——θ方向的正應力(pa)；

σφ——φ方向的正應力(pa)；

σr——r方向的正應力(pa)；

εθ——θ方向的線應變(無量綱)；

εφ——φ方向的線應變(無量綱)；

εr——r方向的線應變(無量綱)；

fe——微元體中慣性力的合力(n)。

上式經(jīng)簡化可得

為簡化分析，假設用平行于赤道面的等緯度平面將轉子切割為無數(shù)薄圓盤在離心變形后，其上下端面仍保持平面。在這一假設下，不同薄圓盤之間不存在角應變，上下端面上，除正應力外，無剪應力作用。

結合(2)、(5)式可得

式中：

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

r——p點在球面坐標系中r方向坐標值(m)；

u——p點在球面坐標系中θ方向的位移分量(rad)；

ω——p點在球面坐標系中r方向的位移分量(m)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)。

該方程的解即為薄圓盤形轉子的徑向變形方程：

式中：

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

r——p點在球面坐標系中r方向坐標值(m)；

ω——p點在球面坐標系中r方向的位移分量(m)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)；

rout——圓盤外緣半徑(m)；

rin——圓盤內緣半徑(m)。

將轉子視為無數(shù)個薄圓盤的疊加，在各圓盤之間只有正應力作用條件下，各圓盤之間無剪應力作用，上述計算結果向任意緯度平面處圓盤的推廣按照下式計算確定：

式中：

uρ——任意轉子緯度圓上表面徑向形變(m)；

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

rout——圓盤外緣半徑(m)；

rin——圓盤內緣半徑(m)。

考慮到與赤道薄圓盤相鄰的半球狀轉子體的靜平衡，在離心力的作用下，沿軸向的正應力合力應為零，從而可得

式中：

uz——任意轉子緯度圓上表面軸向形變(m)；

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

rout——圓盤外緣半徑(m)；

rin——圓盤內緣半徑(m)。

根據(jù)轉子變形沿r方向的投影與uρ和uz的關系，可得轉子的徑向變形按照下式計算確定：

式中：

ω——p點在球面坐標系中r方向的位移分量(m)；

uρ——任意轉子緯度圓上表面徑向形變(m)；

uz——任意轉子緯度圓上表面軸向形變(m)；

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

rout——轉子外緣半徑(m)；

rin——轉子內緣半徑(m)。

(2)將轉子離心變形模型改寫為勒讓德級數(shù)形式；

在轉子磁極包絡面為近似球形旋轉曲面的假設下，其外形可由勒讓德多項式級數(shù)按照下式計算確定：

式中：

r1——轉子實際半徑(m)；

r10——回轉體平均半徑(m)。

an——描述包絡面形狀的諧波系數(shù)(無量綱)；

r10——回轉體平均半徑(m)。

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

pn(cosθ)——勒讓德多項式級數(shù)(無量綱)。

按照上式的形式，步驟(2)所述轉子的徑向變形按照下式計算確定：

式中：

ω——p點在球面坐標系中r方向的位移分量(m)；

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

rout——轉子外緣半徑(m)；

rin——轉子內緣半徑(m)。

圖6為本發(fā)明所述磁懸浮敏感陀螺按照所述(12)計算得到的徑向形變。

(3)建立轉子離心變形導致的干擾力矩數(shù)學模型；

轉子離心變形導致的干擾力矩數(shù)學模型，按照下式計算確定：

式中：

t——轉子所受單個定子磁極作用的力矩矢量(n·m)；

μ0——真空磁導率(4π×10^-7n/a²)；

n——定子磁極線圈匝數(shù)(無量綱)；

i——線圈電流(a)；

s——施加磁場力的定子磁極面面積(m²)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

φ——p點在球面坐標系中φ方向坐標值(rad)；

rout——轉子外緣半徑(m)；

δ0——轉子與定子磁極之間的氣隙寬度(m)；

δδ0——轉子與定子磁極之間的氣隙寬度變化量(m)；

an——描述包絡面形狀的諧波系數(shù)(無量綱)；

p’n(cosθ)——勒讓德多項式級數(shù)的一次導數(shù)(無量綱)。

按照權利要求3所述轉子徑向變形的勒讓德級數(shù)表達式所確定的轉子定子磁極氣隙變化量，按照下式計算確定：

δδ＝ω(14)

