專利名稱：：適用于軟計算中的非線性動態(tài)系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)和方法
技術(shù)領(lǐng)域：
：本發(fā)明大體上涉及具有可變隨機結(jié)構(gòu)的非線性動態(tài)系統(tǒng)的隨機模擬。
背景技術(shù)：
：非線性動態(tài)微分方程組的數(shù)值評估和模擬通常是基于歐拉(Euler)方法或龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法。這些方法使用局部代數(shù)環(huán)(algebraicloop)，實際上這要求額外的積分時間。這種積分的時間復雜度與下述因素緊密相關(guān)1)動態(tài)系統(tǒng)自由度的數(shù)目；2)動態(tài)系統(tǒng)所顯示的非線性類型和非線性結(jié)構(gòu)；以及3)隨機激發(fā)的類型。計算結(jié)果的精度取決于積分程序(integrationroutine)的階數(shù)以及積分容錯性的設(shè)置。上面所列的前兩個因素決定了用于實際非線性動態(tài)系統(tǒng)數(shù)值模擬的策略。降低這些非線性方程階數(shù)的標準方法通常顯示出很高的時間復雜度和對積分約束的附加要求。積分精度的必要條件通常還增加了額外的時間復雜度，因此增加了額外的計算資源。由于對于隨機微分方程通常無法找到分析解，所以全面的分析需要數(shù)值模擬。通常這些數(shù)值模擬絕大部分是通過一階歐拉型算法來完成的。反饋控制系統(tǒng)被廣泛用于維持非線性動態(tài)系統(tǒng)的輸出為一個期望值，盡管外部干擾會使該動態(tài)系統(tǒng)偏離該期望值。例如，一個反饋控制系統(tǒng)的例子為受自動調(diào)溫器控制的房間內(nèi)的空間加熱爐。自動調(diào)溫器不斷測量房間內(nèi)部的空氣溫度，當溫度低于期望的最小溫度時，自動調(diào)溫器開啟加熱爐。當內(nèi)部溫度達到期望的最低溫度時，自動調(diào)溫器關(guān)閉加熱爐。盡管有外部干擾，例如外部溫度的降低，自動調(diào)溫器-加熱爐系統(tǒng)仍能保持房間內(nèi)的溫度為一個基本上恒定的值。在許多應用中都使用到相似類型的反饋控制。反饋控制系統(tǒng)內(nèi)的中心部件是可被定義為“設(shè)備(plant)”的、具有輸出變量或性能特性將受到控制的受控對象、機器、或過程。在上面的例子中，該“設(shè)備”為房間，輸出變量為房間中的內(nèi)部空氣溫度，干擾則是通過房間墻壁的熱量流動(分散)。該設(shè)備由一個控制系統(tǒng)控制。在上面的例子中，該控制系統(tǒng)為與自動調(diào)溫器結(jié)合的加熱爐。自動調(diào)溫器-加熱爐系統(tǒng)使用簡單的開啟-關(guān)閉反饋控制系統(tǒng)來維持房間的溫度。在許多控制環(huán)境下，例如電機軸位置或馬達速度控制系統(tǒng)，簡單的開啟-關(guān)閉反饋控制是不夠的。更高級的控制系統(tǒng)則依靠比例反饋控制、積分反饋控制與微分反饋控制的結(jié)合?；诒壤答伡由戏e分反饋加上微分反饋之和的反饋控制通常稱為PID控制。PID控制系統(tǒng)為一種基于設(shè)備動態(tài)模型的線性控制系統(tǒng)。在經(jīng)典的控制系統(tǒng)中，線性動態(tài)模型是以動態(tài)方程形式，通常為常微分方程的形式獲得。假設(shè)該設(shè)備為相對線性的、非時變的和穩(wěn)定的。然而，許多真實世界的設(shè)備是時變的、高度非線性的和不穩(wěn)定的。例如，動態(tài)模型可能包含一些參數(shù)(例如質(zhì)量、電感、空氣動力學系數(shù)，等等)，它們或者只是近似于已知或者依賴于變化的環(huán)境。如果參數(shù)變化小且動態(tài)模型穩(wěn)定，那么PID控制器可能符合要求。然而，如果參數(shù)變化大或者如果動態(tài)模型不穩(wěn)定，那么一般要對PID控制系統(tǒng)增加自適應或智能(AI)控制功能。AI控制系統(tǒng)使用一種優(yōu)化器，通常為非線性優(yōu)化器，來按程序控制PID控制器的工作，從而改善控制系統(tǒng)的總體工作。經(jīng)典的高級控制理論是基于下述假設(shè)靠近平衡點的所有受控“設(shè)備”都可以被近似為線性系統(tǒng)。不幸的是，這個假設(shè)在真實世界中幾乎不成立。絕大多數(shù)設(shè)備是高度非線性的，經(jīng)常沒有簡單的控制算法。為了滿足非線性控制的這些需求，已經(jīng)發(fā)展出了使用諸如遺傳算法、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊控制器等使用軟計算概念的系統(tǒng)。通過這些技術(shù)，控制系統(tǒng)及時進化(改變)，使自身適應受控“設(shè)備”和/或工作環(huán)境內(nèi)可能發(fā)生的變化。如前所述，對動態(tài)系統(tǒng)的模擬中，代數(shù)環(huán)的存在提高了模擬的時間復雜度，并因此增加了模擬所需的計算資源。
發(fā)明內(nèi)容本發(fā)明通過消除動態(tài)系統(tǒng)模擬中的代數(shù)環(huán)來解決這些及其他難題。當所描述系統(tǒng)的方程組的輸出變量也是該方程組內(nèi)一個或多個方程的輸入變量時，就會出現(xiàn)代數(shù)環(huán)。在一個實施例中，通過用公式表示模擬來消除代數(shù)環(huán)，其中對引起代數(shù)環(huán)的輸出變量積分，以產(chǎn)生一個積分輸出。該積分輸出隨后被提供至一個微分器，以在需要時重構(gòu)輸出變量。因此，將在其他方面引起代數(shù)環(huán)的輸出變量不直接反饋到方程組，而是在反饋到方程組之前先積分，再微分。先積分后微分的方法消除了代數(shù)環(huán)，進而加快了模擬。當不止一個輸出變量引起代數(shù)環(huán)時，各個引起代數(shù)環(huán)的輸出變量都在反饋到方程組之前先積分，然后再微分，從而消除模擬中所有潛在的代數(shù)環(huán)。通過結(jié)合附圖的下述描述，本發(fā)明的上述以及其他方案、特點及優(yōu)點將更為明顯。圖1示出了基于軟計算的自組織智能控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。圖2A示出了用于求解非線性微分方程組的、帶有代數(shù)環(huán)的模擬系統(tǒng)的方框圖。圖2B示出了用于求解非線性微分方程組的、不帶有代數(shù)環(huán)的模擬系統(tǒng)的方框圖。圖3A示出了用于模擬動態(tài)系統(tǒng)的、帶有代數(shù)環(huán)的系統(tǒng)的方框圖。圖3B示出了圖3A中所示系統(tǒng)的代數(shù)環(huán)。圖4示出了圖3A中消除代數(shù)環(huán)的系統(tǒng)的方框圖。圖5示出了模擬圖3A及圖4中自由、受激及受控模擬的計算機運行時間，并示出了通過消除代數(shù)環(huán)而得到的改進。圖6示出了具有代數(shù)環(huán)和控制反饋環(huán)的動態(tài)模擬系統(tǒng)的方框圖。圖7示出了圖6中消除代數(shù)環(huán)的動態(tài)模擬系統(tǒng)的方框圖。圖8示出了懸架系統(tǒng)的整車模型。圖9A示出了帶有固定阻尼(damping)的懸架系統(tǒng)的計算機運行時間和模擬速度的改進的標繪圖。圖9B示出了帶有變化阻尼的懸架系統(tǒng)的計算機運行時間和模擬速度的改進的標繪圖。圖10示出了單輪腳踏車模型的部件和坐標系統(tǒng)。圖11示出了有無代數(shù)環(huán)進行模擬時，基于上述單輪腳踏車運動方程模擬的α角比較的示意性標繪圖。圖12示出了有無代數(shù)環(huán)進行模擬時，基于上述單輪腳踏車運動方程模擬的β角比較的示意性標繪圖。圖13示出了有無代數(shù)環(huán)進行模擬時，基于上述單輪腳踏車運動方程模擬的γ角比較的示意性標繪圖。在附圖中，任何三位阿拉伯數(shù)字的元件附圖標記的第一位數(shù)字一般表示首次出現(xiàn)該參考部件的附圖編號，任何四位阿拉伯數(shù)字的元件附圖標記的前兩位一般表示首次出現(xiàn)該參考元件的附圖編號。具體實施例方式圖1示出了基于軟計算的用于控制設(shè)備的控制系統(tǒng)100的方框圖。在控制器100內(nèi)，參考信號y被提供到加法器105的第一輸入。加法器105的輸出為一誤差信號ε，該誤差信號ε被提供到模糊控制器(FC)143的輸入以及比例-積分-微分(PID)控制器150的輸入。PID控制器150的輸出為控制信號u*，它被提供到設(shè)備120的控制輸入以及熵計算模塊132的第一輸入。干擾m(t)110也被提供到設(shè)備120的輸入。設(shè)備120的一個輸出為響應x，它被提供到熵計算模塊132的第二輸入以及加法器105的第二輸入。加法器105的第二輸入被求反，使得加法器105的輸出(誤差信號ε)為第一輸入的值減去第二輸入的值。熵計算模塊132的輸出作為適應函數(shù)被提供到遺傳分析器(GA)131。GA131的一個輸出解被提供到FNN142的輸入。