應(yīng)用改進(jìn)的alp算法優(yōu)化并串聯(lián)系統(tǒng)維修的方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明涉及生產(chǎn)制造技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及并串聯(lián)生產(chǎn)制造系統(tǒng)的維修優(yōu)化問題。
【背景技術(shù)】
[0002] 并串聯(lián)系統(tǒng)廣泛的存在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)中，一個(gè)并串聯(lián)系統(tǒng)由多個(gè)單元組成，要解決系 統(tǒng)的維修問題需要考慮兩個(gè)重要問題。一方面系統(tǒng)中的各個(gè)部件間存在依賴性，因此系統(tǒng) 中的各單元的維修不能單獨(dú)考慮；另一方面系統(tǒng)的維修資源是有限的，如何正確的分配有 限的維修資源使系統(tǒng)收益最大化是并串聯(lián)系統(tǒng)維修優(yōu)化的另一問題。要解決以上兩個(gè)問 題，并串聯(lián)系統(tǒng)需要一個(gè)基于系統(tǒng)狀態(tài)的維修策略，而系統(tǒng)狀態(tài)是各單元狀態(tài)的組合。因 此，含有多狀態(tài)部件系統(tǒng)維修優(yōu)化問題的難點(diǎn)之一就是系統(tǒng)的狀態(tài)空間過大。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0003] 發(fā)明目的：改進(jìn)ALP算法減少規(guī)劃算法中約束條件和變量數(shù)，擴(kuò)大FMDP模型的使用 范圍。
[0004] 技術(shù)方案:本發(fā)明應(yīng)用于由隊(duì)個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)組成的生產(chǎn)系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)包含兩 個(gè)單元，分別用上單元和下單元來區(qū)別。系統(tǒng)中所有單元隨時(shí)間退化，其退化過程服從離散 時(shí)間的馬爾科夫鏈。子系統(tǒng)η中的上單元(下單元)有S un(Sdn)種不同的狀態(tài)，其中，狀態(tài)1用 于表示全新狀態(tài)，狀態(tài)Sun_2 (Sdn_2)表示上單元(下單元)已經(jīng)損壞，狀態(tài)Sun_l (Sdn_l)表示上 單元(下單元)處于預(yù)防維修，而狀態(tài)Sun(Sdn)則表示上單元(下單元)處于故障維修。矩陣P un (Pdn)是子系統(tǒng)η中上單元(下單元)的名義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。當(dāng)子系統(tǒng)η中上單元(下單元)的狀 態(tài)超過了門限ζ υη(ζ<ιη)時(shí)，下單元(上單元)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣將變成Qdn(Q un)。由此，本算法考 慮了同一個(gè)子系統(tǒng)中的兩個(gè)單元的隨機(jī)依賴關(guān)系。矩陣yun(y dn)代表子系統(tǒng)η中上單元 (下單元)的生產(chǎn)率，（YunhGYdrOi)是狀態(tài)i下的上單元(下單元)的生產(chǎn)率。子系統(tǒng)的生產(chǎn) 率是上單元(下單元)生產(chǎn)率的最小值，而系統(tǒng)的生產(chǎn)率是所有子系統(tǒng)生產(chǎn)率的總和。單位 系統(tǒng)生產(chǎn)率在每個(gè)單位時(shí)間內(nèi)帶來的利潤是r d。
[0005] 維修組的數(shù)量為Nt，也就是說最多有Nt個(gè)單元同時(shí)維修。預(yù)防維修和故障維修的時(shí) 間均滿足幾何分布。子系統(tǒng)η中，上單元(下單元)預(yù)防和故障維修在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)成功的 概率分別是P P,un(PP,dn)和匕^把^丄經(jīng)濟(jì)依賴性從以下兩個(gè)方面來介紹。
[0006] 第一，同時(shí)維修子系統(tǒng)中的兩個(gè)單元可以帶來較低的生產(chǎn)損失。
[0007] 第二，在子系統(tǒng)η處于維修狀態(tài)時(shí)，每單位時(shí)間內(nèi)有固定的耗損率為cst,n。本設(shè)計(jì) 將有限的維修資源最優(yōu)分配，最大化單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的平均收益。
[0008] 本設(shè)計(jì)主要假設(shè)：
[0009] 1.當(dāng)單元處于維修時(shí)，生產(chǎn)率為0,同子系統(tǒng)中的另一個(gè)單元的退化過程停止。 [0010] 2.本設(shè)計(jì)不考慮非完全維修，預(yù)防維修和故障維修可以更新單元的狀態(tài)至最新狀 ??τ 〇