式中：

δδ0——轉子與定子磁極之間的氣隙寬度變化量(m)；

ω——轉子上一點在球面坐標系中r方向變形勒讓德級數(shù)表述(m)。

(4)根據(jù)在線測量的轉子轉速和所建數(shù)學模型實時計算轉子離心變形干擾力矩；

在線測量步驟(2)所述磁懸浮敏感陀螺轉子的轉動速度，將轉動速度值代入步驟(2)所述轉子徑向變形模型和步驟(3)所述干擾力矩計算模型，即可實時獲得步驟(2)所述轉子徑向變形和步驟(3)所述轉子離心變形干擾力矩。

(5)將離心變形干擾力矩計算結果帶入陀螺測量方程；

步驟(1)所述磁懸浮敏感陀螺的測量方程，按照下式計算確定：

式中：

ωx——磁懸浮敏感陀螺測量的x方向角速度(rad/s)；

ωy——磁懸浮敏感陀螺測量的y方向角速度(rad/s)；

mx——磁懸浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(n·m)；

my——磁懸浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(n·m)；

jz——陀螺轉子極轉動慣量(kg·m²)；

ω——轉子轉速(rad/s)。

由于轉子離心變形導致轉子所受控制力矩中包含了轉子變形引起的干擾力矩，要獲得精確的角速度測量結果，需要將干擾力矩從原始的控制力矩中補償?shù)?，補償后的角速度測量結果，可按照下式計算確定：

式中：

ω’x——磁懸浮敏感陀螺測量的x方向誤差補償后角速度(rad/s)；

ω’y——磁懸浮敏感陀螺測量的y方向誤差補償后角速度(rad/s)；

mx——磁懸浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(n·m)；

my——磁懸浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(n·m)；

tx——磁懸浮敏感陀螺x方向所受離心變形干擾力矩(n·m)；

ty——磁懸浮敏感陀螺y方向所受離心變形干擾力矩(n·m)；

jz——陀螺轉子極轉動慣量(kg·m²)；

ω——轉子轉速(rad/s)。

(6)實時獲取經(jīng)過轉子離心變形誤差補償?shù)慕撬俣葴y量結果。

將步驟(4)所述在線獲取的轉子離心變形干擾力矩帶入步驟(5)所述(15)式，即可實時獲取經(jīng)過轉子離心變形誤差補償?shù)慕撬俣葴y量結果，圖7所示為本發(fā)明所述磁懸浮敏感陀螺經(jīng)過離心變形誤差補償后得到的角速度測量結果，圖8所示為補償前后測量結果誤差。

本發(fā)明的原理是：高速旋轉的陀螺轉子會發(fā)生離心變形，轉子的變形將導致轉子與定子之間的間隙發(fā)生變化，從而使定子對轉子的作用力矩中增加了離心變形導致的干擾力矩項，降低陀螺的角速度測量精度。通過對該干擾力矩的實時計算和高精度補償，則會消除該干擾力矩的影響，提高陀螺角速度測量精度。

如果球面磁懸浮陀螺轉子磁極包絡面為理想球面，且所對應球面幾何中心重合，則轉子穩(wěn)定轉動時，轉子表面各處磁力均通過球心，系統(tǒng)無干擾力矩影響，測量結果無漂移誤差產(chǎn)生。

對于本發(fā)明所述磁懸浮敏感陀螺的測量方程，可按照下式計算確定：

式中：

ωx——磁懸浮敏感陀螺測量的x方向角速度(rad/s)；

ωy——磁懸浮敏感陀螺測量的y方向角速度(rad/s)；

mx——磁懸浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(n·m)；

my——磁懸浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(n·m)；

jz——陀螺轉子極轉動慣量(kg·m²)；

ω——轉子轉速(rad/s)。

當轉子由于高速轉動而產(chǎn)生離心變形時，實際的轉子磁極包絡面將偏離理想球面，這種偏離將使轉子所受磁力不通過轉子幾何中心而形成對轉子幾何中心的力矩，這一力矩成為轉子離心變形干擾力矩。

