一種圖像自適應網(wǎng)格生成變分方法
【技術領域】
[0001]本發(fā)明涉及圖像逼近和分片多項式逼近，尤其是涉及基于三角網(wǎng)格的、利用分片多項式逼近產(chǎn)生圖像自適應剖分的一種圖像自適應網(wǎng)格生成變分方法。
【背景技術】
[0002]利用三角網(wǎng)格逼近一幅圖像主要是在該三角網(wǎng)格的每個三角面上構造出一個逼近函數(shù)，使得該三角網(wǎng)格能夠獲得的逼近質量盡量高[1，2]。
[0003]三角網(wǎng)格是與圖像數(shù)據(jù)息息相關的，許多方法采用將三角網(wǎng)格簡化的策略來生成最終的網(wǎng)格結果，即初始的三角網(wǎng)格包含了圖像的所有像素點，根據(jù)逼近誤差極小化確定相應的連接關系，依次從當前網(wǎng)格中刪除逼近誤差最小的頂點，直到逼近誤差達到設定值或網(wǎng)格頂點個數(shù)減小到設定值[3，4]。
[0004]但受到刪除頂點和翻轉三角邊的準則的不同，這種方法產(chǎn)生的結果之間差異較大，頂點的位置相對固定，無法獲得更好的逼近結果。另一類方法是向初始的粗糙網(wǎng)格內不斷在誤差較大的面上依據(jù)加點準則插入頂點，并結合翻邊準則更新連接關系，直到頂點個數(shù)達到指定值[5]。這種方法只是不斷地細分網(wǎng)格，仍然存在較大的優(yōu)化空間。第三類方法則同時加入了頂點的優(yōu)化過程，在一定程度上頂點位置更加靈活[6]。本發(fā)明所述的方法屬于最后一類。
[0005]參考文獻
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【發(fā)明內容】

[0012]本發(fā)明的目的在于提供在初始三角網(wǎng)格剖分上可以自動地根據(jù)圖像的特征線產(chǎn)生最優(yōu)的剖分結果，即該三角剖分能夠沿著圖像的特征線分布，使得該三角網(wǎng)格逼近該圖像時所產(chǎn)生的逼近誤差最小的一種圖像自適應網(wǎng)格生成變分方法。
[0013]本發(fā)明包括以下步驟:
[0014]S1、輸入圖像，設定相關參數(shù)；
[0015]S2、產(chǎn)生初始的三角網(wǎng)格剖分；
[0016]S3、根據(jù)能量函數(shù)及相應的梯度和Hessian矩陣信息計算三角網(wǎng)格頂點的新位置，并將各頂點移動到新位置上；
[0017]S4、更新頂點移動后的三角網(wǎng)格的連接關系；
[0018]S5、循環(huán)執(zhí)行步驟S3至S4若干次，直到迭代次數(shù)達到J，即在圖像區(qū)域內產(chǎn)生一個剖分結構非常接近原圖像的三角網(wǎng)格；輸出最優(yōu)的三角網(wǎng)格和相應的逼近多項式集合。
[0019]在步驟SI中，所述圖像包括但不限于灰度或彩色；所述相關參數(shù)包括但不限于逼近多項式的階次、三角網(wǎng)格頂點個數(shù)N和牛頓迭代的優(yōu)化次數(shù)J。
[0020]在步驟S2中，所述產(chǎn)生初始的三角網(wǎng)格剖分的具體方法可為:
[0021]S21、在圖像區(qū)域的四個角點各生成一個頂點，并將它們連接形成一個三角網(wǎng)格，這四個頂點是固定的邊界點，在后續(xù)優(yōu)化過程中不參與任何操作；
[0022]S22、在當前三角網(wǎng)格上找到一個逼近誤差最大的三角面，在該三角形區(qū)域上產(chǎn)生一個隨機頂點，并插入到當前三角網(wǎng)格；
