一種基于離散分?jǐn)?shù)階差分的反常擴(kuò)散模擬方法
【專利摘要】本發(fā)明公開(kāi)了一種基于離散分?jǐn)?shù)階差分的反常擴(kuò)散模擬方法，采用描述擴(kuò)散現(xiàn)象的一維經(jīng)典擴(kuò)散方程：定義離散分?jǐn)?shù)階差分，利用離散分?jǐn)?shù)階差分將經(jīng)典擴(kuò)散方程離散化，根據(jù)初邊界條件為進(jìn)行數(shù)值模擬。本發(fā)明的有益效果是提出了一種新的分?jǐn)?shù)階離散擴(kuò)散方程。和利用經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程相比，該擴(kuò)散模型在保持了離散記憶效應(yīng)的同時(shí)，表達(dá)式更為簡(jiǎn)潔，數(shù)值模擬更為便捷。
【專利說(shuō)明】一種基于離散分?jǐn)?shù)階差分的反常擴(kuò)散模擬方法

【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明屬于數(shù)值模擬【技術(shù)領(lǐng)域】，涉及一種基于離散分?jǐn)?shù)階差分的反常擴(kuò)散模擬方 法。

【背景技術(shù)】
[0002] 擴(kuò)散方程是常用來(lái)描述自然界傳熱、傳質(zhì)現(xiàn)象。對(duì)于多孔介質(zhì)如織物、煤巖體、土 壤等而言，流體常體現(xiàn)出反常擴(kuò)散的特點(diǎn)。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)由于具有遺傳特性，和反常擴(kuò)散特征 吻合。最近分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)被用于修正擴(kuò)散方程，不少研究學(xué)者提出了時(shí)間分?jǐn)?shù)階的擴(kuò)散方程[1_4]，用來(lái)描述流體在多孔介質(zhì)中擴(kuò)散的復(fù)雜性，避免了對(duì)于多孔介質(zhì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的刻畫。
[0003] 然而，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的遺傳特性導(dǎo)致了反常擴(kuò)散的長(zhǎng)歷程或長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算變得較 為困難。尋找高精度的數(shù)值模擬方法或新的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模方法成為解決的方法。最近， Atici、T〇rreS[5,6]等人提出了時(shí)標(biāo)上的分?jǐn)?shù)階差分。本發(fā)明基于該離散分?jǐn)?shù)階差分方法， 首次提出了一種新的離散分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程。和利用經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程相比，該擴(kuò)散模 型在保持了記憶效應(yīng)的同時(shí)，表達(dá)式和數(shù)值模擬更為簡(jiǎn)潔，便于工程應(yīng)用。


【發(fā)明內(nèi)容】

[0004] 本發(fā)明的目的在于提供一種基于離散分?jǐn)?shù)階差分的反常擴(kuò)散模擬方法，解決了 經(jīng)典分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的遺傳特性導(dǎo)致了反常擴(kuò)散的長(zhǎng)歷程或長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算困難的問(wèn)題。
[0005] 本發(fā)明所采用的技術(shù)方案是按照以下步驟進(jìn)行：
[0006] 步驟1 :采用描述擴(kuò)散現(xiàn)象的一維經(jīng)典擴(kuò)散方程：
[0007] Ut (X，t) = Kuxx (X，t) (1)
[0008] K為擴(kuò)散系數(shù)，u(x，t)表示隨時(shí)間和空間濃度函數(shù)，Ut (x，t)表示濃度對(duì)時(shí)間的偏 導(dǎo)數(shù)，uxx(x，t)表示濃度對(duì)空間的二階偏導(dǎo)數(shù)，a為初始時(shí)刻，L為介質(zhì)長(zhǎng)度，方程（1)的初 邊界條件為，
[0009] u (x, a) = f (x), u (0, t) = (t), u (L, t) = ￥ (t)
[0010] f(x)表示初始時(shí)刻濃度空間各點(diǎn)的濃度分布，小（t)和V (t)表示介質(zhì)二端濃度 隨時(shí)間的變化；
[0011] 步驟2 :利用離散分?jǐn)?shù)階差分：

