本發(fā)明涉及一種旋轉對稱結構固有頻率和穩(wěn)定性的分析方法。特別是涉及一種旋轉對稱結構固有頻率和穩(wěn)定性的簡化分析方法。

背景技術：

旋轉機械在工業(yè)生產中，尤其是現(xiàn)代機械工業(yè)中是廣泛存在的。例如內嚙合齒輪傳動、電子定/轉子系統(tǒng)、柱塞馬達、噴氣發(fā)動機、軸承內外圈和水輪發(fā)電機組等。這類結構通常都可以總結為一種旋轉對稱結構。它們在工業(yè)生產過程中將不可避免的出現(xiàn)振動和噪聲問題，尤其是在一些高速、重載的應用場合，已成為制約系統(tǒng)整體性能的一個關鍵因素。在現(xiàn)有的針對該類系統(tǒng)固有頻率和動力穩(wěn)定性分析的研究中，其動力學模型一般都較為龐大，尤其是針對薄圓環(huán)彈性構型(例如行星齒輪傳動系統(tǒng)、噴氣式發(fā)動機和水輪發(fā)電機組等方面)等進行振動仿真時，傳統(tǒng)模型還具有很大的改進空間。

參激振動行為是旋轉對稱周期結構的一個重要動力學現(xiàn)象，其過于復雜的動力學模型是制約解析分析進行的一個關鍵技術瓶頸?，F(xiàn)有技術(Kim W,Chung J.Free non-linear vibration of a rotating thin ring with the in-plane and out-of-plane motions,Journal of Sound and Vibration,2002,258:167-178)建立了一個自由圓環(huán)包含面內和面外振動的多維非線性模型，然后利用四種不同的建模假設將其簡化為線性模型后分析了固有頻率，并對比討論了不同建模假設在描述系統(tǒng)非線性振動行為時的適用性。現(xiàn)有技術(Charnley T,Perrin R,Mohanant V,Banu H.Vibration of thin rings of rectangular cross-section,Journal of Sound and Vibration,1989,134:455-488)重點分析對比了無延展和延展假設在分析靜環(huán)固有頻率問題時的互補性?，F(xiàn)有技術(Cooley C G,Parker R G.Limitations of an inextensible model for the vibration of high-speed rotating elastic rings with attached space-fixed discrete stiffnesses,European Journal of Mechanics-A/Solids,2015,54:187-197)研究了一個旋轉彈性環(huán)的固有頻率問題，指出了無延展假設在簡化完整模型時的局限性，尤其是在圓環(huán)高速旋轉時幾乎失效。

現(xiàn)有針對旋轉對稱結構的解析分析中，一般均會同時考慮圓環(huán)的徑向和切向變形，在圓環(huán)隨動坐標系下得到的系統(tǒng)的動力學方程會成為一個耦合徑向和切向變形的矩陣方程。這就導致了現(xiàn)有技術在直接解析求解其動力學方程時過于復雜和繁瑣，增大了工作量的同時還無法得到系統(tǒng)特征值的解析表達式。

技術實現(xiàn)要素：

本發(fā)明所要解決的技術問題是，提供一種可以大幅度提高系統(tǒng)固有頻率求解、動力穩(wěn)定性預測和動態(tài)響應考察的分析計算效率的旋轉對稱結構固有頻率和穩(wěn)定性的簡化分析方法。

本發(fā)明所采用的技術方案是：一種旋轉對稱結構固有頻率和穩(wěn)定性的簡化分析方法，分別對由薄圓環(huán)和離散旋轉支撐構成的旋轉對稱結構建立：系統(tǒng)的完整動力學微分方程，采用無延展假設的動力學微分方程，以及延展假設的動力學微分方程，對三種所述的動力學微分方程對比分析，得到無延展假設和延展假設適用條件；具體包括如下步驟：