FNN142的輸出作為知識庫被提供到FC143。FC143的輸出作為增益排表被提供到PID控制器150。GA131與熵計算模塊132為控制質(zhì)量模擬系統(tǒng)(SSCQ)130的一部分。FNN142和FC143為模糊邏輯分類器系統(tǒng)(FLCS)140的一部分。使用一組輸入以及適應函數(shù)132時，遺傳算法131以類似于生物進化過程的方式求出有希望為最優(yōu)的解。遺傳算法131產(chǎn)生多組“染色體”(即可能的解)，隨后通過使用適應函數(shù)132評估各個解來對染色體進行分類。適應函數(shù)132決定各個解的適應程度(scale)等級。較為適應的染色體(解)為那些對應于適應程度評估高的解的染色體。較不適應的染色體為那些對應于適應程度評估低的解的染色體。較為適應的染色體被保留(生存)，而較不適應的染色體被遺棄(死亡)。創(chuàng)建新的染色體替代被遺棄的染色體。通過交叉已有染色體的片斷以及引入突變創(chuàng)建新的染色體。PID控制器150具有線性轉(zhuǎn)移函數(shù)，因此是基于受控“設(shè)備”120的線性運動方程。用于程序控制PID控制器的現(xiàn)有技術(shù)的遺傳算法通常使用簡單的適應函數(shù)，因此無法解決通常線性模型中可控制性差的問題。如同絕大多數(shù)優(yōu)化器那樣，優(yōu)化的成功與否經(jīng)常最終取決于功能(適應)函數(shù)的選擇。通常難以評估非線性設(shè)備的運動特性，其部分原因在于缺乏普遍的分析方法。按照慣例，在控制具有非線性運動特性的設(shè)備時，通常是找到設(shè)備的幾個特定的平衡點，設(shè)備的運動特性在靠近平衡點的附近區(qū)域被線性化。隨后，基于對平衡點附近的偽(線性化)運動特性的評估來進行控制。即使這種技術(shù)對于由不穩(wěn)定或耗散模型描述的設(shè)備有效，該技術(shù)也是不夠的?；谲浻嬎愕膬?yōu)化控制計算包括GA131，其作為在正解空間內(nèi)全面收尋優(yōu)化解的第一步。該GA搜索設(shè)備的一組控制權(quán)重。首先由傳統(tǒng)的比例-積分-微分(PID)控制器150使用權(quán)重向量K＝{k1，...，kn}，產(chǎn)生被施加到設(shè)備的信號u*＝δ(K)。GA131使用與在此信號下設(shè)備120的行為相關(guān)的熵S(δ(K))作為適應函數(shù)，用于產(chǎn)生減少熵產(chǎn)生的解。GA131以規(guī)則的時間間隔重復幾次，以產(chǎn)生一組權(quán)重向量K。由GA131產(chǎn)生的向量K隨后被提供到FNN142，F(xiàn)NN142的輸出隨后被提供到模糊控制器143。模糊控制器143的輸出為控制設(shè)備的PID控制器150的增益排表的匯集。對基于遺傳分析器的軟計算系統(tǒng)100，經(jīng)典的控制觀念中經(jīng)常沒有實際的控制定律，但相反地，本發(fā)明的控制是基于諸如熵產(chǎn)生最小的物理控制定律。為了模擬，設(shè)備120可以被模擬成一個非線性隨機微分方程組。由于隨機微分方程無法找到分析解，所以完整的分析需要數(shù)值模擬。這些模擬絕大部分是由一階歐拉型算法來處理的。為了獲得更高的精度，有時候使用擴展的龍格-庫塔算法的方法。發(fā)展出該擴展首先是用于白噪聲方程，隨后以通用的形式用于有色噪聲方程。為了隨機模擬非線性項內(nèi)具有隱藏更高階導數(shù)的非線性動態(tài)系統(tǒng)，這些方法具有很高的時間復雜度?；诟？?普朗可一科爾莫哥洛夫(Fokker-Planck-Kolmogrov)方程及修正積分方法而為隨機過程模擬形成濾波器的方法，具有比標準方法更小的計算時間復雜度?；谲浻嬎愕膬?yōu)化控制計算包括使用GA131來提供以正解的固定空間為基礎(chǔ)的對優(yōu)化解的搜尋。該GA搜索設(shè)備的一組控制權(quán)重。傳統(tǒng)的比例-積分-微分(PID)控制器150使用權(quán)重向量K＝{k1，...，kn}，產(chǎn)生被施加到設(shè)備的信號δ(K)。與在此信號下設(shè)備行為相關(guān)的熵S(δ(K))被假設(shè)為待最小化的適應函數(shù)。該GA以規(guī)則的時間間隔重復幾次，以產(chǎn)生該組權(quán)重向量。遺傳算法通常是計算量極大的搜尋過程，要求多次計算適應函數(shù)。如前所述，適應函數(shù)依賴于受控對象(即設(shè)備)的輸出結(jié)果。受控對象可以為非線性的、甚至為不穩(wěn)定的非線性動態(tài)系統(tǒng)。通常以下述形式的二階微分方程來描述這樣的動態(tài)系統(tǒng)q··1=f1(q1,q·1,q··1,···qi,q·i,q··i,···,q··N,ξ1,u1,t)···q··i=fi(q1,q·1,q··1,···qi,q·i,q··i,···,q··N,ξi,ui,t)···q··n=fn(q1,q·1,q··1,···qi,q·i,q··i,···q··N,ξN,uN,t)---(1)]]>其中ql為系統(tǒng)的廣義坐標，為廣義速度，為廣義加速度，fl為運動方程，ξi為隨機激發(fā)，ui為控制力(i＝1，...，n)，t為時間刻度。為找到該微分方程組的一個數(shù)值解，通常通過變量代換將此方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐唤Mn×2的一階微分方程。例如，n＝1時，該方程組變?yōu)閝··=f(q,q·,q··,ξ,u,t)---(2)]]>通過替換變量將(2)轉(zhuǎn)變?yōu)閝·1=q2q·2=f(q1,q·1,q2,q·2,ξ,u,t)---(3)]]>使用歐拉方法可以對方程(1)、(2)或(3)進行數(shù)值求解。歐拉方法的公式為yn+1＝y(tǒng)nhf(xn，yn)該方法由xn到xn+1≡xn+h來逼近解。該公式的不對稱之處在于，它通過區(qū)間h逼近解，但只在該區(qū)間之初使用微分信息。這意味著每步的誤差只比正確值小h的一次方。在一些情況下，歐拉方法的精度小于其他的以相同步長運行的方法，而且歐拉方法可能不穩(wěn)定。相反，與一階歐拉方法相比，二階(及更高階)龍格-庫塔方法采用對稱來消除一階誤差項，從而提高了給定步長時解的精度。二階龍格-庫塔算法為k1＝h(f(xn，yn))k2=hf(xn+12h,yn+12k1)]]>yn+1＝y(tǒng)n+k2+O(h3)并且，四階龍格-庫塔算法為k1＝h(f(xn，yn))k2=hf(xn+12h,yn+12k1)]]>k3=hf(xn+12h,yn+12k2)]]>k4＝hf(xn+h，yn+k3)yn+1=yn+k16+k23+k33+k46+O(h5)]]>多個數(shù)值模擬程序，例如諸如Simulink_，可以對方程(1)、(2)和(3)中所示的動態(tài)系統(tǒng)積分。對于數(shù)值模擬，可以較容易地把方程組(1)表示為如圖2A所示的模擬計算圖。在圖2A中，由方程塊201提供(例如，如方程(2)所示的)方程組。方程塊201的輸出被提供到積分塊202，積分塊202對方程塊201的輸出進行多重積分。例如，方程塊201的輸出信號被提供到積分塊202的輸入。在積分塊202中，信號作為積分塊202的輸出(即，作為一未積分的輸出提供到多路復用器209)，并被提供到積分器210的輸入。積分器210的輸出信號被提供到積分器211的輸入，并作為積分塊202的輸出。積分器211的輸出信號qi被提供為積分塊202的輸出。積分塊202的輸出被提供到多路復用器209的輸入。激發(fā)塊203的輸出ξl被提供到多路復用器209的激發(fā)輸入。比例-積分-微分(PID)控制塊204的控制輸出ui被提供到多路復用器209的控制輸入。多路復用器的輸出總線230包含信號ql、ξi和ui，其中，對于各變量，i可以從1變化到N。輸出總線230被提供到積分控制塊231的輸入。積分控制塊的輸出總線232包括信號ql、ξl和ul，用于積分的下一時間步長。輸出總線232還包含時間步長變量t。輸出總線232被提供到方程塊201的輸入。指定為設(shè)備輸出x的選定信號從輸出總線232被提供到加法器206的負輸入。通常從信號組和qi中選擇設(shè)備輸出x。參考信號塊205產(chǎn)生一個參考信號，該信號被提供到加法器206的正輸入。加法器206的輸出為誤差信號εi(加法器206的兩個輸入之差)。誤差信號被提供到PID控制塊204的誤差信號輸入。增益塊207提供控制增益KlP(t)、KlI(t)和KiD(t)到PID控制塊204的增益排表輸入。在一個實施例中，控制增益為固定增益。在一個實施例中，動態(tài)地計算控制增益，如圖1所示(其中，增益塊207可包含F(xiàn)LCS140及SSCQ130)。如果動態(tài)地計算控制增益，則設(shè)備輸出x也可以被提供到增益塊207的輸入。積分控制231接收總線230上的先前的輸出，并計算積分下一時間步長的輸入。下一時間步長的輸入被提供到總線232。因此，由積分控制231執(zhí)行積分(即求解)方法(例如，歐拉或龍格-庫塔等方法)。圖2A示出了具有代數(shù)環(huán)(將結(jié)合下面的圖3B進行更詳細的描述)的系統(tǒng)。