專利名稱：基于共形結構的幾何曲面分析的制作方法
相關申請的交叉索引本申請要求于2002年11月6日提交的基于35U.S.C 119(e)的美國專利臨時申請第60/424,141號優(yōu)先權；該專利申請引用在此作為參考。
關于聯(lián)邦資助的科研的聲明發(fā)明背景本申請是關于曲面的分析，特別是利用曲面的共形結構進行分析。本申請?zhí)峁┝烁镜膸缀嗡惴?，將緊黎曼面理論轉化為可計算的算法，通過計算曲面的共形結構來分析曲面。
幾何曲面的分類和識別在計算機圖形學和計算機輔助設計等領域中的根本問題。隨著圖像掃描和獲取技術的發(fā)展，數(shù)量龐大的曲面及其顏色信息可從互聯(lián)網(wǎng)上獲取。與此同時，醫(yī)學影像技術的發(fā)展，例如核磁共振成像(MRI)及正電子發(fā)射計算機斷層掃描(PET)系統(tǒng)能夠產(chǎn)生人體內(nèi)部器官的三維模型。例如，近期大腦影像技術的發(fā)展加速了腦圖數(shù)據(jù)庫的搜集和存儲。同樣，在生物測量應用中，人臉識別包括了成像，存儲，匹配三維臉部特征。同樣地，愈來愈多的三維網(wǎng)頁被應用于娛樂系統(tǒng)，計算機動畫技術，比如形變和貼圖，也需要創(chuàng)造和操縱三維曲面。
在所有這些應用中，幾何數(shù)據(jù)被表達成三角網(wǎng)，因而只有組合結構，而沒有微分結構。因而微分幾何的方法很難直接使用。目前的方法測量曲面間的Hausdorff距離，但是并沒有通用的方法來找到曲面間的對應關系，而且組合搜索方法非常低效率。目前曲面分析方法嚴重依賴曲面的三角剖分和分辨率，不同的剖分和分辨率導致非常不同的結果。目前不存在有效而通用的曲面分類的方法，根據(jù)拓樸不變量的方法，分類結果太粗糙，根據(jù)歐氏幾何的方法，分類結果太狹隘。
很需要一種內(nèi)蘊幾何分析的方法，只依賴于曲面幾何，能夠提供一種通用方法來有效分類，并能找出同類曲面間的對應關系。此方法并且能夠提供穩(wěn)定而精確的數(shù)值算法。

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明提供一種分析，分類和識別幾何曲面的方法。此方法將曲面視為黎曼流形并計算其共形結構。曲面的共形結構以更為精減的方式蘊涵著曲面的內(nèi)蘊幾何信息。在通常情形下，曲面被表示為具有大量的數(shù)據(jù)點的網(wǎng)格。計算大數(shù)據(jù)量網(wǎng)格的共形結構需要復雜困難的運算。共形映照將曲面映射到標準參數(shù)區(qū)域上，例如圓盤，球面和平面，此映照保留了曲面的幾何信息，同時使復雜運算變簡單。
在一種應用情形下，兩張曲面共形地映到標準參數(shù)區(qū)域，共形參數(shù)化被用于判斷兩張曲面是否匹配。
在另一種應用情形下，共形結構被用于曲面分類。特別的，去面對應的周期矩陣被計算并存儲。然后，若要查詢給定的曲面，其周期矩陣事先被計算出來，通過比較周期矩陣來找到和給定曲面相類似的曲面。
共形結構又被應用于曲面識別問題中。一給定曲面被表示為網(wǎng)格，一個或多個特征點被逐一去掉，沒去掉一個特征點相應的周期矩陣就被計算出來，這樣得到一系列周期矩陣。通過檢驗著一系列周期矩陣，曲面可被識別出來。
另外一種算法如下，所有的特征點被同時去掉，然后在曲面上選定一點，沿著一特定的軌道移動該點，一系列的周期矩陣可被計算出來，再被用來何已存儲的周期矩陣進行比較。
共形結構也可應用于幾何壓縮。給定一張曲面被表示為網(wǎng)格，其共形參數(shù)先被計算出來，利用此參數(shù)，平均曲率和共形因子被計算出來，原來的曲面可以被平均曲率和共形因子所決定。
共形結構也可應用于醫(yī)學圖像領域。大腦和其他器官的醫(yī)學圖像通常是虧格為零的曲面，他們可被共形的映到球面上，以便與分析。
共形結構也可應用于曲面動畫設計。給定兩張相似的曲面，特征點先被找到并去掉，然后兩張曲面的倍曲面被算出。共形結構決定了倍曲面可被分解成一支多塊，每一塊可被共形映到平面長方形上。通過匹配相應的長方形，曲面間的映射可被建立起來。用樣條曲線聯(lián)結曲面間對映點，曲面間光滑的形變可被產(chǎn)生出來。
共形結構也可應用于全曲面上紋理生成。利用共形參數(shù)化，曲面被映到平面標準區(qū)域，紋理在標準參數(shù)區(qū)域上生成。為使生成的紋理光滑，紋理片間的邊界通過解狄雷克利問題而變得光滑。如此，紋理片可以拼接在一起而覆蓋原來曲面。
下文將詳盡闡述以上方法和系統(tǒng)的概念，特點。
各視角


下面詳細的陳述配上圖有助于對此發(fā)明的全面理解。
圖1a和1b描繪了人臉到正方形間的共形映照。
圖1c和1d描繪了人臉到正方形間的共形映照所產(chǎn)生的紋理貼圖，紋理圖像是棋盤格。
圖2a-d顯示了在虧格為二的環(huán)面上全純微分形式的不同分量。
圖3顯示了怪獸曲面的球面共形嵌入。
圖4顯示了真人大腦皮層曲面的球面共形嵌入。
圖5顯示了兔子曲面的球面共形映照。
圖6a-b顯示了參數(shù)化的零點。
圖7a-d顯示了虧格為二和三的環(huán)面的全局共形圖冊。
圖8a-d顯示了兩個虧格為一的環(huán)面，他們拓撲等價但是共形并不等價。
圖9a-d顯示了具有不同共形結構的虧格為一的環(huán)面。
圖10a-d顯示了增強全局共形參數(shù)化的一致性。
圖11a-d顯示了具有不同共形結構的虧格為二的曲面。
圖12a-b顯示了共形結構應用于提高三角剖分的規(guī)則程度。
圖12c-d顯示了通過共形幾何圖像重建的兔子曲面。
圖13a顯示了大腦曲面。
圖13b顯示了圖13a中的大腦曲面共形映到球面上。
圖13c顯示了圖13a中的大腦曲面的球面幾何圖像。
圖13d顯示了圖13c中的大腦曲面的球面幾何圖像被壓縮了256倍至后重建的曲面。