1)分別建立系統(tǒng)的完整動力學微分方程、采用無延展假設的動力學微分方程和延展假設的動力學微分方程：

(1)建立系統(tǒng)的完整動力學微分方程：在圓環(huán)隨動坐標系o-rθz下，基于Hamilton原理建立旋轉對稱結構的完整動力學微分方程為：

式中：

為質量算子矩陣；

為考慮徑向和切向變形的系統(tǒng)的動力學響應，均為時間t的函數；

為圓環(huán)剛度算子矩陣；其中

為旋轉支撐附加剛度算子矩陣；其中

利用Dirac函數描述了旋轉支撐的時變性；

β為旋轉支撐的方向角；

θ為表示旋轉支撐位置角的一個空間函數；

k_t為圓環(huán)外側均布切向靜止支撐剛度；

k_r為圓環(huán)外側均布徑向靜止支撐剛度；

θ_j＝2π(j–1)/N，表示第j個旋轉支撐的初始位置，N為總的旋轉支撐個數；

Ω為旋轉支撐的轉速；

t表示時間；

c_z＝I/(AR²)為人為引入的一個運算符；

I＝bh³/12為圓環(huán)截面慣性矩；

A＝bh為圓環(huán)截面面積；

R為圓環(huán)中心圓半徑；

b為圓環(huán)的徑向厚度；

h為圓環(huán)的軸向高度；

k_s為旋轉支撐剛度；

(2)應用無延展假設建立采用無延展假設的動力學微分方程：

式中：

為質量算子；

為圓環(huán)剛度算子矩陣；

為均布支撐附加剛度算子矩陣；

為旋轉支撐附加剛度算子矩陣；

(3)應用延展假設建立采用延展假設的動力學微分方程：

式中：

為質量算子；

為圓環(huán)剛度算子矩陣；

為均布支撐附加剛度算子矩陣；

為旋轉支撐附加剛度算子矩陣；

2)引入坐標變換將步驟1)中的三個動力學微分方程轉換到支撐隨動坐標系下，分別得到與三個動力學微分方程相對應的三個常系數偏微分動力學方程如下：

(1)(M′^C+K′^C0+K′^C1)q^C＝0；

式中：

(2)(M′^SA+K′^SA0+K′^SAout+K′^SA1)u＝0；

式中：

(3)(M′^SB+K′^SB0+K′^SBout+K′^SB1)v＝0；

式中：

3)利用Galerkin方法，將支撐隨動坐標系下的三個常系數偏微分動力學方程離散處理為三個常微分矩陣方程：

式中：

為質量矩陣；

為動力學響應矩陣；

為陀螺矩陣；

為剛度矩陣

式中：

n為振動波數；

式中：

式中：

4)對步驟3)中第(1)個常微分矩陣方程，利用經典振動理論，借助Matlab軟件，得到完整動力學微分方程的特征值；

對步驟3)中第(2)個和第(3)個常微分矩陣方程，分別對應設解和并對應代入第(2)個和第(3)個常微分矩陣方程，運算后得到相應的特征值的表達式：

5)根據步驟4)中所得到的完整動力學微分方程的特征值和兩個簡化動力學微分方程的特征值，根據三個所述的特征值分析旋轉對稱結構的參激振動模態(tài)特性和動力穩(wěn)定性變化規(guī)律。

步驟5)所述的參激振動模態(tài)特性和動力穩(wěn)定性變化規(guī)律，是將特征值的虛部作為旋轉對稱結構的固有頻率；將特征值的實部作為穩(wěn)定性判據：當特征值的實部大于零，則旋轉對稱結構出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象；當特征值的實部小于或等于零，則旋轉對稱結構穩(wěn)定。