圖2B示出與圖2A所示系統(tǒng)求解相同方程、但不使用代數(shù)環(huán)的系統(tǒng)。圖2B絕大部分都與圖2A類似，但不同的是，在圖2B中，信號并非直接作為積分塊202的輸出被提供(即，作為未積分輸出提供到多路復用器209)。尤其是，信號被提供到積分器210，且積分器210的輸出被提供到微分器212的輸入。作為信號重構(gòu)的微分器212的輸出，被提供為積分塊202的輸出。因此，積分塊202的信號和ql分別通過積分塊202內(nèi)的至少一個積分器。多路復用器209包含控制求解過程進化的邏輯。多路復用器209接收求解過程第n個時間步長的輸出，并把輸入提供到求解過程第n+1個時間步長。圖3A為具有代數(shù)環(huán)的、用于模擬-動態(tài)系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)300的方框圖。系統(tǒng)300為圖2所示的更為普遍的多方程結(jié)構(gòu)的單方程形式。在圖3A中，使用方程塊301實現(xiàn)方程f(u)，其中u‾=q··,q·,q,ξ,t]]>(由于只有一個方程，故省略了q及其導數(shù)的下標)。在另一個表示法中，u＝ddQ/dt2，dQ/dt，Q，ξ，t。方程塊301的輸出被提供到多路復用器305的輸入以及積分器302的輸入。積分器302的輸出被提供到多路復用器305的輸入以及積分器303的輸入。積分器303的輸出q被提供到多路復用器305的q輸入。激發(fā)發(fā)生器304的激發(fā)φ被提供到多路復用器305的φ輸入?？刂瓢l(fā)生器306的控制信號u被提供到多路復用器305的u輸入。多路復用器的輸出總線被提供到方程塊301的輸入。非線性動態(tài)系統(tǒng)積分的計算時間顯著依賴于代數(shù)環(huán)的存在。當非線性部分的輸入直接依賴于非線性部分的輸出時，出現(xiàn)代數(shù)環(huán)。在非線性動態(tài)系統(tǒng)模擬的絕大部分情況下，如圖3B所示，代數(shù)環(huán)出現(xiàn)在與廣義坐標加速度相關(guān)的項。圖3B示出了對應于變量ddQ/dt2的代數(shù)環(huán)路徑320。變量ddQ/dt2為非線性動態(tài)函數(shù)f(u)的一個輸出，同時為函數(shù)f(u)的一個自變量。積分程序通常使用特殊的代數(shù)環(huán)求解程序，這不僅增加了模擬的自積分復雜度，還要求對方程(1)的右手部分進行附加計算。這些附加計算降低了模擬算法的計算速度。圖4示出了系統(tǒng)400，其中更高階的導數(shù)(例如加速度)并非被直接計算，而是用階數(shù)較低的導數(shù)(例如速度)來代替。圖4的系統(tǒng)400消除了代數(shù)環(huán)320。類似于圖3A所示的結(jié)構(gòu)，圖4示出了圖2所示的更為普遍的多方程結(jié)構(gòu)的單方程形式。在圖4中，使用方程塊301實現(xiàn)方程f(u)，其中u‾=q··,q·,q,ξ,t]]>(由于只有一個方程，故省略了q及其導數(shù)的下標)。方程塊301的輸出被提供到積分器402的輸入。積分器402的輸出被提供到微分器410的輸入、多路復用器305的輸入以及積分器302的輸入。積分器302的輸出被提供到積分器303的輸入。積分器303的輸出q被提供到多路復用器305的q輸入。微分器410的輸出被提供到多路復用器305的輸入。激發(fā)發(fā)生器304的激發(fā)φ被提供到多路復用器305的φ輸入?？刂瓢l(fā)生器306的控制信號u被提供到多路復用器305的u輸入。多路復用器的輸出總線被提供到方程塊301的輸入。系統(tǒng)400通過對方程塊301的輸出進行第一次積分產(chǎn)生來消除代數(shù)環(huán)。隨后使用微分器410再計算(重構(gòu))信號圖5示出了模擬圖3A及圖4中自由、受激及受控模擬的計算機運行時間，并示出了通過消除代數(shù)環(huán)而得到的改進。如圖5所示，當激發(fā)和控制輸入都為零(即自由系統(tǒng))時，系統(tǒng)400(沒有代數(shù)環(huán))的速度比系統(tǒng)300(有一個代數(shù)環(huán))快兩倍多。當對兩個系統(tǒng)都施加激發(fā)時(即受激系統(tǒng))，系統(tǒng)400的速度大約為系統(tǒng)300的3.4倍。當對兩個系統(tǒng)都施加非零控制輸入時(即受控系統(tǒng))，系統(tǒng)400的速度大約為系統(tǒng)300的2.7倍。圖6示出了一個具有一個代數(shù)環(huán)并包含激發(fā)輸入304和反饋控制系統(tǒng)602的動態(tài)模擬系統(tǒng)600的方框圖。在系統(tǒng)600中，使用方程塊301實現(xiàn)方程f(u)，其中u‾=q··,q·,q,ξ,t]]>(由于只有一個方程，故省略了q及其導數(shù)的下標)。方程塊301的輸出被提供到多路復用器305的輸入以及積分器302的輸入。積分器302的輸出被提供到多路復用器305的輸入以及積分器303的輸入。積分器303的輸出q被提供到多路復用器305的q輸入。激發(fā)發(fā)生器304的激發(fā)φ被提供到多路復用器305的φ輸入。控制系統(tǒng)602包含PID控制器612、加法器611、選擇器610、以及參考信號發(fā)生器609。PID控制器612的控制信號u被提供到多路復用器305的u輸入。多路復用器的輸出總線被提供到方程塊301的輸入以及選擇器610的輸入。選擇器610的輸出被提供到加法器611的反相輸入。參考信號發(fā)生器的參考信號輸出被提供到加法器611的同相輸入。加法器提供一個誤差信號(計算成參考信號減去選擇器610選擇的信號)到PID控制器612的輸入。使用選擇器610選擇多路復用器總線的一個信號作為將由反饋控制系統(tǒng)602使用的反饋信號。反饋控制系統(tǒng)計算誤差信號，并隨后將其提供到PID控制器612以產(chǎn)生控制信號u。圖7示出了動態(tài)模擬系統(tǒng)700的方框圖，該系統(tǒng)類似于消除代數(shù)環(huán)后的系統(tǒng)600。在系統(tǒng)700中，使用方程塊301實現(xiàn)方程f(u)，其中u‾=q··,q·,q,ξ,t]]>(由于只有一個方程，故省略了q及其導數(shù)的下標)。方程塊301的輸出被提供到積分器402的輸入。積分器402的輸出被提供到微分器410的輸入、多路復用器305的輸入、以及積分器302的輸入。積分器302的輸出被提供到積分器303的輸入。積分器303的輸出q被提供到多路復用器305的q輸入。微分器410的輸出被提供到多路復用器305的輸入。激發(fā)發(fā)生器304的激發(fā)φ被提供到多路復用器305的φ輸入。系統(tǒng)700還包含結(jié)合圖6所描述的反饋控制系統(tǒng)602。在一個實施例中，圖3A、3B、4、6和7所示的系統(tǒng)可以被用于模仿范德坡(VanderPol)動態(tài)系統(tǒng)，其中方程塊301實現(xiàn)形式如下的方程q··+(q2-1)q·+(1+ξ(t))q=u(t)+ξ(t)]]>其中q為坐標(例如，x、y或z坐標)，ξ(t)為隨機激發(fā)。控制信號u(t)由下式給出u(t)＝kPe+kD_+kI∫edt其中e為誤差信號，被計算成e＝q0-q，q0為設(shè)定值或參考信號。在一個模擬中，在自由振蕩(例如，ξ(t)＝0且u(t)＝0)的條件下，沒有代數(shù)環(huán)運行上述范德坡系統(tǒng)的速度比有一代數(shù)環(huán)時運行模擬的速度快約2.8倍。在一個模擬中，在參量激發(fā)(其中ξ(t)是帶限白噪聲，其平均值為0，離散為0.3)的受控振蕩(即，q0＝1.5且kP＝kD＝kI＝1)條件下，沒有代數(shù)環(huán)運行上述范德坡系統(tǒng)的速度比有一代數(shù)環(huán)時運行模擬的速度快約2.7倍。在一個實施例中，圖3A、3B、4、6和7所示的系統(tǒng)可以用于模仿一個具有非線性慣性力模擬的非線性動態(tài)系統(tǒng)，其中方程塊301實現(xiàn)形式如下的方程q··+a1q2q·+a2q3+a3q(qq··+q·2)+a4q·+(1+ξ(t))q=u(t)+ξ(t)]]>其中al，i＝1，...，4為模型參量。在一個模擬中，a1＝0.5，a2＝0.1，a3＝0.4，a4＝0.2。在自由振蕩的條件下，沒有代數(shù)環(huán)的模擬速度比具有代數(shù)環(huán)的快約4倍。在參量激發(fā)(平均值為0，離散為0.3)的自由振蕩下，沒有代數(shù)環(huán)的系統(tǒng)速度比有代數(shù)環(huán)的快約3.4倍。在具有參量激發(fā)的PID控制下，沒有代數(shù)環(huán)的模擬速度比有代數(shù)環(huán)的快約3.3倍。在一個實施例中，圖3A、3B、4、6和7所示的系統(tǒng)可以用于模仿一個具有非線性慣性力模擬的非線性動態(tài)系統(tǒng)，其中方程塊301實現(xiàn)如圖8所示的汽車懸架系統(tǒng)的方程。圖8示出了汽車車身810，其中給出了車身810相對于車輪801至804以及懸架系統(tǒng)的坐標。假設(shè)整體參考坐標xr、yr、zr{r}位于汽車車身710的幾何中心Pr。