圖14顯示了女性人臉到男性人臉間的幾何變換，此變換利用共形結構生成。
圖15a-b顯示了茶壺曲面全局共形參數(shù)化的結果，此結果是在原始三角剖分上算出。
圖15c-d顯示了茶壺曲面全局共形參數(shù)化的結果，此結果是在簡化的三角剖分上算出。
圖16a-d顯示了高虧格曲面全局共形參數(shù)化的結果。
發(fā)明的詳盡闡述在下面的具體實現(xiàn)中，所有二維曲面被視為黎曼面，其共形結構被計算出來。所有二維可定向曲面都是黎曼面，并都具有內(nèi)蘊的共形結構，此結構在共形變換下保持不變?？傮w而言，共形結構比拓撲結構更精細，比度量結構更靈活。對于虧格為一的曲面，所有共形結構所形成的空間是二維的。因此，所有虧格為一的曲面可被兩個參數(shù)分類。所有虧格為g共形結構所形成的空間是6g-6維的。因此，所有虧格為g的曲面可被6g-6個參數(shù)分類。
本發(fā)明系統(tǒng)地介紹了曲面共形等價類的方法。對于共形等價的兩張曲面，本發(fā)明系統(tǒng)地介紹了計算共形雙射的方法。對于零虧格的曲面，所有共形雙射形成了6維群。對于虧格為一的曲面，所有共形雙射形成了2維群。對于高虧格的曲面，所有共形雙射形成了6g-6維群。因此，下面的方法提供了計算兩張具有相同共形結構的曲面間最優(yōu)映射亦即衡量他們之間Hausdorff距離的有效方法。
眾所周知，所有可定向曲面是黎曼面，所有黎曼面都具有共形圖冊，抑或共形結構。一個共形映射保持共形結構。兩黎曼面間的共形映射保持了曲面上任何地方的角度。黎曼面又被稱為是一維復流形，根據(jù)黎曼單值化定理，所有去面都可被全局共形的映入標準空間中。標準空間包括雙曲圓盤，平面和球面，映入何種空間是由曲面內(nèi)蘊幾何所決定。共形嵌入標準空間保留了大量的初始幾何信息。通過共形嵌入，3維曲面的匹配問題轉化為在3種標準空間中2維曲面的匹配問題。這種方法對于非剛體，可變形的曲面匹配問題具有很大的潛力，更多細節(jié)將在下面討論。
共形嵌入標準空間的方式反映了曲面的共形結構。特別的，一張曲面到標準空間的所有共形嵌入形成一個群。如若兩張曲面間存在共形雙射，他們具有相同的群結構。換言之，這個群結構是共形全系不變量。因此，曲面可根據(jù)共形全系不變量被分類。對每一拓撲等價類，存在無窮多共形等價類。對曲面分類而言，這一點非常有價值。
設S1和S2是兩張正則曲面，帶有參數(shù)(x1，x2)。定義一映射φS1→S2，在局部坐標系中表示為φ(x1，x2)＝(φ1(x1，x2)，φ2(x1，x2))設區(qū)面的第一基本形式(黎曼度規(guī))是ds12=Σijgijdxidxj,]]>ds22=Σijg~ijdxidxj,]]>再S1上由φ產(chǎn)生的拉回度規(guī)是φ*ds22=ΣmnΣijg~ij∂φi∂xm∂φj∂xndxmdxn,]]>如果存在一個函數(shù)λ(x1，x2)，使得ds12=λ2(x1,x2)φ*ds22,]]>那末映射φ是曲面S1和S2間的一個共形映射。特別的，如果從曲面S1到坐標平面間的映射是共形的，那末(x1，x2)是曲面的一個共形參數(shù)，共形參數(shù)又被稱為是等溫參數(shù)。
圖1a顯示了人臉和平面正方形間的共形映射。圖1b利用紋理貼圖將棋盤格映到曲面上，從而表征了映射的共形性。通過檢查圖1a和1b，紋理中棋盤格上的所有直角被映到曲面后還是直角。圖16顯示了四張曲面的全局共形參數(shù)化。同理，紋理上的直角映到曲面上還是直角，這表明了映射的共形性。
對于一復流形，設U_C是一開集，fU→C是一復函數(shù)，如若f是全純，則對于任意點z0∈U，存在一正數(shù)ε＞0，使得在圓盤D(z0，ε)＝{z∈C，|z-z0|＜ε}，上，函數(shù)可以表示為收斂的無窮級數(shù)和f(z)=Σi≥0ai(z-z0)i]]>設U_C和V_C是復平面中的開集。一映射fU→V是雙全純，如果f及其逆映射f-1V→U是全純的。
設S是一聯(lián)通的Hausdorff空間具有開集族{(Ui，zi)}，滿足如下三個條件1.每一個Ui是空間S的開子集，并且其并集覆蓋空間S＝∪Ui，2.每一個zi是一個同胚，將開集Ui映到復平面上的開集.
3.若兩開集之交非空，Ui∩Ui≠φ，變換函數(shù) 是雙全純。
則{(Ui，zi)}構成S的坐標系統(tǒng)，并且定義了S的一維復結構。一個黎曼面的坐標鄰域(U，z)包括開集U和zU→C到復平面的同胚。開集U被稱為S的坐標鄰域，同胚z被稱為局部坐標或參數(shù)。
通常，一個映射φ從S1到S2被稱為是全純映射，如果在S1和S2的所有坐標鄰域上，其限制是全純的。一個從S1到S2的映射是雙全純，如果φ及其逆映射φ-1都是全純的。
于是，兩張黎曼面S1和S2雙全純等價，當且僅當他們間存在雙全純映射。如果存在這樣的映射，S1和S2被視為同一黎曼面，他們擁有同樣的共形結構。通常，復結構，雙全純映射和雙全純等價也被分別稱為共形結構，共形映射和共形等價。
設一曲面S具有黎曼度量ds2=Σijgijdxidxj,]]>則此度量唯一決定了共形結構{(Ui，zi)}，使得度量ds2在局部參數(shù)域(Ui，zi)中的表示是ds2＝λ2(zi)dzidzi，式中λ(zi)是一正值實函數(shù)。
為計算出曲面S的共形結構，曲面上的全純微分形式必須先被找出。假設S是一黎曼面，S上的全純微分形式ω由符合下列的一族{(Ui，zi，ωi)}給出，1.設{(Ui，zi)}是共形結構，ω具有局部表示ωi，ωi＝fi(zi)dzi，式中fi(zi)是一定義在Ui上的全純函數(shù)。
2.若zi＝φji(zj)是一定義在Ui∩Ui≠φ的坐標變換函數(shù)，那末fi(φji(zj))dφji(zj)＝fj(zj)dzj，因此局部表示滿足鎖鏈法則fi(zi)dzi＝fj(zj)dzj