本發(fā)明的一種旋轉對稱結構固有頻率和穩(wěn)定性的簡化分析方法，通過引入了兩種不同的建模假設，大幅度的減少了系統(tǒng)特征值分析和求解過程中的計算量，并能夠更清晰的得到系統(tǒng)特征值的具體解析表達式。本發(fā)明的方法不僅較大程度的簡化了旋轉機械的解析分析過程，而且能夠更為直觀的給出其解析形式的特征值。比現(xiàn)有的數值和解析分析方法更具有簡潔性、一般性和普適性，克服了現(xiàn)有技術偏于數值計算、推導過程較為繁瑣、分析效率低下且可推廣性受限制的缺點。使類似結構的旋轉機械在關于參激振動方面的研究更加簡單、高效，并且能夠滿足工程應用要求。同時該方法通過對比不同建模假設的應用，闡明了各種動力學模型的適用條件和范圍，可實現(xiàn)在設計階段針對不同的使用背景，更有針對性的預估旋轉機械的模態(tài)特性、振動行為及動態(tài)響應結果。以指導旋轉機械的高效結構設計，進而提高其動力穩(wěn)定性和運行效率。本發(fā)明可以用于旋轉機械，如內嚙合齒輪傳動、電子定/轉子系統(tǒng)、柱塞馬達、噴氣發(fā)動機、軸承內外圈和水輪發(fā)電機組等旋轉對稱結構的動力學簡化分析，也可應用于相關的試驗、仿真、設計和制造等領域?？梢源蠓忍岣呦到y(tǒng)固有頻率求解、動力穩(wěn)定性預測和動態(tài)響應考察的分析計算效率。

附圖說明

圖1是本發(fā)明中所述的旋轉對稱結構示意圖及兩種坐標系；

圖2a是在較小的旋轉支撐剛度下，基于完整動力學微分方程和兩個簡化動力學微分方程得到的旋轉對稱結構固有頻率隨振動波數n變化的對比；

圖2b是在較大的旋轉支撐剛度下，基于完整動力學微分方程和兩個簡化動力學微分方程得到的旋轉對稱結構固有頻率隨振動波數n變化的對比；

圖3a是基于完整動力學微分方程預測的旋轉對稱結構在不同旋轉支撐轉速Ω下的不穩(wěn)定區(qū)域；

圖3b是基于兩個簡化動力學微分方程預測的旋轉對稱結構在不同旋轉支撐轉速Ω下的不穩(wěn)定區(qū)域的疊加；

具體實施方式

下面結合實施例和附圖對本發(fā)明的一種旋轉對稱結構固有頻率和穩(wěn)定性的簡化分析方法做出詳細說明。

本發(fā)明的一種旋轉對稱結構固有頻率和穩(wěn)定性的簡化分析方法，根據在圓環(huán)隨動坐標系下建立的旋轉對稱結構的完整動力學微分方程，然后利用坐標變換方法和經典振動理論計算了系統(tǒng)的特征值，并對比預測了完整和簡化動力學微分方程下系統(tǒng)的模態(tài)特性和動力穩(wěn)定性規(guī)律，分析了兩種簡化動力學微分方程在工程實際中的適用性。是基于經典振動理論，結合圓環(huán)振動理論中已有的無延展和延展假設，通過在不同的工程背景條件下引入不同的假設條件，實現(xiàn)了完整動力學微分方程的精簡，提出了一種旋轉對稱結構參激振動解析分析的簡化方法。

本發(fā)明的一種旋轉對稱結構固有頻率和穩(wěn)定性的簡化分析方法，分別對由薄圓環(huán)和離散旋轉支撐構成的旋轉對稱結構建立：系統(tǒng)的完整動力學微分方程，采用無延展假設的動力學微分方程，以及延展假設的動力學微分方程，對三種所述的動力學微分方程對比分析，得到無延展假設和延展假設適用條件；具體包括如下步驟：