【權(quán)利要求】
1. 一種基于離散分?jǐn)?shù)階差分的反常擴(kuò)散模擬方法，其特征在于按照以下步驟進(jìn)行： 步驟1 :采用描述擴(kuò)散現(xiàn)象的一維經(jīng)典擴(kuò)散方程： Ut (X，t) = Kuxx (X，t) (1) K為擴(kuò)散系數(shù)，u(x，t)表示隨時(shí)間和空間濃度函數(shù)，Ut (X，t)表示濃度對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)， uxx(x，t)表示濃度對(duì)空間的二階偏導(dǎo)數(shù)，a為初始時(shí)刻，L為介質(zhì)長(zhǎng)度，方程（1)的初邊界條 件為， u (x, a) = f(x)，u (0, t) = Φ (t)，u (L，t) = Ψ (t) f(x)表示初始時(shí)刻濃度空間各點(diǎn)的濃度分布，Φ (t)和Ψ (t)表示介質(zhì)二端濃度隨時(shí) 間的變化； 步驟2:利用離散分?jǐn)?shù)階差分：
h為時(shí)間方向上的差分步長(zhǎng)，V為分?jǐn)?shù)階差分階數(shù)，介于0到1，f <為分?jǐn)?shù)階差分算子， (hN)a+(1_v)h為離散集合{a+(l_ v)h, a+(2_ v)h, . . . }, s, t為其中元素,u(t)為定義在該離 散集合上的函數(shù)，函數(shù)σ和C1:分別定義為： 〇 (sh) = (s+l)h
步驟3 :利用離散化連續(xù)方程方法，利用方程（2)將方程（1)離散化為：
方程（3)初邊界條件為： u(x, a) = f (x),u(0, t+( v-l)h) = Φ (t),u(L, t+( v-l)h) = Ψ (t) (4)； 步驟4:分?jǐn)?shù)階和分定義如下：
根據(jù)分?jǐn)?shù)階和分與差分的關(guān)系，作用于方程（3)兩邊，得：
步驟5 :對(duì)
用近似差分處理，對(duì)空間L進(jìn)行m等分，i表示各分割節(jié) 點(diǎn)，Δ X表不分割長(zhǎng)度，
得如下公式：
步驟6 :結(jié)合給定的邊界條件（4)，利用公式（8)進(jìn)行反常擴(kuò)散模擬。
2.按照權(quán)利要求1所述一種基于離散分?jǐn)?shù)階差分的反常擴(kuò)散模擬方法，其特征在于： 所述反常擴(kuò)散模擬方法為：取初始點(diǎn)a = 0，
將其應(yīng)用到數(shù)值公式（8)，由初值條件u(x，0) =f(x)知 U0 (0) = f (0), U1 (0) = f ( Δ x) = f 1； . . . , um (0) = f (m Δ χ) = fm (10) 由邊值條件 u (0, t+ ( ν -I) h) = u (2, t+ ( ν -I) h) = 0 知， u〇 (h) = um (h) = O (11) 利用數(shù)值格式（8)，推導(dǎo)出數(shù)值解U1 (jh)，Ui (jh)，從而實(shí)現(xiàn)反常擴(kuò)散問(wèn)題的數(shù)值模擬。
【文檔編號(hào)】G06F17/11GK104392127SQ201410665783
【公開(kāi)日】2015年3月4日 申請(qǐng)日期:2014年11月20日 優(yōu)先權(quán)日:2014年11月20日
【發(fā)明者】吳國(guó)成, 曾生達(dá), 杜米特魯·伯萊亞努, 黃藍(lán)藍(lán) 申請(qǐng)人:內(nèi)江師范學(xué)院