S上所有微分形式集合記為Ω1(S)，Ω1(S)具有群結構，這個群和曲面的一維上同調(diào)群同構。為了計算Ω1(S)，曲面的下同調(diào)群必先被算出。
設S是一兩維黎曼流形，配備著度量g，N_R3是一兩維緊致流形，_是一C1光滑映射，_＝(_1，_2，_3)S→N，令 是能量密度在S的局部坐標x＝(x1，x2)中的表示形式，式中g＝(gαβ)，gαβ＝(gαβ)-1_的C1變分(_ε)是一族C1映射，_εS→N，光滑地依賴于參數(shù)|ε|＜ε0，并且_0＝_。
_的變分(_ε)具有緊致支撐，如果存在緊集Ω_S，使得對于一切|ε|＜ε0，在S/Ω上_ε＝_0。
一個C1光滑的調(diào)和映射_S →N是其具有緊致支集變分的駐點，并且使調(diào)和能量達到極小。調(diào)和能量被定義為 在局部坐標系中，dAS=|g|dx1dx2,]]>這里|g|＝det(gαβ)。一個映射是調(diào)和的，當且僅當ΔS_＝λnо_，
此處λ是全局定義在曲面S上，nо_是曲面N在像點處的法向量。對于零虧格的曲面，調(diào)和映射就是共形映射。如果N是實數(shù)R，那末_也稱為調(diào)和函數(shù)。所有的共形映射都是調(diào)和的，并非所有的調(diào)和映射都是共形的。
曲面S上實微分形式τ是調(diào)和的，如果對于S上任意點，存在開集D_S，使得τ|D＝df|D，f是一個曲面S上的調(diào)和函數(shù)，并且d是外微分算子。
所有調(diào)和微分形式形成群H，同構于上同調(diào)群H1(S，R)。根據(jù)Hodge理論，在每一上同調(diào)類中存在唯一的調(diào)和微分形式。全純一形式ω能夠被分解為兩個實微分一形式τ和γ，使得ω=τ+-1γ]]>通過在曲面上積分全純微分形式，曲面可被共形映射到復平面。所有全純一形式形成的群Ω1(S)和下同調(diào)群H1(M，R)對偶。虧格為g的曲面，H1(M，R)共有2g生成元。相應于每一環(huán)柄，曲面上存在一對生成元，γi和γi+g，使得γi·γi+g＝+1，i＝1，2，…，g，此處·代表著兩條閉曲線間的代數(shù)相交數(shù)。于是，B＝{γ1，γ2，…，γ2g}，是一組標準下同調(diào)基底。如果B是H1(M，R)的一組基底，對偶的全純一形式基底是B*＝{ω1，ω2，…，ω2g}，滿足Re∫γiωj=-γi·γj]]>圖2a描繪了兩洞輪胎曲面的下同調(diào)基底，由四條閉曲線構成。圖2b顯示了和e1對偶的調(diào)和微分形式ω，圖中的條紋是ω的積分曲線。圖2c顯示了共軛調(diào)和微分形式ω*，它垂直于顯示于圖2b中的調(diào)和微分形式。圖2d描繪了全純微分形式
ω+-1ω*.]]>共形等價的全系不變量表示成為一個復矩陣。設B＝{γ1，γ2，…，γ2g}是一組標準下同調(diào)基底，B*＝{ω1，ω2，…，ω2g}是Ω1(S)的基底，那末P＝(pij)被稱為S的周期矩陣，pij=∫γiωj.]]>通過檢驗兩張曲面的周期矩陣可以判定他們是否共形等價，而不需計算他們間的共形映照。
通常情況下，曲面表示成三角網(wǎng)格，因而具有自然的復結構。設K是一個單純復形，一個映射f|K|→R3將|K|嵌入在R3中，那末M＝(K，f)被稱為一個三角網(wǎng)格。Kn代表著n維單形集合，σn表示了n維單純形，σn＝[v0，v1，…，vn-1]，此處vi∈K0代表著三角網(wǎng)格的頂點。
一個鏈空間由單形的線性組合構成，表示為Cn(M)={Σjcjσjn|cj∈Z,σjn∈Kn}]]>Cn(M)，n＝0，1，2的元素被稱為n-鏈。同時，所有面之和 在C2中，M用以表示這一特殊的2-鏈。鏈空間之間的邊緣算子_nCn→Cn-1是線性算子。假設σ∈Kn，σ＝[v0，v1，…，vn-1]，那末∂nσn=Σi=0n-1(-1)i[v0,···,vi-1,vi+1,···,vn-1]]]>給定一個Cn中的n-鏈，其邊緣算子被定義為∂nΣicnσin=Σi∂nσin.]]>算子_1的核空間ker_1_C1代表了M上的所有封閉的曲線。同樣地，img_2_C1代表了_2的像空間，它代表了所有曲面片的邊界。因為_1о_2＝0，所以img_2_ker_1。因此，M的下同調(diào)群Hn(M，Z)被標述為Hn(M,R)=ker∂nimg∂n+1]]>H1(M，Z)表征了M上所有非曲面片邊界的封閉曲線。M的拓撲被H1(M，Z)所決定。假設M是虧格為g的封閉曲面，并且B＝{γ1，γ2，…，γ2g}是任意一組下同調(diào)基底，則B的相交矩陣C是cij＝-γi·γj，此處·標示了代數(shù)相交數(shù)。如果，當γi和γj的切向量的叉乘積和曲面在相交點的法向量相一致，代數(shù)相交數(shù)計為+1，否則記為-1。
余鏈空間是鏈空間到實數(shù)的線性范函的集合，記為Cn(M)＝Hom(Cn，R)，n＝0，1，2此處Hom(Cn，R)代表著所有Cn到R的同胚。Cn(M)中的元素被稱為n-余鏈或n-形式。余邊緣算子被定義為δnCn→Cn+1。令ωn∈Cn是一n-form，cn+1∈Cn+1是一n+1鏈，則(δnωn)(cn+1)＝ωn(_n+1cn+1).
并且δ1оδ0＝0。上同調(diào)群被定義成Hn(M,R)=kerδnimgδn-1]]>
kerδ1中的1-形式被稱為閉1-形勢，imgδ0中的1-形式被稱為恰當1-形式。兩個閉1-形式被稱為上同調(diào)的，如果他們的差是一恰當形式。上同調(diào)群H1(M，R)和下同調(diào)群H1(M，Z)同構。n-形式ωn∈Cn沿著n-鏈cn∈Cn的積分被定義為<ωn，cn>＝ωn(cn)邊緣和尚邊緣算子通過Stokes公式相聯(lián)系<ωk-1，_kck>＝<δk-1，ck>.