描述懸架及其部件的局部坐標的變換矩陣如下{2}是以汽車車身710的重心為原點的局部坐標；{7}是以懸架的重心為原點的局部坐標；(10n)是以第n個臂的重心為原點的局部坐標；(12n)是以第n個車輪的重心為原點的局部坐標；{13n}是以第n個車輪相對于路面的接觸點為原點的局部坐標；以及{14}是以穩(wěn)定器的連接點為原點的局部坐標。注意，在下述的推導中，車輪802、801、804和803分別使用編號“i”、“ii”、“iii”和“iv”。已經(jīng)指出，“n”為一系數(shù)，其表示分別在左前、右前、左后和右后的例如i、ii、iii及iv的車輪位置。使用下述沿向量(0，0，z0)移動坐標{r}的轉(zhuǎn)換矩陣來表達局部坐標系x0、y0和z0{0}T0r=10000100001z00001]]>向量{r}繞yr旋轉(zhuǎn)β角，得到具有變換矩陣0c0T的局部坐標系x0c、y0c、z0c{Or}T0c0=cosβ0sinβ00100-sinβ0cosβ00001---(2.1)]]>通過向量(a1n，0，0)轉(zhuǎn)移{Or}，得到變換矩陣0f0rT如下的局部坐標系x0f、y0f、z0f(Of}T0n0c=100a1n010000100001---(2.2)]]>重復上述過程以創(chuàng)建具有如下變換矩陣的其他局部坐標系。T1n0n=10000cosα-sinα00sinαcosα00001---(2.3)]]>T21i=100a0010b0001c00001---(2.4)]]>車輪坐標(指數(shù)ni用于左前輪，ii用于右前輪，等等)的產(chǎn)生如下。通過向量(0，b2n，0)轉(zhuǎn)移{1n}，得到具有變換矩陣3n1fT的局部坐標系x3n、y3n、z3n{3n}T3n1n=1000010b2n00100001---(2.5)]]>T4n3n=10000cosγn-sinγn00sinγncosγn00001---(2.6)]]>T5n4n=10000100001c1n0001---(2.7)]]>T6n5n=10000cosηn-sinηn00sinηncosηn00001---(2.8)]]>T7n6n=10000100001z6n0001---(2.9)]]>T8n4n=10000100001c2n0001---(2.10)]]>T9n8n=10000cosθn-sinθn00sinθncosθn00001---(2.11)]]>T10n9n=1000010e1n00100001---(2.12)]]>T11n9n=1000010e3n00100001---(2.13)]]>T12n11n=10000cosζn-sinζn00sinζncosζn00001---(2.14)]]>T13n12n=10000100001z12n0001---(2.15)]]>T14n9n=1000010e0n00100001---(2.16)]]>部分矩陣被分開匯編(subassemble)以使計算更為簡化。T1nr=T0rT0n0cT1n0n]]>=10000100001z00001cosβ0sinβ00100-sinβ0cosβ00001100a1n01000010000110000cosα-sinα00sinαcosα00001]]>=cosβ0sinβa1ncosβ0100-sinβ0cosβz0-a1sinβ000110000cosα-sinα00sinαcosα00001]]>=cosβsinβsinαsinβcosαa1ncosβ0cosα-sinα0-sinβcosβsinαcosβcosαz0-a1nsinβ0001---(2.17)]]>T4nr=T1nrT3n1nT4n3n]]>=cosβsinβsinαsinβsinαa1ncosβ0cosα-sinα0-sinβcosβsinαcosβcosαz0-a1nsinβ00011000010b2n00100001.]]>10000cosγn-sinγn00sinγncosγn00001]]>=cosβsinβsin(α+γn)sinβcos(α+γn)b2nsinβsinα+a1ncosβ0cos(α+γn)-sin(α+γn)b2ncosα-sinβcosβsin(α+γn)cosβcos(α+γn)z0-b2ncosβsinα-a1nsinβ0001---(2.18)]]>T7n4n=T5n4nT6n5nT7n6n]]>=10000100001c1n000110000cosηn-sinηn00sinηncosηn0000110000100001z6n0001]]>=10000cosηn-sinηn00sinηncosηnc1n000110000100001z6n0001]]>=10000cosηn-sinηn-z6nsinηn0sinηncosηnc1n+z6ncosηn0001---(2.19)]]>T10n4n=T8n4nT9n8nT10n9n]]>=10000100001c2n000110000cosθn-sinθn00sinθncosθn000011000010e1n00100001]]>=10000cosθn-sinθn00sinθncosθnc2n00011000010e1n00100001]]>=10000cosθn-sinθne1ncosθn0sinθncosθnc2n+e1nsinθn0001---(2.20)]]>T12n4n=T8n4nT9n8nT11n9nT12n11n]]>=10000100001c2n000110000cosθn-sinθn00sinθncosθn000011000010e3n0010000110000cosζn-sinζn00sinζncosζn00001]]>=10000cosθn-sinθn00sinθncosθnc2n00011000010e3n0010000110000cosζn-sinζn00sinζncosζn00001]]>=10000cosθn-sinθne3ncosθn0sinθncosθnc2n+e3nsinθn000110000cosζn-sinζn00sinζncosζn00001]]>=10000cos(θn+ζn)-sin(θn+ζn)e3ncosθn0sin(θn+ζn)cos(θn+ζn)c2n+e3nsinθn0001---(2.21)]]>模型的零件既在局部坐標系中描述，又在參考汽車車身710的相關(guān)坐標{r}或{1n}中描述。在局部坐標系中Pbody2=Psusp.n7n=Parm.n10n=Pwheel.n12n=Ptouchpoint.n13N=Pstab.n14n=0001---(2.22)]]>在整體參考坐標系{r}中Pbodyr=T1irTPbody221i]]>=cosβsinβsinαsinβcosαa1icosβ0cosα-sinα0-sinβcosβsinαcosβcosαz0-a1isinβ0001100a0010b0001c000010001]]>=a0cosβ+b0sinβsinα+c0sinβcosα+a1icosβb0cosα-c0sinα-a0sinβ+b0cosβsinα+c0cosβcosα-a1isinβ1---(2.23)]]>Psuspnr=T4nrTPsuspn7n7n4n]]>=cosβsinβsin(α+γn)sinβcos(α+γn)b2nsinβsinα+a1ncosβ0cos(α+γn)-sin(α+γn)b2ncosα-sinβcosβsin(α+γn)cosβcos(α+γn)z0+b2ncosβsinα-a1nsinβ0001.]]>10000cosηn-sinηn-z6nsinηn0sinηncosηnc1n+z6ncosηn00010001]]>={z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ+a1ncosβ-z6nsin(α+γn+ηn)-c1nsin(α+γn)+b2ncosα{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ1---(2.24)]]>Parmnr=T4nrTParmn0n10n4n]]>=cosβsinβsin(α+γn)sinβcos(α+γn)b2nsinβsinα+a1ncosβ0cos(α+γn)-sinα+γnb2ncosα-sinβcosβsin(α+γn)cosβcos(α+γn)z0+b2ncosβsinα-a1nsinβ0001.]]