[0023]S23、重復執(zhí)行S22，直到頂點個數(shù)達到設定值。
[0024]在步驟S3中，所述根據(jù)能量函數(shù)及相應的梯度和Hessian矩陣信息計算三角網(wǎng)格頂點的新位置，并將各頂點移動到新位置上的具體方法可為:
[0025]S31、對于當前三角網(wǎng)格上的除四個角點外的每個頂點，根據(jù)提出的能量函數(shù)，及關于頂點的梯度和Hessian矩陣公式，計算除四個角點外的每個頂點相應的梯度分量和Hessian 矩陣；
[0026]S32、將梯度和Hessian矩陣信息代入牛頓迭代法的公式中，計算除四個角點外的每個頂點的新位置；
[0027]S33、步驟S32中的步長值根據(jù)下述方法求解得到，即初值為1，不斷減小該值，直到某個步長值使得逼近誤差減?。粸榱吮苊馊蔷W(wǎng)格產(chǎn)生退化，還需考慮頂點移動當前步長值是否會越過它的一鄰域范圍，若是，則繼續(xù)減小步長值；
[0028]S34、將三角網(wǎng)格上的每個頂點移動到計算得到的相應新位置上。
[0029]在步驟S4中，所述更新頂點移動后的三角網(wǎng)格的連接關系的具體方法可為:
[0030]S41、對于當前三角網(wǎng)格上的一條內部邊，計算與它相鄰的兩個三角面相應的逼近誤差E1、E2 ；
[0031]S42、假設將該邊翻轉，與之相鄰的兩個三角面的頂點組合產(chǎn)生變化，計算相應的新的逼近誤差E3、E4;
[0032]S43、如果 E1+E2>E3+E4，則翻轉該邊；
[0033]S44、對當前三角網(wǎng)格的所有內部邊執(zhí)行步驟S41?S43過程，已翻轉或者無需翻轉或者幾何上不能翻轉的邊稱為該邊的最優(yōu)狀態(tài)；
[0034]需要注意的是，翻轉一條邊可能會導致與該邊相鄰的四條邊不是最優(yōu)狀態(tài)，需要對它們重新計算并決定是否需要翻轉。
[0035]本發(fā)明能夠在一幅圖像上產(chǎn)生一個分布結構非常接近該圖像特征線的三角網(wǎng)格。
[0036]三角網(wǎng)格的頂點更新不可避免地會出現(xiàn)內部頂點向邊界移動，這些頂點的最終歸宿是在邊界邊上，相對來說，它們已經(jīng)是邊界點，所以當一個內部頂點移動到離邊界很近的一定范圍的位置時，應當將其直接移動到邊界上，并設置為邊界點，具體操作是，將該點移動到與其相鄰的邊界面的那條邊界邊上，然后刪除該邊界面。這種邊界點的后續(xù)優(yōu)化只在邊界上移動。
[0037]為了使得最終結果盡量好，對整個優(yōu)化過程進行改進，采用一種逐步優(yōu)化的策略。具體來說，有:
[0038]Al、設定一個參數(shù)值n，表示η次加點后三角網(wǎng)格頂點個數(shù)達到指定數(shù)量N ；
[0039]Α2、初始時，根據(jù)貪婪策略產(chǎn)生頂點個數(shù)為Ν/η的三角網(wǎng)格；
[0040]A3、對當前網(wǎng)格進行若干次的牛頓迭代優(yōu)化；
[0041]Α4、若當前網(wǎng)格頂點個數(shù)達到N，則優(yōu)化過程結束；否則，在當前三角網(wǎng)格上找到逼近誤差最大的前Ν/η個三角面，在這些面上各插入一個頂點，可以隨機插入或取三角形的重心插入，此時三角網(wǎng)格增加了 Ν/η個頂點；
[0042]Α5、重復執(zhí)行η?I次A3?Α4過程；
[0043]Α6、輸出最優(yōu)的三角網(wǎng)格和相應的逼近多項式集合。
[0044]一般來說，為了使得最后的結果較好，一般設置最后一次加完點后優(yōu)化的次數(shù)為前幾次加完點后優(yōu)化次數(shù)的2倍。