外積算子是一雙線性算子∧C1×C1→C2。令f∈K2是M上的一個面，_2f＝e0+e1+e2，ω，τ∈C1于是 雙線性星外積算子∧*C1×C1→C2被同樣地定義。令f∈K2，其三邊長為l0，l1，l2，并且面積為A，則ω∧*τ(f)＝ΩGГT，此處Ω＝(ω(e0)，ω(e1)，ω(e2))，Г＝(τ(e0)，τ(e1)，τ(e2))并且二形式G具有如下形式124A-4l02l02+l12-l22l02+l22-l12l12+l02-l22-4l12l12+l22-l02l22+l02-l12l22+l12-l02-4l22.]]>一個閉的1-形式ω的調(diào)和能量E(ω)被定義為E(ω)=Σe∈K1weω2(e)]]>此處
we=12(cotα+cotβ)]]>若e在邊緣上，則e與一個面相鄰，we標示為we=12cotα.]]>一個閉1-形式是調(diào)和1-形式，如果它極小化調(diào)和能量，這等價于它的Laplace算子為零，Laplace算子定義為Δω(u)=Σ[u,v]∈K1w[u,v]ω([u,v])]]>令M具有下同調(diào)基底B＝{γ1，γ2，…，γ2g}和調(diào)和1-形式基底{ω1，ω2，…，ω2g}，滿足<γi，ωj>＝-γi·γj，i，j＝1，2，…，2g，此處·是γi和γj的代數(shù)相交數(shù)，則下同調(diào)基底和調(diào)和1-形式基底互為對偶。
令M是一網(wǎng)格，N是一張嵌入在R3中的光滑曲面。一分片線性映射uM→N_R3，將M的頂點映到N，u(K0)_N，u＝(u1，u2，u3)，調(diào)和能量被定以為E(u)=ΣiE(δui),]]>此處E(δui)是定義在1-形式δui上的能量。若u極小化調(diào)和能量，則u是調(diào)和映射并且滿足下列方程Δu＝(Δu1，Δu2，Δu3)＝τnоu，此處n是N上的法向量場。
給定調(diào)和1-形式ω，唯一存在共軛的調(diào)和1-形式ω*。全純1-形式定義為ω+-1ω*.]]>所有全純1-形式構成群Ω1(M)，它同構于上同調(diào)群H1(M，R)。全純形式群Ω1(M)的基底可以由調(diào)和形式群的基底直接構造出來。給定調(diào)和形式基底{ω1，ω2，…，ω2g}，則全純形式基底為{ω1+-1ω1*,ω2+-1ω2*,···,ω2g+-1ω2g*}.]]>給定一下同調(diào)群H1(M，Z)的基底B＝{γ1，γ2，…，γ2g}，及其對偶的全純1-形式基底{ω1+-1ω1*,ω2+-1ω2*,···,ω2g+-1ω2g*},]]>則可定義矩陣C2g×2g＝(cij)和S2g×2g＝(sij)
cij=<γi,ωj>,sij=<γi,ωj*>.]]>M的周期矩陣R被定義為R＝C-1S此處周期矩陣R滿足R2＝-I。周其矩陣(C，R)決定了M的共形等價類。特別的，給定兩個曲面M1和M2具有周期矩陣(C1，R1)和(C2，R2)，M1和M2彼此共形等價當且僅當存在整系數(shù)矩陣N使得N-1R1N＝R2，NTC1N＝C2給定三角網(wǎng)格M，其虧格g＞0，離散共形結構定義為一族坐標卡{(Ui，zi)}，滿足1.Ui是單連通的，由M的面所組成。
2.Ui的并集覆蓋M，M=∪Ui。
3.zi是分片線性函數(shù)，存在全純1-形式ω，使得ω|Ui=δzi|Ui.]]>在零虧格的曲面上不存在全純1-形式。在這種情形下，零虧格的曲面可被共形的單位球面S2上，單位球面上共形結構可以生成M的共形結構。因此，離散調(diào)和映射uM→S2定義了M的共形結構。
給定任一曲面，存在一條特殊的曲線γ∈C1，曲面可以沿著γ剪開而成為一拓撲圓盤DM。此曲線γ被稱為割圖，拓撲圓盤DM被稱為M的基本域。割圖的選擇并不唯一，同理，基本域也并不唯一。
共形映射uDM→C可以被全純1-形式ω+-1ω*]]>導出。首先選中一個基準點v0∈DM，對于任意頂點v，選定任意一條路徑τ∈C1(DM)，滿足_τ＝v-v0，則u(v)=<ω,τ>+-1<ω*,τ>,]]>
所有零虧格的曲面能夠被共形地映到球面上，因此所有所有零虧格的曲面彼此共形等價。球面到自身的所有共形映射構成六維的Mobius群。利用球極投影，將球面映到復平面上，所有的Mobius變換具有形式az+bcz+d,]]>ad-bc＝1，a，b，c，d∈C所以，在計算曲面到球面的拱形映射的過程中，需要更多的限制條件，從而在Mobius變換群中的得出唯一解。另外的困難之處在于像空間是球面而非R3，因此在調(diào)節(jié)映射的時候，像點應在球面的切空間上移動，而非在R3中移動。
建立在以上的討論，下面將著重討論一系列算法來計算共形結構，以及其在計算機圖形學，計算機視覺和醫(yī)學圖像領域的應用。
算法1計算0虧格網(wǎng)格的共形參數(shù)化輸入一個封閉的0虧格的網(wǎng)格M輸出共形參數(shù)化_M→S21.計算高斯映射_M→S22.計算網(wǎng)格上的每一個頂點u的Laplacian，Δ_(u)3.將Δ_(u)投影到_(u)∈S2切平面上4.沿著投影Δ_(u)的負方向更新_(u)5.計算_(u)的質(zhì)心，將質(zhì)心移到球面的中心，重新歸一化_(u).
6.對每一個節(jié)點，重復第2到第5步，直到投影的Laplacian等于0.
圖3，4，5顯示了三個封閉，0虧格曲面的球面共形參數(shù)化.
任意兩個拓撲圓盤之間的共形映射形成一個三維群.這個群是Mobius群的子群，
aa-bb＝1，a，b∈C為了計算一個拓撲圓盤和一個單位圓盤之間的共形映射，我們使用倍曲面技術，將帶有邊界的曲面轉換成封閉的對稱曲面.給定一個帶有邊界的曲面M，邊界記為_M.我們通過如下方法構造一個對稱的封閉曲面M，將M覆蓋兩次存在一個等距投πM→M將一個面f∈M等距地影射為M中的一個面f∈M.對M中的每一個面f∈M，M中存在兩個原像。
算法2計算一個開曲面的倍曲面輸入一個代邊界的曲面M輸出M的倍曲面M1.將M復制，記為-M，2.將-M反向，3.建立如下的對應關系對每一個邊界上的頂點u∈_M，在-M中存在一個唯一頂點u∈_-M與之對應；對_M上的任何一條邊e∈_M，在_-M中存在一個唯一的邊--e∈_-M與之對應。
4.將M和-M中對應的頂點和邊粘合，得到M的倍曲面M。
利用算法2中的倍曲面技術，我們可以直接計算從和拓撲圓盤同胚的網(wǎng)格M到單位球面S2的共形映射。由于倍曲面技術是對稱的，M和-M會被映射到不同的半球。利用球極投影將半球映射到單位圓盤上。這樣，我們就建立了和拓撲圓盤同胚的網(wǎng)格M和單位圓盤D2之間的共形映射。通過Mobius變換，我們可以計算所有的共形映射。
算法3計算拓撲圓盤到單位圓盤D2之間的共形映射輸入和拓撲圓盤同胚的網(wǎng)格M
輸出拓撲圓盤到單位圓盤之間的共形映射_M→D21.計算M的倍曲面M.
2.計算全局共形映射_M→S2，3.旋轉_(M)，使得_(_M)是赤道4.利用球極投影ρ將上半球映射到單位圓盤5.輸出ρо_虧格非零的曲面的全純1形式的群Ω1(M)是由其拓撲決定的.為了計算這個群，我們先計算下同調(diào)基底.然后，計算其對偶調(diào)和1形式基地.最后將調(diào)和1形式轉換成全純1形式基底.
我們介紹計算下同調(diào)和調(diào)和1形式的代數(shù)算法.給定一個網(wǎng)格M，我們用代數(shù)拓撲的方法計算其下同調(diào)基底.σin∈Kn]]>給定和σkn-1∈Kn-1,]]>定義[σin,σkn-1]=+1,+σkn-1∈∂σin-1,-σkn-1∈∂σin0,±σkn-1∉∂σin]]>n-維邊緣矩陣定義為∂n=([σin,σkn-1])]]>下同調(diào)基底由和零特征值對應的特征向量決定D=∂1T∂1+∂2∂2T]]>算法4計算網(wǎng)格M的下同調(diào)基底輸入網(wǎng)格M輸出M的下同調(diào)基底{γ1，γ2，…，γ2g}1.計算_1和_2的邊緣矩陣2.計算矩陣D=∂1T∂1+∂2∂2T]]>的Smith標準形式3.計算D中和零特征值相對應的特征向量，構成{γ1，γ2，…，γ2g}所有調(diào)和1形式構成和下同調(diào)群H1(M，Z)對偶的上同調(diào)群。一個調(diào)和1形式是既封閉又調(diào)和。根據(jù)Hodge理論，所有調(diào)和1形式構成一個線性空間，這個空間是下同調(diào)群的對偶空間。同時，每個上同調(diào)類存在一個唯一的調(diào)和1形式。
算法5計算調(diào)和1形式基底輸入M的下同調(diào)基底{γ1，γ2，…，γ2g}輸出調(diào)和1形式基底{ω1，ω2，…，ω2g}1.設cij=-γi·γj,i,j=1,2,···,2g]]>2.對ωi解入下的線性系統(tǒng)δωi=0Δωi=0<ωi,γj>=cij]]>3.輸出{ω1，ω2，…，ω2g}以上算法是基于代數(shù)的，我們可以用組合算法計算下同調(diào)，上同調(diào)和調(diào)和1-形式。
算法6計算網(wǎng)格M的基本域輸入一個網(wǎng)格M輸出M的基本域DM
1.從M中任取一個面f0∈M，令DM＝f0，_DM＝_f0。將與f0的相鄰的面放入隊列Q.
