本發(fā)明涉及工程結(jié)構(gòu)可靠性分析技術(shù)領(lǐng)域，尤其涉及一種基于配點(diǎn)型算法的隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)可靠性評估方法。

背景技術(shù)：

工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要保證結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)和給定的載荷下完成預(yù)定的功能。然而，在設(shè)計(jì)過程和實(shí)際操作環(huán)境中往往存在大量的不確定性，大致可分為物理不確定性、統(tǒng)計(jì)不確定性和模型不確定性。物理不確定性由載荷、材料、幾何和邊界條件等參數(shù)的變異性所致。統(tǒng)計(jì)不確定性是由樣本數(shù)量的不足而對分布參數(shù)產(chǎn)生的估計(jì)偏差所造成的，也經(jīng)常是由于真實(shí)分布形式與預(yù)估分布形式存在偏差所造成的。而模型不確定性是指所使用的數(shù)學(xué)、物理模型不能完全精確地反映問題的本質(zhì)，只是對客觀情況的一種近似描述。為保證結(jié)構(gòu)的安全性能，需要對這些不確定性帶來的負(fù)面效果進(jìn)行合理地量化和管理。在具有充足的樣本信息時(shí)，對工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和操作環(huán)境中的不確定性使用概率模型進(jìn)行描述是一種合理的方法，可使用可靠度或失效概率的概念量化結(jié)構(gòu)完成預(yù)定功能的概率。

在工程結(jié)構(gòu)的可靠性分析中，由于各隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)通常極難獲得，所以精確的全概率積分方法很難應(yīng)用于實(shí)際問題之中。作為工程中一種現(xiàn)實(shí)的選擇，人們轉(zhuǎn)向研究只使用隨機(jī)變量前兩階矩的一次二階矩方法，其中包括中心點(diǎn)法、驗(yàn)算點(diǎn)法等。這類方法將非線性功能函數(shù)在隨機(jī)變量域內(nèi)的某點(diǎn)處展開為線性函數(shù)得到，計(jì)算過程簡單但具有較低的計(jì)算精度。無論是中心點(diǎn)法還是驗(yàn)算點(diǎn)法，都沒有正面解決響應(yīng)函數(shù)Z的分布問題，而只滿足于在求得可靠度指標(biāo)β值后，通過假定Z的分布(通常為正態(tài))來解決β與失效概率的轉(zhuǎn)換問題。這在一定程度上引入了模型不確定性。為改善一次二階矩方法的計(jì)算精度，國內(nèi)外廣泛開展了二次二階矩、二次四階矩方法的研究。雖然隨著展開的階數(shù)和所使用統(tǒng)計(jì)量的增多，計(jì)算精度稍顯增加，但這些方法都是基于Taylor展開的，很重要的環(huán)節(jié)是需要計(jì)算響應(yīng)函數(shù)關(guān)于各隨機(jī)變量的靈敏度，工程問題中往往以差商運(yùn)算代替微商運(yùn)算，而這個過程也將引入難以估量的誤差。

鑒于基于Taylor展開方法的精度限制，統(tǒng)計(jì)類可靠性分析方法也得到了長足的發(fā)展，尤其是在處理需要高可靠度指標(biāo)的工程問題中得以應(yīng)用。Monte Carlo仿真方法的理論基礎(chǔ)是概率論中的大數(shù)定理，具有不受應(yīng)用范圍限制的優(yōu)點(diǎn)，但其缺點(diǎn)是需要消耗極大的計(jì)算代價(jià)，雖然已出現(xiàn)了改進(jìn)的多種抽樣方法，但其在實(shí)際工程計(jì)算中仍較少采用，一般多用于檢驗(yàn)一些新提出方法的精度。所以，在目前工程結(jié)構(gòu)可靠度分析方法中，缺少一類具有較高計(jì)算精度，但計(jì)算量又可以承受的方法。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