1)分別建立系統(tǒng)的完整動力學微分方程、采用無延展假設的動力學微分方程和延展假設的動力學微分方程：

(1)建立系統(tǒng)的完整動力學微分方程：在圓環(huán)隨動坐標系o-rθz下，基于Hamilton原理建立旋轉對稱結構的完整動力學微分方程為：

式中：

為系統(tǒng)完整動力學微分方程的質量算子矩陣；

為考慮徑向和切向變形的系統(tǒng)的動力學響應，均為時間t的函數；

為圓環(huán)剛度算子矩陣；其中

為旋轉支撐附加剛度算子矩陣；其中

利用Dirac函數描述了旋轉支撐的時變性；

β為旋轉支撐的方向角；

θ為表示旋轉支撐位置角的一個空間函數；

k_t為圓環(huán)外側均布切向靜止支撐剛度；

k_r為圓環(huán)外側均布徑向靜止支撐剛度；

θ_j＝2π(j–1)/N，表示第j個旋轉支撐的初始位置，N為總的旋轉支撐個數；

Ω為旋轉支撐的轉速；

t表示時間；

c_z＝I/(AR²)為人為引入的一個運算符；

I＝bh³/12為圓環(huán)截面慣性矩；

A＝bh為圓環(huán)截面面積；

R為圓環(huán)中心圓半徑；

b為圓環(huán)的徑向厚度；

h為圓環(huán)的軸向高度；

k_s為旋轉支撐剛度；

對圓環(huán)隨動坐標系o-rθz下利用Hamilton原理建模的同時，分別引入無延展假設和延展假設將完整動力學微分方程的徑向和切向變形耦合的動力學矩陣方程轉換為只與其中某一個變形的有關的簡化動力學方程。具體如下：

(2)應用無延展假設建立采用無延展假設的動力學微分方程A：

式中：

為質量算子；

為圓環(huán)剛度算子矩陣；

為均布支撐附加剛度算子矩陣；

為旋轉支撐附加剛度算子矩陣；

(3)應用延展假設建立采用延展假設的動力學微分方程B：

式中：

為質量算子；

為圓環(huán)剛度算子矩陣；

為均布支撐附加剛度算子矩陣；

為旋轉支撐附加剛度算子矩陣；

2)引入坐標變換將步驟1)中的三個動力學微分方程轉換到支撐隨動坐標系下，分別得到與三個動力學微分方程相對應的三個常系數偏微分動力學方程如下：

式中：

(2)(M′^SA+K′^SA0+K′^SAout+K′^SA1)u＝0；

式中：

(3)(M′^SB+K′^SB0+K′^SBout+K′^SB1)v＝0；

式中：

3)由于研究的是方程簡化對旋轉對稱結構的模態(tài)特性和動力穩(wěn)定性分析的影響，故需將2n/N取為整數(此為本領域的公知常識)。則有

式中：

n為振動波數；

利用Galerkin方法，將支撐隨動坐標系下的三個常系數偏微分動力學方程離散處理為三個常微分矩陣方程，所述Galerkin方法包括：

針對步驟2)中的三個常系數偏微分動力學方程，將常系數偏微分動力學方程中的動力學響應設解如下：

式中：

U和V均為時間的復函數，且有U(t)＝x₁(t)+iy₁(t)和V(t)＝x₂(t)+iy₂(t)；

i為虛數單位；

“～”表示復共軛；

定義一種內積形式如下：

將上述設解形式分別代入步驟2)中的三個常系數偏微分動力學方程中去，并與作內積，分離方程的實、虛部，然后分別轉換為三個常微分矩陣方程如下：

式中：

為質量矩陣；

為動力學響應矩陣；

為陀螺矩陣；

為剛度矩陣

式中：

式中：

4)對步驟3)中第(1)個常微分矩陣方程，利用經典振動理論，借助Matlab軟件，得到完整動力學微分方程的特征值；

對步驟3)中第(2)個和第(3)個常微分矩陣方程，分別對應設解和并對應代入第(2)個和第(3)個常微分矩陣方程，可得到對應的特征方程分別為

分別求解上述兩個特征方程式，運算后得到相應的特征值的表達式：

以表1中數據為例，計算步驟3)中對應的常微分矩陣方程的特征值；

表1 旋轉環(huán)狀周期結構系統(tǒng)模型基本結構參數

5)根據步驟4)中所得到的完整動力學微分方程的特征值和兩個簡化動力學微分方程的特征值，根據三個所述的特征值分析旋轉對稱結構的參激振動模態(tài)特性和動力穩(wěn)定性變化規(guī)律。所述的參激振動模態(tài)特性和動力穩(wěn)定性變化規(guī)律，是將特征值的虛部作為旋轉對稱結構的固有頻率；將特征值的實部作為穩(wěn)定性判據：當特征值的實部大于零，則旋轉對稱結構出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象；當特征值的實部小于或等于零，則旋轉對稱結構穩(wěn)定。