[0011 ] 3.-旦單元開始維修，將無法停止，直到該單元變?yōu)樽钚聽顟B(tài)。
[0012] 4.隨機(jī)依賴和經(jīng)濟(jì)依賴只存在于同一個(gè)子系統(tǒng)的兩個(gè)單元之間。
[0013] 由于維修問題的復(fù)雜性，可采用基于MDP的維修決策法來獲得在不同系統(tǒng)狀態(tài)下 的最優(yōu)維修策略。系統(tǒng)的退化過程應(yīng)該在MDP模型中描述。子系統(tǒng)中的單元存在隨機(jī)依賴和 濟(jì)依賴，而且所有單元共享有限的維修資源。因此，單元的退化過程彼此相關(guān)，不能分開建
模。系統(tǒng)狀態(tài)可以表示為向量..一一 ，其中Xun(Xdn)是子系統(tǒng)η中上單元 (下單元）的狀態(tài)。系統(tǒng)的退化過程受系統(tǒng)維修措施
的影響，其 中Aun(Adn)是子系統(tǒng)η中的上單元(下單元）的維修措施。MDP模型的貝爾曼方程可以被表示 為：
[0014]
[0015] 其中V(XS::| =腸&s fvk(Xs、})。常數(shù)λ是MDP的折合因子，表達(dá)式Pr (X's I Xs，As)是 考慮了維修后，在系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)為XS時(shí)，下一個(gè)單位時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)變?yōu)閄' S的概率。收益函數(shù) R(XS，AS)反應(yīng)了系統(tǒng)狀態(tài)Xs和維修措施1共同作用的結(jié)果。由于不同的子系統(tǒng)退化過程相 互獨(dú)立，系統(tǒng)的條件轉(zhuǎn)移概率可以表示為：
[0016]
[0017] 上述式子可以簡化為：
[0018] Pr(X7 οη,Χ7 dn|Xun,Xdn,Aun,Adn)
[0019] 式2
[0020] =Pr(X7 un I Xun,Xdn,Aun,Adn) 1 Pr (X7 dn | Xun , Xdn, Aun , Adn )
[0021] 由于上單元和下單元條件轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算相似，所以只給出上單元條件轉(zhuǎn)移概率 的推導(dǎo)，該公式分下述四種情況計(jì)算獲得。
[0022] 情況1:上單元處于工作狀態(tài)，例如父11"<3 11"-2，父<111<3(111-2 41111 = 0，&11(1厶(111 = 0，條件 轉(zhuǎn)換概率：
[0023] Pr(X7 un|Xun,Xdn,Aun,Adn)
[0024] 式 3
[0025] = I (Xdn< idn) ( Pn ) XunX7 un+1 (Xdn > idn) ( Qn ) XunX7 dn
[0026] 式3中，函數(shù)I( ·)是指標(biāo)函數(shù)：
[0027]
[0028] 情況2 :上單元處于停機(jī)但是不處于維修狀態(tài)，例如(Xdn 2 Sdn-2，Aun = 0 )或者(Aun = 0，八(111=1)，條件轉(zhuǎn)移概率：
[0029] Pr (X7 un I Xun, Xdn , Aun , Adn) = I (X7 dn = Xun)式4
[0030] 情況三:上單元處于預(yù)防維修狀態(tài)，例如，（Xun<Sun-2，A un= 1 )或者Xun= Sun-1，條 件轉(zhuǎn)移概率
[0031] Pr(X7 un|Xun,Xdn,Aun,Adn)
[0032] 式 5
[0033] = I (X7 un= 1 )Pp,un+I (X7 un = Sun-l ) ( 1-Pp,un)
[0034] 情況四：上單元處于故障維修狀態(tài)，例如(Xun = Sun-2，Aun=l)or Xun=Sun，條件轉(zhuǎn) 換概率
[0035] Pr (X7 un I Xun, Xdn , Aun , Adn) = I (X7 un = 1 )Pc, un+1 (X7 un = Sun) ( 1 -Pc, un)式6
[0036] 由于各子系統(tǒng)是并聯(lián)的，單位時(shí)間內(nèi)的系統(tǒng)收益可以表示為：
[0037]
[0038] 其中，Rn(Xn，An)是子系統(tǒng)η在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的收益，既該子系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)生 產(chǎn)利潤和維修消耗之差。
[0039] Rn(Xun，Xdn，A un，Adn ) - Rpn ( Xun j Xdn j Aun j Adn ) -Cmn ( Xun j Xdn j Aun j Adn ) ?ζ7
[0040] 生產(chǎn)利潤計(jì)算公式如下：
[0041 ] Rpn (Xun，Xdn，Aun，Adn) - I (Aun - 0 and Adn - 〇)rd Π??π(( y un)xunj( Y dn)xdn)式 8
[0042] 維修消耗計(jì)算公式如下：