轉子離心變形導致的干擾力矩數(shù)學模型，按照下式計算確定：

式中：

t——轉子所受單個定子磁極作用的力矩矢量(n·m)；

μ0——真空磁導率(4π×10^-7n/a²)；

n——定子磁極線圈匝數(shù)(無量綱)；

i——線圈電流(a)；

s——施加磁場力的定子磁極面面積(m²)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

φ——p點在球面坐標系中φ方向坐標值(rad)；

rout——轉子外緣半徑(m)；

δ0——轉子與定子磁極之間的氣隙寬度(m)；

δδ0——轉子與定子磁極之間的氣隙寬度變化量(m)；

an——描述包絡面形狀的諧波系數(shù)(無量綱)；

p’n(cosθ)——勒讓德多項式級數(shù)的一次導數(shù)(無量綱)。

通過在線測量本發(fā)明所述磁懸浮敏感陀螺轉子的轉動速度，將轉動速度值代入干擾力矩計算模型，即可實時獲得所述轉子離心變形干擾力矩。

將所示實時計算所得干擾力矩從原始的控制力矩中去除，即可按照所述陀螺測量方程進行高精度的測量角速度計算，進而可實時獲取經(jīng)過轉子離心變形誤差補償?shù)慕撬俣葴y量結果。補償后的角速度測量結果，可按照下式計算確定：

式中：

ω’x——磁懸浮敏感陀螺測量的x方向誤差補償后角速度(rad/s)；

ω’y——磁懸浮敏感陀螺測量的y方向誤差補償后角速度(rad/s)；

mx——磁懸浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(n·m)；

my——磁懸浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(n·m)；

tx——磁懸浮敏感陀螺x方向所受離心變形干擾力矩(n·m)；

ty——磁懸浮敏感陀螺y方向所受離心變形干擾力矩(n·m)；

jz——陀螺轉子極轉動慣量(kg·m²)；

ω——轉子轉速(rad/s)。

(6)實時獲取經(jīng)過轉子離心變形誤差補償?shù)慕撬俣葴y量結果。

本發(fā)明與現(xiàn)有技術相比，優(yōu)點在于：

(1)本發(fā)明通過理論分析，構建了復雜構型球面轉子的離心變形公式，通過該公式，可得到高轉速轉子的離心變形。

(2)本發(fā)明通過構建轉子離心變形導致的干擾力矩數(shù)學模型，可以實時獲得高精度的磁懸浮轉子離心變形干擾力矩。

(3)本發(fā)明可以實現(xiàn)對任意轉速球包絡面轉子離心變形誤差實時在線、準確、便捷的完全補償，克服了靜電懸浮陀螺、超導磁懸浮陀螺對轉子離心變形誤差無法有效補償?shù)牟蛔恪?/p>

(4)本發(fā)明還可以實現(xiàn)對各類球包絡面懸浮轉子離心變形誤差的補償，從而可以為一類高速轉子離心變形誤差的補償提供一種通用的補償方法。

附圖說明

圖1為本發(fā)明技術解決方案的實現(xiàn)原理框圖；

圖2為本發(fā)明技術解決方案的磁懸浮敏感陀螺剖面圖；

圖3a為本發(fā)明技術解決方案的磁懸浮敏感陀螺轉子徑向結構剖視圖；

圖3b為本發(fā)明技術解決方案的磁懸浮敏感陀螺轉子軸向球缺三維結構圖；

圖4為本發(fā)明技術解決方案所建立的球面坐標系；

圖5為本發(fā)明技術解決方案的磁懸浮敏感陀螺轉子赤道微元體受力分析圖；

圖6a為本發(fā)明技術解決方案的磁懸浮敏感陀螺轉子軸向磁軸承徑向變形圖；

圖6b為本發(fā)明技術解決方案的磁懸浮敏感陀螺轉子徑向磁軸承徑向變形圖；

圖7為本發(fā)明技術解決方案的磁懸浮敏感陀螺轉子離心變形誤差補償后測得的角速度結果圖；

圖8a為本發(fā)明技術解決方案的磁懸浮敏感陀螺轉子離心變形誤差補償前后x方向角速度測量誤差比較圖；

圖8b為本發(fā)明技術解決方案的磁懸浮敏感陀螺轉子離心變形誤差補償前后y方向角速度測量誤差比較圖；

圖9為本發(fā)明技術解決方案的磁懸浮敏感陀螺轉子離心變形計算模型結構圖；

具體實施方案

本發(fā)明的實施對象如圖2所示，磁懸浮陀螺的轉子由軸向和徑向兩個半徑分別為r、r的實心球缺組合而成。其中，徑向結構的球缺的外沿包含用于洛倫茲力磁軸承安裝的環(huán)形槽，其剖視圖如圖2a所示，軸向結構的球缺三維結構如圖2b所示，轉子整體結構為具有球形包絡面的復雜結構。在實際工況下，轉子在高速旋轉時會由于離心作用而產(chǎn)生較大的變形，轉子包絡面將偏離球形，從而引起陀螺的漂移誤差，降低陀螺性能。