針對現(xiàn)有技術(shù)的缺陷，本發(fā)明提供一種基于配點(diǎn)型算法的隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)可靠性評估方法，綜合考慮了工程結(jié)構(gòu)可靠性問題在計(jì)算精度和計(jì)算效率上的平衡，基于結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的一元等效積分弱形式和配點(diǎn)型方法給出結(jié)構(gòu)的失效概率，從而減緩了隨機(jī)響應(yīng)的正態(tài)性假設(shè)所帶來的模型誤差。

一種基于配點(diǎn)型算法的隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)可靠性評估方法，包括以下步驟：

步驟1：對于包含多個獨(dú)立隨機(jī)變量的工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題，建立參數(shù)化結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，定義其結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

X＝g(h)＝g(h₁，…h(huán)_N) (1)

其中，隨機(jī)變量i＝1，…N，N為正整數(shù)，和分別為第i個隨機(jī)變量h_i的下界值和上界值，Ω為一超長方體形成的凸域，并記域Ω的中心點(diǎn)為半徑為

步驟2：確定結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的等效積分弱形式；根據(jù)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(h)在中心點(diǎn)h^c處具有收斂的Taylor展開式近似計(jì)算函數(shù)g(h)在凸域Ω上的積分，并記為I[g(h)]；取g(h)的一元近似函數(shù)為式(2)；

將g(h)的一元近似函數(shù)同樣進(jìn)行Taylor展開并積分，記為使用作為I[g(h)]的近似函數(shù)，得到具有4階小量的殘差估計(jì)；

步驟3：確定結(jié)構(gòu)功能函數(shù)統(tǒng)計(jì)量；基于積分運(yùn)算和求和運(yùn)算的可交換性，得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(h)的期望μ_g和方差一元表示形式分別如式(3)和式(4)所示；

其中，為一元分解函數(shù)的均值，表示第i個一元分解函數(shù)，為第i個一元分解函數(shù)的方差，g^c為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(h)在點(diǎn)h＝h^c處的值；結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(h)的m階原點(diǎn)矩和中心矩分別如式(5)和式(6)所示；

其中，表示第i個一元分解函數(shù)的第m階原點(diǎn)矩，表示組合方法，C表示數(shù)學(xué)排列組合中的組合符號，表示第i個一元分解函數(shù)的第k階中心矩；

步驟4：在隨機(jī)變量定義域內(nèi)進(jìn)行配點(diǎn)，得到式(7)所示的均值的數(shù)值積分格式；

其中，f(h_i)為隨機(jī)變量h_i在域Γ內(nèi)的概率密度分布函數(shù)，為第i個一元分解函數(shù)在隨機(jī)變量h_i所在區(qū)間內(nèi)的第j個配點(diǎn)，j＝1，…，NP，NP為配點(diǎn)的個數(shù)，為相應(yīng)的權(quán)重因子；權(quán)重因子與配點(diǎn)的數(shù)目和位置是相關(guān)的，需根據(jù)具體的分布進(jìn)行確定；

步驟5：為避免使用功能函數(shù)的正態(tài)性假設(shè)所帶來的模型誤差，考慮基于非高斯隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)一維概率密度函數(shù)的漸進(jìn)展式以近似得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的概率密度分布函數(shù)：

其中，z所對應(yīng)的隨機(jī)變量Z由隨機(jī)變量X標(biāo)準(zhǔn)化得到，記Z＝(X-μ_X)/σ_X，這里μ_X為X的均值，而σ_X為X的標(biāo)準(zhǔn)差，p(z)為高斯概率密度函數(shù)，c_n為待定系數(shù)；使用所得到的原點(diǎn)矩和中心距計(jì)算概率密度函數(shù)p^*(z)，得到結(jié)構(gòu)的失效概率P_f的估計(jì)式如式(9)所示；

根據(jù)所得到的結(jié)構(gòu)失效概率P_f和工程結(jié)構(gòu)的失效標(biāo)準(zhǔn)來評估結(jié)構(gòu)的可靠性。