2.當隊列Q非空·取出隊列的第一個元素f，令_f＝e0+e1+e2·DM＝DM∪f，搜索第一個滿足-ei∈_DM的邊ei∈_f，將-ei∈_DM替換成{ei+1，ei+2}，并保持這個順序·將和f有共同邊，并且不在DM或Q中的面放入隊列Q3.將所有-e_DM中的相鄰并且相互反向的有向邊刪除，也就是所有的{ek，-ek}__DM，并且{ek，-ek}在_DM中相鄰。
以上算法得到的基本域DM包括M的所有面，這些面根據(jù)插入的順序排序。所有邊界上的非定向的邊和頂點構成割圖G。
對于割圖，算法7計算相對應的下同調(diào)群生成元。
算法7.計算網(wǎng)格M的下同調(diào)基底.
輸入網(wǎng)格M輸出下同調(diào)基底{γ1，γ2，…，γ2g}1.計算M的基本域DM和割圖G2.計算G得生成樹T，令G/T＝{e1，e2，…，e2g}3.從樹T的根節(jié)點r開始進行深度優(yōu)先搜索4.令_ei＝ti-si，記從根節(jié)點r到ti和si的路徑為[r，ti]和[r，si].建立一個環(huán)路γi＝[r，ti]-[r，si]5.輸出{γ1，γ2，…，γ2g}作為H1(M，Z)的基底為了顯示地計算M的上同調(diào)群H1(M，Z)，我們通過<γi,ωj>=δij]]>獲得一組閉1形式{ω1，ω2，…，ω2g}其中δij是Kronecker delta符號，γi是下同調(diào)基底.
算法8.計算M的上同調(diào)基底輸入網(wǎng)格M輸出上同調(diào)基底{ω1，ω2，…，ω2g}1.計算基本域DM，割圖G，和生成樹T，G/T＝{e1，e2，…，e2g}2.對所有的邊e∈T，令ωi(ei)＝1和ωi(e)＝0，e≠ei3.假設DM＝{f1，f2，…，fn)，將其逆序排列DM＝{fn，fn-1，…，f1}4.當DM非空a.取出DM的第一個面f，從DM中將f刪除，_f＝e0+e1+e2b.將ek分成兩個集合Γ＝{e∈_f|-e∈-_DM}，Π={e∈∂f|-e∉-∂DM}]]>c.任取ωi(ek)，ek∈П，使得Σe∈Πωi(e)=-Σe∈Γωi(e)]]>若?？眨瑒t等號右側為零d.更新基本域DM的邊界，_DM＝_DM+_f5.當獲得上同調(diào)基底{ω1，ω2，…，ω2g}，與之對偶的下同調(diào)基底{γ1，γ2，…，γ2g}可以由以下的線性變換取得<γi，ωj>＝-<γi，γj>
算法9將閉的1-形式擴散成調(diào)和1-形式ω輸入網(wǎng)格M，閉1-形式ω輸出調(diào)和1-形式，上同調(diào)于ω1.取f∈C°(M)滿足Δ(ω+δf)＝02.求解如上的稀疏線性系統(tǒng)，求出f.
3.輸出ω+δf.
此處，Δ(ω+δf)(u)=Σ[u,v]∈Mku,v(ω([u,v]+f(v)-f(u))),]]>u∈K0給定一個調(diào)和1-形式基底{ω1，ω2，…，ω2g}，共軛調(diào)和1-形式ω*=Σj=12gλjωj]]>可以有如下的線性系統(tǒng) M＞＝<ωi∧ω*，M>
當求出基本域后，我們可以通過對全純1形式ω積分而獲得共形映射.首先，選取一個根節(jié)點v0∈DM，用深度優(yōu)先搜索遍歷DM.每一個頂點u∈DM有唯一一條從v0到u路經(jīng)γu，我們定義_(u)＝<ω，γu>
算法10.計算全局共形參數(shù)化輸入網(wǎng)格M，全純1-形式ω輸出全局共形參數(shù)化_DM→C1.計算基本域DM.
2.用深度優(yōu)先搜索遍歷DM，記錄從根節(jié)點v0到u的路徑，記為γu3.計算積分_(u)＝<ω，γu>
4.輸出_(u)作為u的共形坐標.
算法11.計算網(wǎng)格M的共形結構輸入網(wǎng)格M輸出網(wǎng)格M的共形結構{(Ui，zi)}1.計算全純1基底{ωi+-1ωi*}]]>2.計算一個刨分{Ui}，使得M_∪Ui，Ui是單連通的3.對每一個Ui，取全純1-形式基底ωj+-1ωj*,]]>在Ui上積分，記映射為zi.如果存在零點，將Ui細分，并重復步驟34.輸出{(Ui，zi)}通過對基本域全純1形式積分獲得的全局共形參數(shù)化可以有很多用途，包括將網(wǎng)格轉換成張量積樣條，曲面匹配和識別，圖象處理等應用.
根據(jù)Poincare-Hopf理論，一個全純1-形式一定存在零點，如果網(wǎng)格M的虧格不是1.在全純1-形式的零點上，共形因子為0.一個g虧格的曲面含有2g-2個零點.在零點，共形映射將零點的鄰域纏繞兩次，雙倍地覆蓋復平面.從局部上看，這個映射和_C→C相似，_(z)＝z2圖6a和6b分別顯示了一個開茶壺的全局參數(shù)化的零點，和其在復平面上的表示.
調(diào)和1-形式可被視為曲面M到單位圓S1上的映射.對于全純1-形式，其實部調(diào)和1-形式是取值于圓周的映射，其虛部調(diào)和1-形式是梯度場.過零點的積分曲線將曲面分成規(guī)則片.特別的，給定一網(wǎng)格M和一全純1-形式ω=τ+-1τ*,]]>過零點，沿著τ和τ*的積分曲線，將曲面分割成拓撲圓盤和圓柱.
令M是一拓撲輪胎共形地映到C，在它萬有覆蓋空間上面積分全純1-形式ω會得到一個周期性的共形映射.選取一基準點u0，其像點集合為{a<γ1，ω>+b<γ2，ω>|a，b∈Z}這個映射具有周期性.整張曲面被映到一個周期上，成為一平行四邊形，由向量<γ1，ω>和<γ2，ω>張成.向量<γ1，ω>，<γ2，ω>被稱為M的周期.若曲面虧格大于一，每一個環(huán)柄都有不同的周期.整張曲面映到g個相互重疊的平行四邊形上.這些平行四邊形在零點的像點處彼此粘貼穿越.