下面以新型磁懸浮敏感陀螺的離心變形誤差補償過程為例來闡述本發(fā)明的具體實施過程。

具體實現(xiàn)過程如下：

(1)建立復雜構型球形包絡轉子高轉速工作狀態(tài)下轉子離心變形解析模型，圖2為所示磁懸浮敏感陀螺結構剖面圖，圖3為所述復雜構型球形包絡轉子結構示意圖；

如圖4建立以轉子球心為原點的球面坐標系，球面轉子表面上一點p處，沿θ、φ、r方向的線應變εθ、εφ、εr與位移分量之間的幾何關系按照下式計算確定：

式中：

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

r——p點在球面坐標系中r方向坐標值(m)；

εθ——θ方向的線應變(無量綱)；

εφ——φ方向的線應變(無量綱)；

εr——r方向的線應變(無量綱)；

u——p點在球面坐標系中θ方向的位移分量(rad)；

ω——p點在球面坐標系中r方向的位移分量(m)。

p點處應力與應變之間的關系按照下式計算確定：

式中：

σθ——θ方向的正應力(pa)；

σφ——φ方向的正應力(pa)；

σr——r方向的正應力(pa)；

εθ——θ方向的線應變(無量綱)；

εφ——φ方向的線應變(無量綱)；

εr——r方向的線應變(無量綱)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)。

以dr、dφ定義的微元體為研究對象，如圖5所示，則微元體的徑向平衡條件按照下式計算確定：

nr1-nr2+nφdφ＝fe(3)

其中，

nr1＝σrrbdφ

nr2＝(σr+dσr)(r+dr)bdφ(4)

nφ＝σφbdr

fe＝ρω²r²bdrdφ

式中：

nr1——作用于同心圓斷面外側上的作用力(n)；

nr2——作用于同心圓斷面內側上的作用力(n)；

nφ——作用于子午面斷面上的作用力(n)；

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

b——微元體厚度(m)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

σθ——θ方向的正應力(pa)；

σφ——φ方向的正應力(pa)；

σr——r方向的正應力(pa)；

εθ——θ方向的線應變(無量綱)；

εφ——φ方向的線應變(無量綱)；

εr——r方向的線應變(無量綱)；

fe——微元體中慣性力的合力(n)。

上式經(jīng)簡化可得

為簡化分析，假設用平行于赤道面的等緯度平面將轉子切割為無數(shù)薄圓盤在離心變形后，其上下端面仍保持平面。在這一假設下，不同薄圓盤之間不存在角應變，上下端面上，除正應力外，無剪應力作用。