>10000cosθn-sinθne3ncosθn0sinθncosθnc2n+e1nsinθn00010001]]>={e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ+a1ncosβe1ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ1---(2.25)]]>Pwheel.nr=T4nrTPwheel.n12n12n4n]]>=cosβsinβsin(α+γn)sinβcos(α+γn)b2nsinβsinα+a1ncosβ0cos(α+γn)-sin(α+γn)b2ncosα-sinβcosβsin(α+γn)cosβcos(α+γn)b2ncosβsinα-a1nsinβ0001]]>10000cos(θn+ζn)-sin(θn+ζn)e3ncosθn0sin(θn+ζn)cos(θn+ζn)c2n+e3nsinθn00010001]]>{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ+a1ncosβe3ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosαz0+{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ1---(2.26)]]>Ptouchpoint.nr=T4nrT12n4nTP13n12ntouchpoint.n13n]]>=cosβsinβsin(α+γn)sinβcos(α+γn)b2nsinβsinα+a1ncosβ0cos(α+γn)-sin(α+γn)b2ncosα-sinβcosβsin(α+γn)cosβcos(α+γn)z0+b2ncosβsinα-a1nsinβ0001]]>10000cos(θn+ζn)-sin(θn+ζn)e3ncosθn0sin(θn+ζn)cos(θn+ζn)c2n+e3nsinθn000110000100001z12n00010001]]>={z12ncosα+e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ+a1ncosβ-z12nsinα+e3ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosαz0+{z12ncosα+e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ1---(2.27)]]>其中ζn替換為ξn＝-γn-θn，因為支撐車輪的連接機構(gòu)就是按此幾何關(guān)系進行的。穩(wěn)定器的連接點位于局部坐標系{1n}內(nèi)。該穩(wěn)定器充當彈簧的作用，其中力與固定在車身710上的兩個臂在局部坐標系{1n}中的位移之差成比例。Pstab.n1n=T3n1nT4n3nT8n4nT9n8nTPstab.n14n14n9n]]>=1000010b2n0010000110000cosγn-sinγn00sinγncosγn0000110000100001c2n0001]]>10000cosθn-sinθn00sinθncosθn000011000010e0n001000010001---(2.28)]]>=0e0ncos(γn+θn)-c2nsinγn+b2ne0nsin(γn+θn)+c2ncosγn0]]><車身>、<懸架>、<臂>、<車輪>和<穩(wěn)定器>的動能、勢能及耗散函數(shù)的推導如下。除了由彈簧所致之外的動能和勢能的計算是以慣性整體坐標{r}的位移為基礎(chǔ)的。由彈簧引起的勢能以及耗散函數(shù)的計算是以各個局部坐標內(nèi)的運動為基礎(chǔ)的。<車身>Tbtr=12mb(x·b2+y·b2+z·b2)---(2.29)]]>其中，xb＝(a0+a1n)cosβ+(b0sinα+c0cosα)sinβyb＝b0cosα-c0sinα(2.30)zb＝z0-(a0+a1n)sinβ+(b0sinα+c0cosα)cosβ以及qj，k＝β，α，z0∂xb∂β=-(a0+a1n)sinβ+(b0sinα+c0cosα)cosβ]]>∂xb∂α=(b0cosα-c0sinα)sinβ]]>∂yb∂β=∂xb∂z0=∂yb∂z0=0]]>∂yb∂α=-b0sinα-c0cosα---(2.31)]]>∂zb∂β=-(a0+a1n)cosβ-(b0sinα+c0cosα)sinβ]]>∂zb∂α=(b0cosα-c0sinα)cosβ]]>∂zb∂z0=1]]>因此，Tbtr=12mb(x·b2+y·b2+z·b2)]]>=12mbΣj,k(∂xb∂qj∂xb∂qkq·jq·k+∂yb∂qj∂yb∂qkq·jq·k+∂zb∂qj∂zb∂qkq·jq·k)]]>=12mb⟨β·2{-(a0+a1)sinβ+(b0sinα+c0cosα)cosβ}2]]>+α·2{(b0cosα-c0sinα)sinβ}2]]>+α·2(-b0sinα-c0cosα)2]]>+β·2{-(a0+a1)cosβ-(b0sinα+c0cosα)sinβ}2+α·2{(b0cosα-c0sinα)cosβ}2]]>z·02]]>+2α·β·[{-(a0+a1)sinβ+(b0sinα+c0cosα)cosβ}(b0cosα-c0sinα)sinβ]]>+{-(a0+a1)cosβ-(b0sinα+c0cosα)sinβ}(b0cosα-c0sinα)cosβ]]]>-2β·z·0{(a0+a1n)cosβ+(b0sinα-c0cosα)sinβ}]]>+2α·z·0(b0cosα-c0sinα)cosβ⟩]]>=12mb⟨α·2(b02+c02)+β·2{(a0+a1i)2+(b0sinα+c0cosα)2}+z·02]]>-2α·β·(a0+a1i)(b0cosα-c0sinα)]]>-2β·z·0{(a0+a1i)cosβ+(b0sinα-c0cosα)sinβ]]>+2α·z·0(b0cosα-c0sinα)cosβ⟩---(2.32)]]>Tbr0=12(Ibxωbx2+Ibyωby2+Ibzωbz2)]]>其中ωbx=α·]]>ωby=β·]]>ωbz=γ·]]>因此Tbt0=12(Ibxα·2+Ibyβ·2)]]>Ub＝Mbgzb＝mbg{-(a0+a1n)sinβ+(b0sinα+c0cosα)cosβ}(2.33)<懸架>Tsntr=12msn(x·sn2+y·sn2+z·sn2)]]>其中，xsn＝{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ+a1ncosβysn＝-z6nsin(α+γn+ηn)-c1nsin(α+γn)+b2ncosαzsn＝z0+{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ(2.34)qj，k＝z6n，ηn，α，β，z0∂xsn∂z6n=cos(α+γn+ηn)sinβ]]>∂xsn∂ηn=-z6nsin(α+γn+ηn)sinβ]]>∂xsn∂α={-z6nsin(α+γn+ηn)-c1nsin(α+γn)+b2ncosα}sinβ]]>∂xsn∂β={z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ]]>∂ysn∂z6n=-sin(α+γn+ηn)]]>∂ysn∂ηn=-z6ncos(α+γn+ηn)]]>∂ysn∂α=-z6ncos(α+γn+ηn)-c1ncos(α+γn)-b2nsinα]]>∂ysn∂β=∂xsn∂z0=∂ysn∂z0=0]]>∂zsn∂z0=1---(2.35)]]>∂zsn∂z6n=cos(α+γn+ηn)cosβ]]>∂zsn∂ηn=-z6nsin(α+γn+ηn)cosβ]]>∂zsn∂α={-z6nsin(α+γn+ηn)-c1nsin(α+γn)+b2ncosα}cosβ]]>∂zsn∂β=-{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ-α1ncosβ---(2.36)]]>所以，Tsntr=12msn(x·sn2+y·sn2+z·sn2)]]>=12msnΣj,k(∂xsn∂qj∂xsn∂qkq·jq·k+∂ysn∂qj∂ysn∂qkq·jq·k+∂zsn∂qj∂zsn∂qkq·jq·k)---(2.37)]]>=12msn<z·6n2+η·n2z6n2+α·2[z6n2+c1n2+b2n2]]>+2{z6nc1ncosηn-z6nb2nsin(γn+ηn)-c1nb2nsinγn}]]]>+β·2[{(z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα)}2+a1n2]+z·02]]>+2z·6nα·{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}]]>-2z·6nβ·a1ncos(α+γn+ηn)]]>+2η·nα·z6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+2η·nβ·z6nα1nsin(α+γn+ηn)]]>+2α·β·a1n{z6nsin(α+γn+ηn)+c1nsin(α+γn)-b2ncosα}]]>+2z·6nz·0cos(α+γn+ηn)cosβ]]>-2η·nz·0z6nsin(α+γn+ηn)cosβ]]>+2α·z·0{z6nsin(α+γn+ηn)-c1nsin(α+γn)+b2ncosα}cosβ]]>+2β·z·0[{z6ncos(α+γn+ηn)+c1nsin(α+γn)+b2ncosα}sinβ+α1ncosβ]>---(2.38)]]>Tsnr0≅0]]>Usn=msngzsn+12ksn(z6n-lsn)2]]>=msng[z0+{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)]]>+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ]+12ksn(z6n-lsn)2]]>Fsn=-12csnz·6n2---(2.39)]]><臂>Tantr=12man(x·an2+y·an2+z·an2)---(2.40)]]>其中，xan＝{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ+a1ncosβyan＝e1ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosαzan＝z0+{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ(2.41)以及qj，k＝θn，α，β，z0∂xan∂θn=e1ncos(α+γn+θn)sinβ]]>∂xan∂α={e1ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}sinβ]]>∂xan∂β={e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ]]>∂yan∂θn=-e1nsin(α+γn+θn)]]>∂yan∂α=-e1nsin(α+γn+θn)-c2ncos(α+γn)-b2nsinα]]>∂yan∂β=∂xan∂z0=∂yan∂z0=0]]>∂zan∂θn=e1ncos(α+γn+θn)cosβ]]>∂zan∂α={e1ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}cosβ]]>∂zan∂β=-{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ-a1ncosβ]]>∂zan∂z0=1---(2.42)]]>因此，Tantr=12man(x·an2+y·an2+z·an2)]]>=12manΣj,k(∂xan∂qj∂xan∂qkq·jq·k+∂yan∂qj∂yan∂qkq·jq·k+∂zan∂qj∂zan∂qkq·jq·k)---(2.43)]]>=12man<θ·n2e1n2+α·2[e1n2+c2n2+b2n2-2{e1nc2nsinθn+e1nb2ncos(γn+θn)+c2nb2nsinγn}]]]>+β·2[{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2+a1n2]+z·02]]>+2θ·α·e1n{e1n-c2nsinθn+b2ncos(γn+θm)}]]>-θ·nβ·e1na1ncos(β+γn+θn)-2α·β·a1n{e1ncos(α+γn+θn)-c1nsin(α+γn)+b2ncosα}]]>-2θ·nz·0e1ncos(α+γn+θn)cosβ]]>+2α·z·0{e1ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}cosβ]]>+2β·z·0[{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ+α1ncosβ]>---(2.44)]]>Tanro=12Iaxωax2]]>=12Iax(α·+θ·n)2]]>Uan＝mangzan＝mang[z0+{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ](2.45)<車輪>Twntr=12mwn(x·wn2+y·wn2+z·wn2)---(2.46)]]>其中，xwn＝{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ+a1ncosβywn＝e3ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosαzwn＝z0+{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ(2.47)把臂的方程中的man替換成mwn，e1n替換成e3n，得到車輪的方程如下Twntr=12mwn<θ·n2e3n2+α·2[e3n2+c2n2+b2n2-2{e3nc2n·sinθn+e3nb2ncos(γn+θn)]]>+c2nb2nsinγn}]]]>+β·2[{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2+α1n2]+z·02]]>+2θ·α·e3n{e3n-c2nsinθn+b2ncos(γn+θn)}]]>-2θ·nβ·e3na1ncos(α+γn+θn)-2α·β·a1n{e3ncos(α+γn+θn)]]>-c1nsin(α+γn)+b2ncosα}]]>+2θ·nz·0e3ncos(α+γn+θn)cosβ]]>+2α·z·0{e3ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}cosβ]]>-2β·z·0[{e3nsin(α+γn+θn)+c2nsin(α+γn)+b2nsinα}sinβ+α1ncosβ]>---(2.48)]]>Twnro=0]]>Uwn=mwngzwn+12kwn(z12n-lwn)2]]>=mwng[z0+{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)]]>+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ]+12kwn(z12n-lwn)2]]>Fwn=-12cwnz·12n2---(2.49)]]><穩(wěn)定器>Tzntr≅0---(2.50)]]>Tznr0≅0---(2.51)]]>Uzi,ii≅12kzi(zzi-zzii)2]]>=12kzi[{e0isin(γ1+θi)+c2icosγi}-{e0iisin(γii+θii)+c2iicosγii}]2]]>=12kzie0i2{sin(γi+θi)+sin(γii+θii)}2]]>其中e0ii＝-e0i，c2ii＝c2i，γii＝-γiUziii,iv≅12kziii(zziii-zziv)2]]>=12kziii[{e0iiisin(γiii+θiii)+c2iiicosγiii}-{e0ivsin(γiv-θiv)+c2ivcosγiv}]2]]>=12kziiie0iii2{sin(γiii+θiii)+sin(γiv+θiiv)}2]]>其中e0ii＝-e0iii，c2iv＝c2iii，γiv＝-γiii(2.52)Fzn≅0---(2.53)]]>因此總動能為Ttot=Tbtr+Σn=iiv|Tsntr+Tantr+Twntr+Tbr0+Tanr0|---(2.54)]]>Ttot=Tbtr+Σn=iiv|Tsntr+Tnntr+Twntr+Tbro+Tanro|]]>=12mb<α·2(b02+c02)+β·2{(a0+a1i)2+(b0sinα+c0cosα)2}+z·02]]>-2α·β·(a0+a1i)(b0cosα-c0sinα)]]>-2β·z·0{(a0+a1i)cosβ+(b0sinα+c0cosα)sinβ}]]>+2a·z·0(b0cosα-c0sinα)cosβ>]]>+Σn=iiv|12msn<z·6n2+η·n2z6n2]]>+α·2[z6n2+c1n2+b2n2+2{z6nc1ncosηn-z6nb2nsin(γn+ηn)]]>-c1nb2nsinγn}]]]>+β·2[{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}2+a1n2]+z·02]]>+2z·6nα·{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}]]>-2z·6nβ·a1ncos(α+γn+ηn)]]>+2η·nα·z6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+2η·nβ·z6na1nsin(α+γn+ηn)]]>+2α·β·a1n{z6nsin(α+γn+ηn)+c1nsin(α+γn)-b2ncosα}]]>+2z·6nz·0cos(α+γn+ηn)cosβ]]>-2η·nz·0z6nsin(α+γn+ηn)cosβ]]>+2α·z·0{-z6nsin(α+γn+ηn)-c1nsin(α+γn)+b2ncosα}cosβ]]>-2β·z·0[{z6ncos(α+γn+ηn)-c1ncos(α+γn)+b2nsinα}+a1ncosβ]>]]>+12man<θ·n2e1n2+α·2[e1n2+c2n2+b2n2-2{e1nc2nsinθn]]>e1nb2ncos(γn+θn)+c2nb2nsinγn}]]]>+β·2[{e1nsin(α+γn+θn)+c2n·cos(α+γn)+b2nsinα}2+a1n2]+z·02]]>+2θ·α·e1n{e1n-c2nsinθn+b2ncos(γn+θn)}]]>-2θ·nβ·e1na1ncos(α+γn+θn)-2α·β·a1n{e1ncos(α+γn+θn)]]>-c1nsin(α+γn)+b21cosα}]]>+2θ·nz·0e1ncos(α+γn+θn)cosβ]]>+2α·z·0{e1ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}cosβ]]>-2β·z·0[{e1nsin(β+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}+a1ncosβ>---(2.55)]]>+12mwn<θ·n2e3n2+α·2[e3n2+c2n2+