圖(7a-d)描繪了這一現(xiàn)象.圖(7a)和(7b)顯示了一個虧格為二的曲面，分解為兩個換柄，每一換柄被共形地映到模空間.圖7c和7d描繪了一個3-虧格圓環(huán)面和從其到?？臻g的共形映射。
圖形8a和8c描繪了2個1虧格曲面，他們雖然拓撲上等價，都是1虧格曲面，但是卻不是共形等價的。每個圓環(huán)面可以被切開，共形的映射到平面平行4邊形上，如8b，8d所示。相應的平行四邊形的形狀標示了共形等價類。共性等價類由四邊形的銳角和兩個相鄰邊的長度比例所決定.在這兩例中，一直角和相鄰邊的長度比例描述了兩張?zhí)澑駷橐坏那娴墓残尾蛔兞?兩曲面具有不同的共形不變量，彼此并不共形等價.
為了一般化這里描述的方法，現(xiàn)在我們考慮有邊界的網(wǎng)格。給定一個帶邊界的網(wǎng)格M，計算其加倍 對于每個內(nèi)部的頂點u∈M，在 上有兩個備份，記為u1和u2。u1和u2互為對偶。u2＝u1，u1＝u2。對于邊界上的點u∈_M，在 上只有一個備份，所以u和自己對偶。為了計算M上的調(diào)和1形式，我們知道 的所有對稱的調(diào)和1形式同樣是M的調(diào)和1形式。
為任意調(diào)和1形式ω定義對偶算子如下
ω([u，v])＝ω([u，v])任意ω可以被分解成一個對稱部分和一個不對稱部分ω=12(ω+ω‾)+12(ω-ω‾)]]>這里 是對稱部分， 是反對稱部分。
算法12為帶邊界的網(wǎng)格計算一組全純一形式基底。
輸入帶邊界的網(wǎng)格M輸出網(wǎng)格M的全純一形式基底，形為{τ1+-1τ1*,τ2+-1τ2*,···,τk+-1τk*}]]>1.計算M的倍曲面 2.計算 的調(diào)和-形式基底{ω1，ω2，…，ω2g}。
3.賦值τi=12(ω+ω‾),]]>移除冗余的部分4.計算τi的共軛調(diào)和1-形式，記為τi*5.輸出全純一形式基底{τ1+-1τ1*,τ2+-1τ2*,···,τk+-1τk*}]]>圖形8a和8c描繪了2個1虧格曲面，他們雖然拓撲上等價，都是1虧格曲面，但是卻不是共形等價的。每個圓環(huán)面可以被切開，共形的映射到平面平行4邊形上，如8b，8d所示。相應的平行四邊形的形狀標示了共形等價類。共性等價類的共形不變量(或形狀因子)由四邊形的銳角(在這里是直角)和兩個相鄰變的長度比例.如8b，8d所示，兩個圓環(huán)面有不同的形狀因子，所以不是共形等價的.
如下表格1列出了圖9a-9d中1-虧格的曲面的共形不變量.很明顯，他們中沒有相互共形等價的.

算法13.檢測M1和M2是否共形等價輸入2個曲面M1和M2輸出判別M1和M2是否共形等價1.計算M1和M2相應的周期矩陣(R1，C1)和(R2，C2).
2.計算R1=P1Γ1P1-1]]>和R1=P2Γ2P2-1]]>的約當標準形式.
3.如果Γ1≠Γ2返回假.
4.N=P1P2-1,]]>如果N是一個不可逆的整數(shù)距陣而且NC1NT＝C2，則返回真，否則返回假.
共形因子λ(u，v)標示了曲面S第一基本形式.如果λ(u，v)是一個常數(shù)，那么曲面的高斯曲率為零.通過在曲面上有選擇的切割，產(chǎn)生新的邊界，于是共形結構被改變了.
實際上，它有利于提高參數(shù)化的一致性，一般情況下，我們應該在曲面高斯曲率大的地方切割.圖10a-d描繪了一致性上的提高.如圖案10a所示的球面參數(shù)化，耳朵的地方嚴重采樣不足.通過在耳尖引入改變拓撲的切割，參數(shù)化將變得更加一致.
一般情況下，計算的穩(wěn)定性十分依賴于三角化的質(zhì)量.如果三角中所有的角都是銳角，那么計算算法保證穩(wěn)定和收斂.圖15.從兩個不同層次的復雜度上描繪了茶壺模型的全局參數(shù)化.如圖15a-b所示，對于更加復雜的原來的茶壺，全局參數(shù)化使得所有的角都是直角(銳角).圖15c-d描繪了簡化茶壺模型的參數(shù)化，其中所有的角度都是直角(銳角).在這兩種情況下，不論模型的復雜度如何，計算的算法都是穩(wěn)定和收斂的.下面的算法逼近了一個所有都是銳角的三角化.
算法14.所有角都是銳角的曲面的三角化.
輸入網(wǎng)格M輸出所有角都是銳角的M的重新網(wǎng)格化1.用loop細分的方法細分網(wǎng)格.
2.以最小邊長為判距進行邊踏縮操作來簡化網(wǎng)格3.重復步驟1和2直到所有腳都是銳角4.輸出這個重新網(wǎng)格基于共形參數(shù)和平均曲率的曲面匹配如果一個曲面可以被變形成另一個曲面并且沒有太大的拉扯，例如人的表情或者皮膚的變形，那么這個變形可以由全局共形映射精確的逼近.因為共形參數(shù)化，依賴于曲面的第一基本形式，特別地，共形結構連續(xù)地依賴于黎曼度規(guī)，只要黎曼度規(guī)張量變化不太劇烈，共形結構就是相似的.所以把兩個曲面映射到一個標準參數(shù)域上，然后在參數(shù)域上比較曲面，這樣可以更加高效地解決3維匹配問題.
通過在參數(shù)域上存儲共形因子λ(u，v)和法向量n(u，v)，原曲面可以被唯一地重建出來，只相差3維中的旋轉和平移.λ(u，v)定義了第一基本形式，n(u，v)定義了第三基本形式，因此第二基本形式，即R3中的嵌入，可以計算.因此曲面可以被唯一的創(chuàng)建，只相差一個歐氏變換.
一個更加高效的方法是使用在共形參數(shù)域上的平均曲率.對于任何沒有邊界的曲面，曲面由共形因子λ和平均曲率H唯一決定.如何有邊界的曲面，曲面由共形因子λ，平均曲率H和邊界上的第二基本形式唯一決定.