由上述技術(shù)方案可知，本發(fā)明的有益效果在于：本發(fā)明提供的基于配點(diǎn)型算法的隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)可靠性評估方法，可達(dá)到4階計(jì)算精度，并且計(jì)算量隨著隨機(jī)變量數(shù)目的增加只是線性增長，有效提高了計(jì)算精度和計(jì)算效率。根據(jù)非高斯隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的Edgeworth漸進(jìn)展式，得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的逼近概率密度函數(shù)，對其直接進(jìn)行積分得到結(jié)構(gòu)的失效概率，從而減緩了正態(tài)性假設(shè)所帶來的模型不確定性。

附圖說明

圖1為本發(fā)明實(shí)施例提供的基于配點(diǎn)型算法的隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)可靠性評估方法流程圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖和實(shí)施例，對本發(fā)明的具體實(shí)施方式作進(jìn)一步詳細(xì)描述。以下實(shí)施例用于說明本發(fā)明，但不用來限制本發(fā)明的范圍。

一種基于配點(diǎn)型算法的隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)可靠性評估方法，如圖1所示，本實(shí)施例的方法如下所述。

步驟1：建立參數(shù)化結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。

工程結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量包括材料屬性、環(huán)境參數(shù)、模型誤差、認(rèn)知能力等，對于包含多個獨(dú)立隨機(jī)變量的工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題，其結(jié)構(gòu)功能函數(shù)定義為

X＝g(h)＝g(h₁，…h(huán)_N) (1)

式中，i＝1，…N，N為正整數(shù)，Ω為一超長方體形成的凸域。并記域Ω的中點(diǎn)為半徑為

步驟2：確定結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的等效積分弱形式。假設(shè)功能函數(shù)g(h)在中心點(diǎn)h^c處具有收斂的Taylor展開式

式中，算子根據(jù)式(10)，可近似計(jì)算函數(shù)g(h)在凸域Ω上的積分

引入下面的關(guān)系式

式中，m_i為一非負(fù)整數(shù)。值得注意的是，當(dāng)且僅當(dāng)集合{m_i，i＝1，2，…，N}中至少有一個元素為奇數(shù)時(shí)，式(12)成立。將式(10)代入式(11)，并使用式(12)進(jìn)行簡化，可得式(13)。

另一方面，取函數(shù)

將函數(shù)式(2)進(jìn)行Taylor展開并進(jìn)行積分，利用關(guān)系式(12)，得到

使用作為I[g(h)]的近似函數(shù)，可得殘差估計(jì)式(15)

由式(15)可知，所得到的殘差為4階小量。工程問題一般將響應(yīng)函數(shù)展開至1-2階，即可獲得較為滿意的數(shù)值精度，所以，函數(shù)式(2)可在上述的積分形式下近似等效于結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(h)。

為方便，記則式(2)可重寫為

其中，稱為第i個一元分解函數(shù)。

結(jié)構(gòu)功能函數(shù)積分的等效弱形式目的是為了將多元隨機(jī)變量問題轉(zhuǎn)化了多個一元隨機(jī)變量問題進(jìn)行求解。而該轉(zhuǎn)化過程需要對近似函數(shù)的誤差進(jìn)行合理估計(jì)，本實(shí)施例給出的一元分解方法可在積分意義上達(dá)到4階精度。

步驟3：確定結(jié)構(gòu)功能函數(shù)統(tǒng)計(jì)量。首先考察功能函數(shù)g(h)的期望值和方差，分別有

式中，f(h)為隨機(jī)向量h的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

基于積分運(yùn)算和求和運(yùn)算的可交換性，可得到期望的下述一元表示形式

記μ_g＝E[g(h)]，則有

方差的一元表示形式可借鑒期望的一元化過程。為此，定義過渡函數(shù)

p(h)＝(g(h)-μ_g)² (20)由式(19)可得到方差的下述一元表示形式

式中，和p_c的定義分別與和g_c類似。如下式所示。

將式(22)中的N個式子相加并取均值運(yùn)算，得到

根據(jù)的方差定義式(23)可重寫為

將式(24)所得結(jié)果代入式(21)，將p^c進(jìn)行替換，并記和最終可得

式(3)和式(4)即為多元隨機(jī)函數(shù)期望值和方差的一元表示形式。

類似地，可得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(h)的m階原點(diǎn)矩和中心距分別如式(5)和式(6)所示。