[0045]由此可見，本發(fā)明實質上是一個分片多項式逼近方法。主要理論闡述如下:
[0046]1、本發(fā)明采用分片多項式的方法來逼近一個給定的函數(shù)，該函數(shù)的定義域被分割成若干個不相交的子區(qū)域，在每個子區(qū)域上我們構造出一個多項式，用該多項式在該子區(qū)域上逼近給定的原函數(shù)，多項式階次可任意指定。
[0047]2、關于如何劃分給定函數(shù)的定義域成若干個子區(qū)域，本發(fā)明采用簡單的幾何結構，即三角網(wǎng)格；需要注意的是，為了使得三角網(wǎng)格能夠完全覆蓋原函數(shù)的定義域，我們需要在定義域的特征點上設置三角網(wǎng)格的固定頂點，在后續(xù)優(yōu)化過程中不能移動。例如，當函數(shù)定義域為長方形時，在該長方形的四個角點上需要分別設置一個頂點。
[0048]3、本發(fā)明根據(jù)上兩條理論，提出一個能量函數(shù)。由于我們用三角網(wǎng)格劃分原函數(shù)的定義域，并在每個小三角形中構建相應的逼近多項式，自然地，在每個小三角形中，多項式與原函數(shù)之間一定存在誤差，稱為逼近誤差；一個小三角形中的逼近誤差可以用積分計算得出，本發(fā)明采用多項式與原函數(shù)的差值的平方來表示積分中的被積函數(shù)，積分區(qū)域即該三角形區(qū)域；據(jù)此，三角網(wǎng)格對應的總誤差為每個小三角形上的誤差累加和，我們將其稱為能量函數(shù)。
[0049]4、由于三角網(wǎng)格主要由頂點的位置和頂點之間的連接關系決定，在Τ3中，能量函數(shù)是以三角網(wǎng)格為變量，為了簡化計算，將連接關系從能量函數(shù)分離出來，令能量函數(shù)只與頂點的位置相關，因此利用三角網(wǎng)格逼近原函數(shù)的問題包含兩步:即優(yōu)化能量函數(shù)(頂點位置的更新)和優(yōu)化連接關系；由于我們的目標是使得三角網(wǎng)格對應的逼近誤差最小，因此，減小逼近誤差是連接關系更新的主要原則。
[0050]5、本發(fā)明采用了牛頓迭代法來優(yōu)化三角網(wǎng)格的頂點位置。根據(jù)能量函數(shù)的特點推導出了能量函數(shù)關于各個頂點的梯度和Hessian矩陣公式，它們用于牛頓迭代法中頂點新位置的計算；牛頓迭代法中的步長設置如下，初值為1，不斷減小它直到頂點的移動能夠減小逼近誤差且不會造成三角網(wǎng)格產(chǎn)生退化。
[0051]6、本發(fā)明主要通過翻轉邊來更新三角網(wǎng)格的連接關系，除了以使逼近誤差減小為原則，還需考慮翻轉邊是否造成三角網(wǎng)格退化。
[0052]7、本發(fā)明整體的優(yōu)化過程包括頂點的更新和連接關系的更新，兩者不斷交替執(zhí)行，直到達到指定次數(shù)。
[0053]8、圖像可看做是離散的函數(shù)，上述理論可直接應用在灰度圖像的逼近問題上，同時可以推廣到多重函數(shù)的逼近問題，如逼近彩色圖像；只需適當修改能量函數(shù)，詳細表述如下:將彩色圖像的各個顏色通道看做單獨的函數(shù)，對每個通道函數(shù)分別構造一個逼近多項式，在三角網(wǎng)格的各個小三角形區(qū)域上，逼近誤差由各個通道的逼近誤差累加起來。實際上，只有能量函數(shù)的積分部分的被積函數(shù)發(fā)生改變，它對梯度和Hessian矩陣公式的推導幾乎沒有影響，因此上述理論同樣適用于彩