具體是根據步驟4)中所得到的三種動力學微分方程的系統(tǒng)特征值，利用其虛部和實部即可分別得到系統(tǒng)對應的固有頻率和參激振動動力穩(wěn)定性變化規(guī)律，解析結論分別如附圖2a、圖2b和圖3a、圖3b所示。對比分析其變化規(guī)律，即可得到兩種動力學微分方程簡化假設的適用性條件。在圖2a和圖2b中，對比了三種動力學微分方程所求得的系統(tǒng)固有頻率在不同的振動波數時的解析結論。實線為完整動力學微分方程的一階正弦模態(tài)固有頻率，長虛線為完整動力學微分方程的一階余弦模態(tài)固有頻率，短虛線為完整動力學微分方程的二階正弦模態(tài)固有頻率，點劃線為完整動力學微分方程的二階余弦模態(tài)固有頻率；“○”和“+”分別為簡化動力學微分方程A正、余弦模態(tài)的固有頻率；“□”和“☆”分別為簡化動力學微分方程B正、余弦模態(tài)的固有頻率。簡化動力學微分方程A的余弦模態(tài)固有頻率和簡化動力學微分方程B的正弦模態(tài)固有頻率在逼近完整動力學微分方程的一階余弦和二階正弦模態(tài)固有頻率時存在躍遷現(xiàn)象，躍遷點隨著支撐剛度的增大而右移。說明對于參激振動系統(tǒng)，在簡化動力學微分方程的時候，要針對不同的區(qū)間內的振動波數，選擇適合的無延展假設或者延展假設。

圖3a、圖3b對比了三種動力學微分方程對于旋轉對稱結構不穩(wěn)定區(qū)域的預測結果，圖中橫、縱坐標分別為旋轉支撐的轉速和剛度。圖中黑色點狀區(qū)域表示出現(xiàn)了不穩(wěn)定現(xiàn)象，其它區(qū)域意味著穩(wěn)定。簡化動力學微分方程A和B分別預測的結果進行疊加以后，可以直接預測出完整動力學微分方程一、二階振動的兩個不穩(wěn)定主共振點。此外，需要注意的是，完整動力學微分方程預測出的另一個不穩(wěn)定共振點，其位置約在簡化模型可預測的兩個不穩(wěn)定主共振點之和的一半處，說明在工程中借助無延展假設和延展假設來簡化完整動力學微分方程時，除了要關注所得的兩個共振點的位置以外，還應重點關注兩個共振點之和的一半的位置。

綜上所述，本發(fā)明實施例提供了一種旋轉對稱結構模態(tài)特性和動力穩(wěn)定性解析分析的簡化方法，該方法可在數學建模階段從圓環(huán)隨動坐標系入手，借助一種無延展和延展假設，大幅度的簡化系統(tǒng)動力學方程的復雜程度。然后通過引入坐標變換，消去了時變參激剛度項，進而得到旋轉機械系統(tǒng)完整和簡化動力學微分方程的解析形式的特征值，并指出了不同簡化動力學微分方程的具體適用條件。該簡化分析方法較大程度的提高了旋轉機械模態(tài)和動力穩(wěn)定性分析的效率和普適性，更好地滿足了工程應用的需要。

根據本發(fā)明給出的三種所述的動力學微分方程做出適當的推廣，可以大幅度的簡化針對電機定/轉子、內嚙合齒輪和軸承內外圈等旋轉機械系統(tǒng)的動力學分析過程，提高工程中進行類似設計時的分析效率。

本領域技術人員可以理解附圖只是一個特殊實施例的示意圖，并不用以限制本發(fā)明。顯然，本領域的技術人員可以對本發(fā)明進行各種改動和變型而不脫離本發(fā)明的精神和范圍。凡在本發(fā)明的精神和原則之內，所作的任何修改、等同替換和變型等，均應包含在本發(fā)明的保護范圍之內。