其中，表示第i個一元分解函數(shù)的第m階原點(diǎn)矩，表示組合方法，C表示數(shù)學(xué)排列組合中的組合符號，表示第i個一元分解函數(shù)的第k階中心矩。

步驟4：配點(diǎn)方案。不失一般性，以求解分解函數(shù)的期望為例，在隨機(jī)變量定義域內(nèi)進(jìn)行配點(diǎn)，得到下面式(7)所示的均值的的數(shù)值積分格式

其中，為第i個一元分解函數(shù)在隨機(jī)變量h_i所在區(qū)間內(nèi)的第j個配點(diǎn)，j＝1，…，NP，NP為配點(diǎn)的個數(shù)，f(h_i)為隨機(jī)變量h_i在域Γ內(nèi)的概率密度分布函數(shù)，為相應(yīng)的權(quán)重因子。由式(7)可知，權(quán)重因子與配點(diǎn)的數(shù)目和位置是相關(guān)的，需根據(jù)具體的分布進(jìn)行確定。下面通過Taylor展開系數(shù)相等的方法得到權(quán)重因子和配點(diǎn)的關(guān)系式，為此首先將第j個配點(diǎn)處的函數(shù)值在h_i中值點(diǎn)處展開，得到

將式(25)代入式(7)，得到

另一方面，將也在中值點(diǎn)處展開，并取均值運(yùn)算，得到

對比式(26)和式(27)，可知

當(dāng)k＝NP-1時(shí)，式(28)轉(zhuǎn)化為一個封閉的代數(shù)方程組，可將其寫成矩陣形式為

式中，為由配點(diǎn)和中心點(diǎn)的位置關(guān)系形成的系數(shù)矩陣，為代求的權(quán)重因子列向量，B_i為隨機(jī)變量h_i前(NP-1)階中心矩形成的列向量。由式(29)可將權(quán)重因子列向量表示為

記則式(7)可重寫為

對于高階原點(diǎn)矩和中心矩有類似的結(jié)論，只需將替換為響應(yīng)的函數(shù)即可。值得指出的是，在求解權(quán)重集時(shí)，若使用較多的配點(diǎn)，矩陣的條件數(shù)將會變得非常差，這對于求逆運(yùn)算是不利的，此時(shí)可將相應(yīng)的權(quán)重因子運(yùn)算經(jīng)過平移和伸縮變換到[-1，1]區(qū)間上進(jìn)行求解，可得到相同的配點(diǎn)集。

步驟5：確定結(jié)構(gòu)失效概率。為避免使用功能函數(shù)的正態(tài)性假設(shè)所帶來的模型誤差，考慮使用非高斯隨機(jī)變量X的一維概率密度函數(shù)的漸進(jìn)展式

式中，z所對應(yīng)的隨機(jī)變量Z由隨機(jī)變量X標(biāo)準(zhǔn)化得到，記Z＝(X-μ_X)/σ_X，這里μ_X為X的均值，而σ_X為X的標(biāo)準(zhǔn)差，p(z)為高斯概率密度函數(shù)，c_n為待定系數(shù)。這里使用Edgeworth漸進(jìn)展式，其被證明前四項(xiàng)可給出非高斯概率密度足夠精確的表達(dá)式，如下

式中，σ_X為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，H_n(z)為Hermite多項(xiàng)式，如下