為了基于高斯曲率和平均曲率來匹配曲面，曲面要被嵌入在標準參數(shù)域上匹配。例如，一個人臉可以被映射到一個單位圓盤。高斯曲率和平均曲率是用共形參數(shù)化計算的。高斯曲率和平均曲率的水平集合是參數(shù)域上的平面曲線族。這些水平集合被用于曲面的匹配。
為了匹配包含特別特征的曲面，首先移除這些特征點，然后計算曲面的倍曲面。接下來，限制映射的同輪群以保證所有第一個曲面特征點被映射到第二個曲面相應的特征點上。于是計算共形映射來實現(xiàn)上述的曲面匹配。例如比較人臉，預先移除像眼鏡，鼻尖和嘴這些特征點以計算共形結構。
曲面分類為了分類曲面以便高效的數(shù)據(jù)存儲和搜索，我們計算和存儲以周期矩陣為形式的共形結構。圖11a-d描繪了各種2-虧格曲面。圖中可見，沒有一個曲面是共形等價的，因為它們的周期矩陣不相同。
圖11a的兩洞的圓環(huán)面包括了861個頂點和1536個面，其周期矩陣R是-1.475e-34.840e-44.501e-12.132e-24.858e-4-1.439e-32.132e-24.501e-1-2.260e+01.090e-11.476e-3-4.858e-4-1.090e-1-2.260e+0-4.840e-41.439e-3]]>圖11b描繪的花瓶模型有1185個頂點和2956個面，其周期矩陣R是1.053.e-3-8.838e-64.479e-12.127e-2-1.080e-4-1.031e-32.127e-24.042e-12.309e+01.241e-11.053e-3-1.080e-4-1.241e-1-2.564e+08.851e-61.031e-3]]>
圖11c描繪的花模型有5112個頂點和10000個面，其周期矩陣R是6.634e-3-1.950e-32.861e-1-6.076e-2-1.909e-37.091e-36.076e-22.497e-1-3.768e+0-9.111e-1-6.634e-31.909e-3-9.111e-1-4.303e+01.950e-3-7.091e-3]]>圖11d描繪的打結的瓶子模型有15000個頂點和30000個面，其周期矩陣R是-1.911e-22.757e-35.617e-2-1.001e-31.213e-3-9.294e-2-1.003e-35.699e-2-1.792e+1-4.829e-11.912e-2-6.22e-4-4.817e-1-1.819e+1-3.355e-39.295e-2]]>曲面識別人們很希望曲面可以不需要和別的曲面匹配就被直接識別。用一種標準的方法修改曲面的共形結構并計算修改的周期矩陣，可以得到一串描述曲面幾何內(nèi)蘊屬性的周期矩陣。例如，要識別人臉，移除左眼的中心，右眼的中心，鼻尖，和嘴的中心。對于每一個臉部曲面上的修改，都計算出曲面的加倍和周期矩陣。通過比較周期矩陣的序列，我們可以識別一個幾何曲面，例如人臉。
或者，移除所有的重要特征點，選中并在曲面上移動另一個點，為所有點的移動導致的加倍計算周期矩陣。例如，為了識別人臉，移除眼的中心，鼻尖和嘴的中心，另一個點沿著一個規(guī)定的軌道移動。每一步中，移除當前位置的點并計算周期矩陣。于是計算得到一串周期矩陣，每一個對應規(guī)定軌道上的一個點。我們就用這些周期矩陣識別曲面。
調(diào)和譜分析上面介紹的Laplacian算子有無窮多的特征值和特征方程。所有特征值的譜反映了曲面的多數(shù)內(nèi)蘊幾何性質(zhì)。另外，特征方程可以用于重建曲面?？梢詢H僅通過作為曲面指紋的曲面的譜來重建圖形。例如，在醫(yī)學領域，通過分析內(nèi)部器官譜的形狀可以檢測一些疾病。
我們可以計算由三角網(wǎng)格表示的曲面它的理想的特征值和特征方程，利用尋找Laplacian矩陣的特征值和特征向量。
利用調(diào)和特征函數(shù)壓縮曲面數(shù)據(jù)一個0-虧格類曲面被共形映射到單位球上，曲面的位置向量可以描述為定義在球上的向量函數(shù)。球面上的Laplacian算子的特征函數(shù)是球面調(diào)和的，它們行程了球上函數(shù)空間的基底。于是，位置向量可以根據(jù)這個函數(shù)基底分解，從而得到譜。通過過濾高頻分量，曲面數(shù)據(jù)得到壓縮。通過利用上述的Moebius變換，一個區(qū)域可以放大為將來查看所需。對一般曲面，通過共形映射它到所在的共形等價類中一個標準形狀，和用Laplacian算子的特征方程分解曲面位置向量，我們可以得到理想的函數(shù)基底，這個基地可以用來在存儲之前除去高頻分量。
另外，定義在共形坐標系下的共形因子和平均曲率可以用來唯一決定曲面，只相差一個歐氏變換。在這個方法中，定義在平面上的兩個函數(shù)共形因子和平均曲率被用于表示圖形。因此，節(jié)省了三分之一的存儲空間。我們還可以使用上述的特征函數(shù)技術或者其他已知的壓縮技術進一步提高壓縮率。
重新網(wǎng)格化和硬件設計通過使用共形結構，我們可以共形映射曲面到參數(shù)域，重新網(wǎng)格化曲面。通過這樣，不規(guī)則連接可以變成規(guī)則三角網(wǎng)格。理論上，重建的法向量是精確的。這可以簡化幾何數(shù)據(jù)的表述和圖形硬件的結構?，F(xiàn)階段，一般的圖形硬件有內(nèi)存緩沖區(qū)用于存儲連接信息。CPU和圖形卡之間所必須的用于指明連接信息的交互十分耗時。如果存儲在內(nèi)存里的數(shù)據(jù)的連接關系很規(guī)則，圖形卡可以自己預測，那么對連接信息就不需要額外的內(nèi)存了。因此減少了所需的CPU和圖形卡之間的交互。對于圖形卡的結構，現(xiàn)在的幾何處理和處理曲面紋理的的流水線是分開的。如果用規(guī)則的連接關系，幾何也可以用紋理表示，這樣這兩格分開的流水線也可以合起來。這樣，圖形卡的結構可以被簡化。
同樣，通過重新網(wǎng)格化，可以創(chuàng)建幾何圖形，它的格式可以用于表示曲面幾何。這樣，可以使用很多用于幾何的圖像處理技術，例如壓縮，多分辨率，過濾等等。
圖12a描繪了一個原來有不規(guī)則連接的兔子模型。用共形結構重新網(wǎng)格化以后，如圖12b所示，連接變得很規(guī)則，重建的法向量也很精確。共形幾何圖形如圖12c所示，重建的圖形如圖12d所示。
參數(shù)化曲面和網(wǎng)格轉化在CAD領域，參數(shù)化曲面如B樣條曲面和Bezier曲面常常被使用。在制造業(yè)中，一個使用這些參數(shù)化曲面的控制器常常指導著處理機。但是，幾何數(shù)據(jù)常常用三角網(wǎng)格表示。現(xiàn)在的幾何數(shù)據(jù)獲取儀器以稠密的點云形式輸出幾何數(shù)據(jù)。這些掃描得到的點云很容易被轉化誠網(wǎng)格，因此參數(shù)化曲面到網(wǎng)格之間相互的轉化十分重要?，F(xiàn)在并沒有自動的方法可以轉化網(wǎng)格到樣條曲面。