b2n2-2{e3nc2nsinθn]]>-e3nb2ncos(γn+θn)+c2nb2nsinγn}]]]>+β·2[{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2+a1n2]+z·02]]>+2θ·α·e3n{e3n-c2nsinθn+b2ncos(γn+θn)}]]>-2θ·nβ·e3na1ncos(α+γn+θn)-2α·β·a1n{e3ncos(α+γn+θn)]]>-c1nsin(α+γn)+b2ncosα}]]>+2θ·nz·0e3ncos(α+γn+ηn)cosβ]]>+2α·z·0{e3ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}cosβ]]>-2β·z·0[{e3nsin(α+γn+θn)-c2ncos(α+γn)+b2nsinα}+a1ncosβ>]]>+12(Ibxα·2+Ibyβ·2)+12Ianx(α·+θ·n)2|]]>=12[α·2mbbI+β·2{mbaI+mb(b0sinα+c0cosα)2}+z·02mb]]>-2α·(β·mba-z·0mbcosβ)(b0cosα-c0sinα)]]>-2β·z·0{mbacosβ+mb(b0sinα+c0cosα)sinβ}]]]>+12Σn=iiv|msn(z·6n2+η·n2z6n2)+θ·n2mmv2In+z·02msawn]]>+α·2<msawIn+msnz6n[z6n+2msn{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]]>-2mawIn{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}>]]>+β·2<msaw2n+msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}2]]>+man{e1sin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2]]>+mwn{e3sin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2>]]>+2z·6nα·msn{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}]]>-2z·6nβ·ma1ncos(α+γn+ηn)]]>+2η·nα·msnz6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+2η·nβ·msnz6na1nsin(α+γn+ηn)]]>+2θ·α·[maw2In-maw1n{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}]]]>-2θ·β·maw1na1ncos(α+γn+θn)]]>+2α·β·a1n{msawcnsin(α+γn)-msawbncosα+msnz6nsin(α+γn+ηn)-maw1ncos(α+γn+θn)}]]>+2z·6nz·0msncos(α+γn+ηn)cosβ]]>-2(α·+η·n)z·0z6nmsnsin(α+γn+ηn)cosβ]]>+2θ·nz·0maw1ncos(α+γn+θn)cosβ]]>+2α·z·0{maw1nsin(α+γn+θn)-msawcnsin(α+γn)+msawbncosα}cosβ]]>-2β·z·0[{z6nmsncos(α+γn+ηn)-maw1nsin(α+γn)+msawcncos(α+γn)+msawbnsinα}sinβ]]>+msawancosβ]>|---(2.56)]]>其中，mba＝mb(a0+a1i)mbbI=mb(b02+c02)+Iba]]>mbaI＝mb(a0+a1i)2+Ibymsawn＝msn+man+mwnmsawan＝(msn+man+mwn)a1nmsawbn＝(msn+man+mwn)b2nmsawcn＝msnc1n+(man+mwn)c2nmsaw2n=(msn+man+mwn)a1n2]]>msawIn=mane1n2+mwne3n2+msn(c1n2+b2n2-2c1nb2nsinγn)]]>+(man+mwn)(c2n2+b2n2-2c2nb2nsinγn)+Iaxn]]>maw2In=mane1n2+mwne3n2+Iaxn]]>maw1n＝mane1n+mwne3nmaw2n=mane1n2+mwne3n2---(2.57)]]>從此以后，帶有編號“n”的變量和系數(shù)無疑地或明確地暗示其需要對n＝i、ii、iii和iv求和?？倓菽転閁tot=Ub+Σn=iiv|Usn+Uan+Uwn+Uzn|---(2.58)]]>=mbg{z0-(a0+a1n)sinβ÷(b0sinα+c0cosα)cosβ}]]>+Σn=iiv|msng[z0+{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ]+12ksn(z6n-lsn)2]]>+mang[z0+{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ]]]>+mwng[z0+{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-a1nsinβ]+12kwm(z12n-lwm)2|]]>+12kzieoi2{sin(γi+θi)+sin(γii+θii)}2+12kxiiieoiii2{sin(γiii+θiii)+sin(γiv+θiv)}2---(2.59)]]>=g{z0mb-mbnsinβ+mb(b0sinα+c0cosα)cosβ}]]>+Σn=iiv<g[{z0msawn+msnz6ncos(α+γn+ηn)+mmv1nsin(α+γn+θn)+msawcncos(α+γn)]]>+msawbnsinα}cosβ]]>-msawansinβ]+12ksn(z6n-lsn)2+12kwn(z12n-lwn)2>]]>+12kzie0i2{sin(γi+θi)+sin(γii+θii)}2]]>+12kziiieoiii2{sin(γiii+θiii)+sin(γiv+θiv)}2---(2.60)]]>其中，mba＝mb(a0+a1i)msawan＝(msn+man+mwn)a1nmsawbn＝(msn+man+mwn)b2nmsawcn＝msnc1n+(man+mwn)c2nγii＝-γi(2.61)拉格朗日算符(Lagrangian)寫成L=Ttot-Utot]]>=12[α·2mbbI+β·2{mbaI+mb(b0sinα+c0cosα)2}+z·02mb]]>-(2α·β·mba-z·0mbcosβ)(b0cosα-c0sinα)]]]>-2β·z·0{mbncosβ+mb(b0sinα+c0cosα)sinβ}]]]>+12Σn=iiv|msn(z·6n2+η·n2z6n2)+θ·n2maw2In+z·02msawn]]>+α·2⟨msawIn+msnz6n[z6n+2{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]-]]>2maw1n{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}⟩]]>+β·2⟨msaw2n+msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}2]]>+man{e1sin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2]]>+mwn{e3sin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2⟩]]>+2z·6nα·msn{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}]]>-2z·6nβ·msna1ncos(α+γn+ηn)+2η·nα·msnz6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+2η·nβ·msnz6na1nsin(α+γn+ηn)+2θ·α·[maw2In-maw1n{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}]]]>-2θ·β·maw1na1ncos(α+γn+θn)+2α·β·a1n{msawcnsin(α+γn)-msawbncosα]]>+msnz6nsin(α+γn+ηn)-maw1ncos(α+γn+θn)}]]>+2z·0{z·6nmsncos(α+γn+ηn)+(α·+θ·n}maw1ncos(α+γn+θn)]]>-(α·+η·n)z6nmsnsin(α+γn+ηn)-α·msawcnsin(α+γn)+α·msawbncosα-β·msawcn}cos]]>-2β·z·0[{z6nmsncos(α+γn+ηn)-maw1nsin(α+γn+θn)+msawcncos(α+γn)]]>+msawbnsinα}sinβ}|]]>-g{z0mb-mbasinβ+mb(b0sinα+c0cosα)cosβ}]]>-12kzieoi2{sin(γi+θi)+sin(γii+θii