結合(2)、(5)式可得

式中：

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

r——p點在球面坐標系中r方向坐標值(m)；

u——p點在球面坐標系中θ方向的位移分量(rad)；

ω——p點在球面坐標系中r方向的位移分量(m)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)。

該方程的解即為薄圓盤形轉子的徑向變形方程：

式中：

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

r——p點在球面坐標系中r方向坐標值(m)；

ω——p點在球面坐標系中r方向的位移分量(m)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)；

rout——圓盤外緣半徑(m)；

rin——圓盤內緣半徑(m)。

將轉子視為無數(shù)個薄圓盤的疊加，在各圓盤之間只有正應力作用條件下，各圓盤之間無剪應力作用，上述計算結果向任意緯度平面處圓盤外邊緣的推廣按照下式計算確定：

式中：

uρ——任意轉子緯度圓上表面徑向形變(m)；

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

rout——圓盤外緣半徑(m)；

rin——圓盤內緣半徑(m)。

考慮到與赤道薄圓盤相鄰的半球狀轉子體的靜平衡，在離心力的作用下，沿軸向的正應力合力應為零，從而可得

式中：

uz——任意轉子緯度圓上表面軸向形變(m)；

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

rout——圓盤外緣半徑(m)；

rin——圓盤內緣半徑(m)。

根據(jù)轉子變形沿r方向的投影與uρ和uz的關系，可得轉子的徑向變形按照下式計算確定：

式中：

ω——p點在球面坐標系中r方向的位移分量(m)；

uρ——任意轉子緯度圓上表面徑向形變(m)；

uz——任意轉子緯度圓上表面軸向形變(m)；

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

rout——轉子外緣半徑(m)；

rin——轉子內緣半徑(m)。

(2)將轉子離心變形模型改寫為勒讓德級數(shù)形式；

在轉子磁極包絡面為近似球形旋轉曲面的假設下，其外形可由勒讓德多項式級數(shù)按照下式計算確定：

式中：

r1——轉子實際半徑(m)；

r10——回轉體平均半徑(m)。

an——描述包絡面形狀的諧波系數(shù)(無量綱)；

r10——回轉體平均半徑(m)。

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

pn(cosθ)——勒讓德多項式級數(shù)(無量綱)。

按照上式的形式，步驟(2)所述轉子的徑向變形按照下式計算確定：

式中：

ω——p點在球面坐標系中r方向的位移分量(m)；

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

rout——轉子外緣半徑(m)；

rin——轉子內緣半徑(m)。

本發(fā)明所述磁懸浮敏感陀螺轉子的構型為復雜的、帶多條鏤空的球缺結構，如圖9所示，因此，轉子的變形可按如下方法計算：

軸向磁軸承部分，按照實心球體結構計算轉子軸向兩端球面部分所成球冠部分的變形。

軸向磁軸承部分，由于結構復雜，既不能按照實心球結構進行變形計算，也不能按照球形殼體進行變形計算，因此，可按照如下近似方法進行離心變形量的計算：

(a)計算圖9所述以abco為截面、繞z軸所成圓柱體的離心變形；

(b)計算圖9所述以cdef為截面、繞z軸所成圓環(huán)的離心變形，以第一步所得f點的橫坐標絕對值為圓環(huán)內徑，b點的橫坐標絕對值為圓環(huán)外徑；

(c)計算圖9所述以ghje為截面、繞z軸所成球面圓環(huán)的離心變形，以第二步所得e點的橫坐標絕對值為圓環(huán)內徑，外徑近似為e點變形后og連線的長度；

式中：

og——e點變形后og連線的長度(m)；

zg——g點的在z方向上的坐標值(m)；

δxe——e點變形后在x軸方向上的坐標增量(m)；

rout——轉子外緣半徑(m)。

(d)計算圖9所述以lmhj為截面、繞z軸所成球面圓環(huán)的離心變形，以第三步所得k點的橫坐標絕對值為圓環(huán)內徑，外徑近似為k點變形后og連線的長度，求解方法同(c)所述；

(e)最終，轉子軸向磁軸承的離心變形由(c)(d)中所述兩個球面圓環(huán)的球面部分變形組成，計算得到的變形曲線如圖6b所示。由于兩圓環(huán)的厚度不同，在彎曲力矩的作用下，兩圓環(huán)的連結處，其徑向位移必須連續(xù)變化，因此，厚度較大的上半部分圓環(huán)減小了與其連結部分下圓環(huán)的離心變形，而隨著與上圓環(huán)距離的增大，上圓環(huán)對下圓環(huán)的影響逐漸減弱。

將兩部分離心變形曲線連接并平滑后，得到變形曲線的擬合公式為：

a0＝8.9516×10^-4

a1＝-1.4839×10^-4

a2＝-1.2×10^-3

a3＝9.6935×10^-4

a4＝5.1613×10^-5

式中：

ω——p點在球面坐標系中r方向的位移分量(m)；

ρ——轉子材料的密度(kg/m³)；

ω——轉子轉速(rad/s)；

e——轉子材料的楊氏模量(gpa)；

v——轉子材料的泊桑比(無量綱)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

rout——轉子外緣半徑(m)；

rin——轉子內緣半徑(m)。

圖6為本發(fā)明所述磁懸浮敏感陀螺按照所述(12)計算得到的軸向、徑向磁軸承離心形變。

(3)建立轉子離心變形導致的干擾力矩數(shù)學模型；

轉子離心變形導致的干擾力矩數(shù)學模型，按照下式計算確定：

式中：

t——轉子所受單個定子磁極作用的力矩矢量(n·m)；

μ0——真空磁導率(4π×10^-7n/a²)；

n——定子磁極線圈匝數(shù)(無量綱)；

i——線圈電流(a)；

s——施加磁場力的定子磁極面面積(m²)；

θ——p點在球面坐標系中θ方向坐標值(rad)；

φ——p點在球面坐標系中φ方向坐標值(rad)；

rout——轉子外緣半徑(m)；

δ0——轉子與定子磁極之間的氣隙寬度(m)；

δδ0——轉子與定子磁極之間的氣隙寬度變化量(m)；

an——描述包絡面形狀的諧波系數(shù)(無量綱)；

p’n(cosθ)——勒讓德多項式級數(shù)的一次導數(shù)(無量綱)。

轉子徑向變形的勒讓德級數(shù)表達式所確定的轉子定子磁極氣隙變化量，按照下式計算確定：

δδ＝ω(14)