使用這里提到的共形幾何結構，這個問題可以得到解決。正如上面所討論的，我們可以計算曲面的全局共形參數(shù)化，用沿著過零點梯度場的積分線，曲面可以被分解成一些標準的曲面片。每個標準曲面片可以被映射到一個平面上的矩形，然后在每個矩形上建立一個張量積樣條曲面。通過把控制點匹配在邊界上，結果的參數(shù)化可以是全局光滑的。因此，可以非常方便的以任意理想的連續(xù)性把網(wǎng)格轉變?yōu)閰?shù)化曲面。此外，這種構造方法保留了正確的法向量信息。
曲面上的數(shù)值計算共形結構對計算曲面上的協(xié)微分是一種很好的參數(shù)化。協(xié)微分對于曲面幾何來說是內(nèi)蘊的，所以與在歐幾里德空間的嵌入不相關。共形結構分析還有可能用來計算可變形曲面上的自然物理過程。
通過使用共形坐標，微分操作將有很簡單的形式。例如Laplacian算子是Δ=1λ2(∂2∂x2+∂2∂y2)]]>
這一技術給出了一個更容易的解法求解曲面偏微分方程例如Navier-Strokes方程和Maxwells方程。使用上文中的共形結構，也很容易決定一個曲面的高斯曲率。
醫(yī)學圖像上文中描述的共形結構也能被應用在醫(yī)學圖像領域，例如大腦映射，大腦配準，心臟曲面匹配，以及血管曲面分析。例如，將大腦曲面映射到單位球上，將能很方便地比較兩個大腦以及匹配它們的特征。通過分析大腦上的幾何結構，則易于發(fā)現(xiàn)大腦隨時間的變化，容易找到可能的病變。
從大腦曲面到球的共形映射獨立于三角化以及分辨率。共形映射給我們提供了一種很好的標準空間去比較和配準兩個大腦曲面。因為大腦曲面是非常復雜的，其他方法很難跟蹤頂點流的前進。而這里描述的方法不僅能處理復雜的曲面結構還能保留精確的角信息。因為大腦是一個典型的0-虧格曲面，上文中的算法1，將能被用來把大腦曲面映射到單位球上。圖14給出了一個大腦映射的例子。
動畫共形幾何也能被用在計算機圖形動畫領域。使用當前的數(shù)據(jù)獲取技術，可以掃描演員不同姿勢和表情3D形狀。如果使用上文中的共形分析技術，這些關鍵的姿勢和表情將可以互相映射。使用樣條插值技術，將能生成這些姿勢和表情之間的光滑轉換。因此，對任意的形狀都可以進行動畫處理，而這對現(xiàn)有的技術來說是很難做到的。
假設我們有兩個相似形狀。首先選取特征點，并消除這些特征點。接著計算雙倍曲面，并決定映射的同輪類。通過映射同輪類，將能選取每個曲面的全純1形式，這樣就可以決定兩個曲面之間的上同調(diào)類。再找到零點，通過零點的梯度線，曲面將被分成很多小片。每一小片也能被共形地映射到參數(shù)域中的小矩形。要獲得曲面之間的映射，是先要匹配這些平面上的小片的。
一旦知道了關鍵形狀之間的映射，這些關鍵形狀上的點將被選取作為控制點。一個B樣條將被用來生成這些關鍵形狀之間的光滑轉變。圖15中給出了使用共形結構將一名女性的臉變形為男性臉的例子。用這種方法，我們可以動畫任意的形狀。這對演員來說是很有用的。這樣，一個演員，其不同時期的臉部表情，姿勢以及皮膚變化都可以保存在數(shù)據(jù)庫中。這些保存的幾何數(shù)據(jù)將可以被用來生成虛擬演員。
無扭曲的紋理映射紋理映射在計算機游戲工業(yè)和電影工業(yè)都是非常重要的。一個曲面的渲染速度是被很多因素決定的，其中之一就是幾何模型被顯示的復雜度。對實時應用，比如計算機游戲，一般更傾向于使用簡單的模型。為了提高圖像的視覺效果，圖像被稱作為紋理映射的過程粘貼在幾何曲面上。
對于一個彎曲的曲面，紋理映射將導致一些扭曲。對于加入紋理來說，最大的挑戰(zhàn)就在于避免紋理在平面和曲面之間的扭曲。工業(yè)上，幾何建模和紋理設計者往往屬于不同領域的專業(yè)人士。因為紋理映射需要同時改變幾何和紋理，這兩種不同技術之間的配合通常是很困難且費時的。
正如上文中所討論的，共形參數(shù)化不會產(chǎn)生局部扭曲。使用上文中的技術，幾何建模者和紋理設計者將能很容易的合成他們的工作，更高效的合作。
利用Dirichlete方法生成紋理紋理合成是指根據(jù)小塊紋理樣本生成紋理來覆蓋給定曲面。紋理合成對于圖形設計，影視工業(yè)和娛樂工業(yè)而言非常重要。
利用共形參數(shù)化，困難的幾何曲面紋理生成問題被轉化為容易的平面紋理生成問題。使用上面陳述的共形因子分析技術，紋理在曲面上顯示時的拉伸效果可以被控制，曲面上紋理的幾何特性可以被精確的預計。
為使生成的紋理全局光滑，我們用Dirichlete方法來調(diào)和紋理面片的邊緣，這將使紋理更加自然和光滑。第一步，在參數(shù)域上生成離散的紋理面片，其拉伸效果受到控制。這些紋理片在參數(shù)域上生長，直至不同紋理片的邊緣彼此接觸，但并不相互重疊。每一顏色渠道被視為一函數(shù)，通過解Dirichlete問題來得到全局光滑的紋理。
體的調(diào)和映射給定三維流形M，欲求一映射fM→R3使調(diào)和能量達到極小，這樣三維流形可以在標準空間中研究。調(diào)和能量被定義為E(f)=∫M||▿f||2dδM]]>對于離散系統(tǒng)，調(diào)和能量被定義為E(f):=Σ[u,v]∈Mkuv||f(u)-f(v)||2]]>此處Kuv=l48Σθcotθ,]]>θ是和給定邊相對的二面角，l是邊長。
共軛梯度法被應用來極小化調(diào)和能量，從而得到調(diào)和映射。得到的體調(diào)和映射可用來將零虧格的三維物體映入球體。對球面上的標準園，物體上存在一條與之相對應的封閉曲線。在這條曲線上解Plateau問題得到共形形變度規(guī)，這樣就得到了曲面內(nèi)部體的標準描述。
調(diào)和映射對于外科手術的規(guī)劃的模擬也是非常有用的工具。醫(yī)生可以利用MRI圖像重建大腦的三維體模型。MRI圖像可以被映到三維球上。醫(yī)生能夠建造三維體圖冊，并且利用三維體圖冊來比較不同病人的腦部結構。因為調(diào)和映射是唯一的，這個技術能夠用來標注大腦體數(shù)據(jù)，進行外科手術模擬。
發(fā)明中的方法和概念的各種變體能夠?qū)е赂嗟膽?。因此，任何技術和應用符合后面聲明的精神和范圍，都被本發(fā)明所涵蓋。
權利要求
1一種匹配第一和第二張曲面的方法，本方法包括·獲取第一和第二張曲面，表示為三角網(wǎng)格；·分別計算共形映射，將第一和第二張曲面映射到標準參數(shù)域上；·分別計算第一和第二張曲面的共形參數(shù)化；·利用共形參數(shù)分別計算第一和第二張曲面的高斯曲率和平均曲率，計算高斯曲率和平均曲率的水平集；·比較第一和第二張曲面高斯曲率和平均曲率的水平集，若其區(qū)別小于事先決定的閾值，兩曲面匹配，否則兩曲面不匹配。
全文摘要
本發(fā)明提供一種分析，分類和識別幾何曲面的方法。此方法將曲面視為黎曼流形并計算其共形結構。曲面的共形結構以相比較其它表示而言更為精減的方式蘊涵著曲面的內(nèi)蘊幾何信息。共形映照將曲面映射到標準參數(shù)區(qū)域上，例如圓盤，球面和平面，此映照保留了曲面的幾何信息，同時使復雜運算變簡單。通過如此包括在曲面和其它算法分析之間的曲面匹配、曲面分類、曲面識別、動畫設計和變形的共形表示，各種應用可以被實現(xiàn)。
文檔編號G06T15/10GK1781111SQ200380108225
公開日2006年5月31日 申請日期2003年11月6日 優(yōu)先權日2002年11月6日
發(fā)明者S·－T·姚, X·顧, Y·王 申請人:幾何信息學股份有限公司