而和分別為隨機(jī)變量X的第3個和第4個半不變量，可使用前4階原點(diǎn)矩表示為

這樣，可以使用失效概率P_f的定義來評估結(jié)構(gòu)的可靠性，有

根據(jù)所得到的結(jié)構(gòu)失效概率P_f和工程結(jié)構(gòu)的失效標(biāo)準(zhǔn)來評估結(jié)構(gòu)的可靠性。

本實(shí)施例中，步驟(3)中使用一元等效函數(shù)的數(shù)字特征表征原結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的數(shù)字特征。結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(h)的第m階原點(diǎn)矩可用其一元分解函數(shù)的第m階原點(diǎn)矩的線性組合表示，而第m階中心矩可用一元分解函數(shù)的前m階中心距的線性組合表示。當(dāng)分解函數(shù)和概率密度函數(shù)f(h_i)具有解析表達(dá)式時(shí)，可通過定義直接進(jìn)行積分，得到的數(shù)字特征。然而工程問題中的響應(yīng)函數(shù)的解析表達(dá)式通常是難以獲得的，此時(shí)需使用數(shù)值積分方法，從步驟(4)可看出所提方法在求解工程結(jié)構(gòu)問題時(shí)是非常方便的。

步驟(4)通過Taylor展開系數(shù)相等的方法得到權(quán)重因子和配點(diǎn)的關(guān)系式，可將其轉(zhuǎn)化為一個封閉的代數(shù)方程組進(jìn)行求解。值得指出的是，在求解權(quán)重集時(shí)，若使用較多的配點(diǎn)，所得代數(shù)方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)將會變差，這對于求逆運(yùn)算是不利的，此時(shí)可將相應(yīng)的權(quán)重因子運(yùn)算經(jīng)過平移和伸縮變換到[-1，1]區(qū)間上進(jìn)行求解，可得到相同的配點(diǎn)集。

從本實(shí)施例的計(jì)算格式來看，配點(diǎn)型結(jié)構(gòu)可靠性分析方法可能會在以下3處地方引入近似誤差：首先，在使用一元分解函數(shù)代替原功能函數(shù)進(jìn)行積分時(shí)，會引入4階小量誤差；其次，在使用Edgeworth近似概率密度函數(shù)積分求得失效概率時(shí)會引起至多6階小量的誤差；另外，在使用配點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值積分求得功能函數(shù)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，若使用均勻配點(diǎn)，方法精度可達(dá)到(NP-1)階，若使用Gauss配點(diǎn)方式，方法精度可達(dá)到(2NP-1)階，并且計(jì)算精度可隨著配點(diǎn)數(shù)目的增加而提高，最多達(dá)到與使用一元分解函數(shù)解析表達(dá)相同的積分精度。所以，配點(diǎn)型結(jié)構(gòu)可靠性分析方法的計(jì)算精度總體上可達(dá)到4階精度。

另一方面，對于工程問題來講，本實(shí)施例所述方法的計(jì)算量主要存在于計(jì)算配點(diǎn)集上的功能函數(shù)值集。一般來說，在一個區(qū)間上配置NP個Gauss積分點(diǎn)時(shí)，該方法的主要計(jì)算量為NP×N次功能函數(shù)的確定性求解。即方法的計(jì)算量是隨著隨機(jī)變量的數(shù)目增加而線性增長的。

最后應(yīng)說明的是：以上實(shí)施例僅用以說明本發(fā)明的技術(shù)方案，而非對其限制，所述方法可擴(kuò)展應(yīng)用于基于函數(shù)等效積分弱形式和配點(diǎn)型方法所構(gòu)造的可靠性分析方法；盡管參照前述實(shí)施例對本發(fā)明進(jìn)行了詳細(xì)的說明，本領(lǐng)域的普通技術(shù)人員應(yīng)當(dāng)理解：其依然可以對前述實(shí)施例所記載的技術(shù)方案進(jìn)行修改，或者對其中部分或者全部技術(shù)特征進(jìn)行等同替換；而這些修改或者替換，并不使相應(yīng)技術(shù)方案的本質(zhì)脫離本發(fā)明權(quán)利要求所限定的范圍。