式中：

δδ0——轉子與定子磁極之間的氣隙寬度變化量(m)；

ω——轉子上一點在球面坐標系中r方向變形勒讓德級數(shù)表述(m)。

(4)根據(jù)在線測量的轉子轉速和所建數(shù)學模型實時計算轉子離心變形干擾力矩；

在線測量磁懸浮敏感陀螺轉子的轉動速度，將轉動速度值代入轉子徑向變形模型和干擾力矩計算模型，即可實時獲得轉子徑向變形和轉子離心變形干擾力矩。

(5)將離心變形干擾力矩計算結果帶入陀螺測量方程；

磁懸浮敏感陀螺的測量方程，按照下式計算確定：

式中：

ωx——磁懸浮敏感陀螺測量的x方向角速度(rad/s)；

ωy——磁懸浮敏感陀螺測量的y方向角速度(rad/s)；

mx——磁懸浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(n·m)；

my——磁懸浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(n·m)；

jz——陀螺轉子極轉動慣量(kg·m²)；

ω——轉子轉速(rad/s)。

由于轉子離心變形導致轉子所受控制力矩中包含了轉子變形引起的干擾力矩，要獲得精確的角速度測量結果，需要將干擾力矩從原始的控制力矩中補償?shù)?，補償后的角速度測量結果，可按照下式計算確定：

式中：

ω’x——磁懸浮敏感陀螺測量的x方向誤差補償后角速度(rad/s)；

ω’y——磁懸浮敏感陀螺測量的y方向誤差補償后角速度(rad/s)；

mx——磁懸浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(n·m)；

my——磁懸浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(n·m)；

tx——磁懸浮敏感陀螺x方向所受離心變形干擾力矩(n·m)；

ty——磁懸浮敏感陀螺y方向所受離心變形干擾力矩(n·m)；

jz——陀螺轉子極轉動慣量(kg·m²)；

ω——轉子轉速(rad/s)。

(6)實時獲取經(jīng)過轉子離心變形誤差補償?shù)慕撬俣葴y量結果。

將在線獲取的轉子離心變形干擾力矩代入(15)式，即可實時獲取經(jīng)過轉子離心變形誤差補償?shù)慕撬俣葴y量結果，圖7所示為本發(fā)明所述磁懸浮敏感陀螺經(jīng)過離心變形誤差補償后得到的角速度測量結果，圖8所示為補償前后測量結果誤差。

為了驗證該測量方法的效果，設轉子的轉速為1200r/s，同時假設轉子幾何中心只有x方向偏中誤差，偏中誤差的大小為0.00005m，利用本發(fā)明所述誤差補償方法進行仿真。仿真試驗結果分別如圖7、圖8所示。

在圖7中橫坐標表示時間，單位是s，縱坐標表示陀螺測量得到的陀螺房偏轉角速度，單位為rad/s。從圖7可以看出，在利用本發(fā)明所述誤差補償方法進行轉子離心變形誤差補償后，其x、y方向的角速度測量結果基本與理想輸出值重合，測量結果與理想值無明顯偏差。

在圖8中橫坐標表示時間，單位是s，縱坐標表示陀螺補償前后測量結果的誤差值，單位為rad/s。在無補償時，轉子在控制力矩和干擾力矩共同作用下，x方向測量得到的角速度誤差最大值達1.2×10^-3rad/s，y方向測量得到的角速度誤差最大值達5.8×10^-3rad/s。加入本發(fā)明所述在線補償方法后，x方向測量得到的角速度誤差最大值降低到0.2×10^-3rad/s，y方向測量得到的角速度誤差最大值降低至4.8×10^-3rad/s，測量誤差分別降低了83％和21％。

通過上述典型仿真實驗結果可以看出采用本發(fā)明提出的誤差補償方法，可以以非常高的精度將轉子離心變形導致的角速度測量誤差補償?shù)?，而且能夠實現(xiàn)實時在線補償，補償效果不受轉子轉速約束，說明采用本發(fā)明方法很好地實現(xiàn)對轉子離心變形干擾力矩導致測量誤差的在線實時補償，且計算實現(xiàn)較簡單，工程性強。

本發(fā)明說明書中未作詳細描述的內容屬于本領域專業(yè)技術人員共知的現(xiàn)有技術。