[0043] Cmin(Xun，Xdn，Aun，Adn) - I (AunΟΓ Adn ^ 0 ) Cst, n
[0044] +I(Aun=l and(Xim=Sun-2 or Xun = Sun))Cc,un
[0045] +I(Aun=l and Xun關(guān) Sun-2 and Xun關(guān) Sun)CP,un
[0046] +I(Adn=l and(Xdn=Sdn_2 Or Xdn = Sdn))Cc,dn
[0047] +I(Adn=l and Xdn關(guān) Sdn_2 and Xdn關(guān)Sdn)cP,dn
[0048] 傳統(tǒng)的求解MDP的方式是通過值迭代或者線性規(guī)劃完成的，這些方法只適用于較 小的系統(tǒng)。對于大規(guī)模系統(tǒng)則可以將MDP簡化為FMDP，本設(shè)計(jì)的FMDP模型是基于子系統(tǒng)的， 可以表示為：
[0049]
[0050] 式9中hnu(Xn)是關(guān)于子系統(tǒng)η的第j個(gè)基函數(shù)，其取值由子系統(tǒng)η的狀態(tài)決定，而與 其他子系統(tǒng)無關(guān)。w n,j是基函數(shù)hn,j(Xn)的權(quán)重，而WQ是與狀態(tài)無關(guān)的常數(shù)。子系統(tǒng)η-共有 他,"個(gè)基函數(shù)?！订柡?,」(」=1...他, 11)的值是通過解?1^模型得到的。
[0051] FMDP模型最重要的問題之一是基函數(shù)選擇，多項(xiàng)式函數(shù)和指標(biāo)函數(shù)是兩種常用的 基函數(shù)。子系統(tǒng)η的第k階多項(xiàng)式基函數(shù)可表示為：
[0052] 式 10
[0053] 其中n = l，. . .，Ns，ku 2 0，kd 2 0,0<ku+kd < k，同樣子系統(tǒng)η的第邱介指標(biāo)基函數(shù)可 以表示為：
[0054]
[0055] 表達(dá)式11中η=1，· · ·，Ns，iun=l，· · ·，Sun，idn=l，· · ·，Sdn，ku = 0，l，kd = 0，l，0<ku +kd < k。多項(xiàng)式基函數(shù)的個(gè)數(shù)與單元狀態(tài)數(shù)無關(guān)，指標(biāo)基函數(shù)的數(shù)目隨單元狀態(tài)數(shù)的增加 而增加。然而指標(biāo)基函數(shù)的運(yùn)算效率更高。
[0056] 在?1^模型中，基函數(shù)的權(quán)重帥和^(11=1，2，...，叱，」=1，2，...具,11)需要通過 求解FMDP模型來確定的。近似線性規(guī)劃(ALP)是求解FMDP模型的常用方法，相比于線性規(guī)劃 模型（見表1)，ALP(見表2)的變量數(shù)從| X |減少到1 + 15^沒_。在ALP算法的目標(biāo)函數(shù)中， 權(quán)重的系數(shù)可以通過下式求得：
[0057]
[0058] 表達(dá)式12*αη(Χη)是狀態(tài)乂"的狀態(tài)相關(guān)權(quán)重，滿足表達(dá)式13的關(guān)系。
[0059] 1...辦......
[0060]本算法在求解的過程中采用均勻的狀態(tài)相關(guān)權(quán)重。
[0061] 表1線性規(guī)劃公式
[0062]
[0063] 表2近線性規(guī)劃公式
[0064]
[0065] 表2中，約束條件數(shù)是系統(tǒng)狀態(tài)變量Xs和維修措施As的可能組合數(shù)。因此減少約束 條件是ALP算法的一個(gè)重要步驟。改進(jìn)的ALP算法減少約束的原理是將不同子系統(tǒng)的約束條 件分解成不同的元素。首先表2中的約束條件可以寫成表達(dá)式14:
[0066]
[0067] 式14中1^^人）=人811,」(乂11人)-1111,」^)，不等式右邊的第二部分是隊(duì)個(gè)表達(dá)式 之和，其中關(guān)于子系統(tǒng)η的表達(dá)式如下：
[0068]
[0069] 式15中，對于給定的維修措施4"，其最大值可以表示為
[0070]
[0071] 不等式約束可以由下列不等式代替：
[0072]
[0073] 最終可以簡化為：
[0074]
[0075]
[0076] 最后ALP的約束條件數(shù)量可以減少到- '3)(2S^ - 5) + 同時(shí)增 加了新變I
。由于一共有4種不同的子系統(tǒng)維修措施， 所以線性規(guī)劃的變量的數(shù)目變成〔1 4· 4? +1?L 該表達(dá)式與子系統(tǒng)數(shù)呈近似的線性 關(guān)系，從而解決了傳統(tǒng)MDP模型求解過程中系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)的限制。
【附圖說明】
[0077] 圖1是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框架；
[0078] 圖2是基于二階指標(biāo)基函數(shù)的ALP算法所得的最佳數(shù)值函數(shù)的誤差。
【具體實(shí)施方式】
[0079] 本