)}2-12kziiieoiii2{sin(γiii+θiii)+sin(γiv+θiv)}2]]>-Σn=iiv⟨g[z0msawn+{msnz6ncos(α+γn+ηn)+maw1nsin(α+γn+θn)]]>+msawcncos(α+γn)+msawbnsinα}cosβ]]>-msawansinβ]+12ksn(z6n-lsn)2+12kwn(z12n-lwn)2---(2.62)]]>∂L∂z0=-g(mb+msawn)]]>∂L∂z·0=z·0mb+α·mbcosβ(b0cosα-c0sinα)-β·{mbacosβ]]>+mb(b0sinα+c0cosα)sinβ}+z·0msawn]]>+{z6nmsncos(α+γn+ηn)+(α·+θ·n)maw1ncos(α+γn+θn)]]>-(α·+η·n)z6nmsnsin(α+γn+θn)-α·msawcnsin(α+γn)+α·msawbncosα-β·msawan}cosβ]]>-β·{maw1nsin(α+γn+θn)-z6nmsncos(α+γn+ηn)+msawcncos(α+γn)+]]>+msawbnsinα}sinβ]]>ddt(∂L∂z·0)=z··0(mb+msawn)+α··mb(b0cosα-c0sinα)-β·α·mbsinβ(b0cosα-c0sinα)]]>+α·2mbcosβ(b0sinα+c0cosα)]]>-β··{mbncosβ+mb(b0sinα+c0cosα)sinβ}]]>+β·{β·mbnsinβ+α·mb(b0cosα-c0sinα)sinβ]]>+β·mb(b0sinα+c0cpsα)cosβ}]]>+{z··6nmsncos(α+γn+ηn)-(α·+η·n)z·6nmsnsin(α+γn+ηn)}]]>-(α··+η··n)z6nmsnsin(α+γn+ηn)-(α·+η·n)z·6nmsnsin(α+γn+ηn)]]>-(α·+η·n)2z6nmsncos(α+γn+ηn)]]>-α··msawcnsin(α+γn)-α·2msawcnsin(α+γn)]]>+α··msawbncosα-α·2msawbnsinα-β··msawan}cosβ]]>-β·{z·6nmsncos(α+γn+ηn)-(α·+θ·n)maw1ncos(α+γn+θn)]]>-(α·+η·n)z6nmsnsin(α+γn+ηn)]]>-α·msawcnsin(α+γn)-α·msawbncosα-β·msawan}sinβ]]>-β··{maw1nsin(α+γn+θn)+z6nmsncos(α+γn+ηn)+mawcncos(α+γn)]]>+msawbnsinα}sinβ]]>-β·{(α·+θ·n)maw1ncos(α+γn+θn)+z6nmsncos(α+γn+ηn)]]>-(α·+η·n)z6nmsnsin(α+γn+ηn)]]>-α·msawcnsin(α+γn)+α·msawbncosα}sinβ]]>-β·2{maw1nsin(α+γn+θn)-z6nmsncos(α+γn+ηn)+msawcncos(α+γn)+]]>+msawbnsinα}cosβ]]>∂L∂β=-α·z·0mbsinβ(b0cosα-c0sinα)+β·z·0{mbasinβ-mb(b0sinα-c0cosα)cosβ})]]>g{mbacosβ+mb(b0sinα+c0cosα)sinβ}]]>+⟨g[{msnz6ncos(α+γn+ηn)+maw1nsin(α+γn+θn)]]>+msawcncos(α+γn)+msawbnsinα}sinβ+msawancosβ]]]>-z·0{z·6nmsncos(α+γn+ηn)+(α·+θ·n)maw1ncos(α+γn+θn)]]>-(α·+η·n)z6nmsnsin(α+γn+ηn)-α·msawcnsin(α+γn)]]>+α·msawbncosα-β·msawan}sinβ]]>+β·z·0{maw1nsin(α+γn+θn)+z6nmsncos(α+γn+ηn)---(2.63)]]>+msawcncos(α+γn)+msawbnsinα}cosβ⟩]]>∂L∂α={β·2mb(b0cosα-c0sinα)+α·β·mba}(b0sinα+c0cosα)]]>-α·z·0mbcosβ(b0sinα+c0cosα)-β·z·0mb(b0cosα-c0sinα)sinβ]]>+|β·2⟨msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)]]>+b2nsinα}{-z6nsin(α+γn+ηn)-c1nsin(α+γn)+b2ncosα}]]>+man{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γ)]]>+b2nsinα}{e1cos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}]]>+mwn{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)]]>+b2nsinα}{e3cos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}⟩]]>+z·6nβ·msna1nsin(α+γn+ηn)+η·nβ·msnz6na1ncos(α+γn+ηn)+θ·β·maw1na1nsin(α+γn+θn)]]>+α·β·a1n{m·sawcncos(α+γn)+msawbnsinα+msnz6ncos(α+γn+ηn)+maw1nsin(α+γn+θn)}]]>-z·0(z·6nmsnsin(α+γn+ηn)+(α·+θ·n)maw1nsin(α+γn+θn)]]>+(α·+η·n)z6nmsncos(α+γn+ηn)+α·msawcncos(α+γn)+α·msawbnsinα}cosβ]]>-β·z·0[{maw1ncos(α+γn+θn)-z6nmsnsin(α+γn+ηn)-msawcnsin(α+γn)+msawbncosα}sinβ|]]>-gmb(b0cosα-c0sinα)cosβ]]>+g{msnz6nsin(α+γn+ηn)-maw1ncos(α+γn+θn)]]>+msawcnsin(α+γn)-msawbncosα}cosβ---(2.64)]]>∂L∂ηn=α·2msnz6n{-c1nsinηn-b2ncos(γn+ηn)}]]>+β·2msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}{-z6nsin(α+γn+ηn)}]]>+z·6nα·msn{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}+z·6nβ·msna1nsin(α+γn+ηn)]]>-η·nα·msnz6n{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}+η·nβ·msnz6na1ncos(α+γn+ηn)]]>+α·β·a1nmsnz6ncos(α+γn+ηn)+gmsnz6nsin(α+γn+ηn)cosβ]]>-z·0{z·6nmsnsin(α+γn+ηn)+(α·+η·n)z6nmsncos(α+γn+ηn)}cosβ]]>+β·z·0z6nmsnsin(α+γn+ηn)sinβ---(2.65)]]>∂L∂θn=-kzieoi2{sin(γi+θi)+sin(γii+θii)}{cos(γi+θi)+cos(γii+θii)}]]>-kziiieoiii2{sin(γiii+θiii)+sin(γiv+θiv)}{cos(γiii+θiii)+cos(γiv+θiv)}]]>-α·2maw1n{c2ncosθn+b2nsin(γn+θn)}]]>+β·2⟨man{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}e1ncos(α+γn+θn)]]>+mwn{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}e3ncos(α+γn+θn)⟩]]>-θ·α·maw1n{c2ncosθn+b2nsin(γn+θn)}+θ·β·maw1na1nsin(α+γn+θn)]]>+α·β·a1nmaw1nsin(α+γn+θn)-gmaw1ncos(α+γn+θn)cosβ]]>-z·0(α·+β·n)maw1nsin(α+γn+θn)cosβ]]>-β·z·0maw1ncos(α+γn+θn)sinβ---(2.66)]]>∂L∂z6n=msnη·n2z6n+α·2msn[z6n+{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]]>+β·2msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}cos(α+γn+ηn)]]>+η·nα·msn{2z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}+η·nβ·msna1nsin(α+γn+ηn)]]>+α·β·a1nmsnsin(α+γn+ηn)-gmsncos(α+γn+ηn)cosβ-ksn(z6n-lsn)]]>-(α·+η·n)z·0msnsin(α+γn+ηn)cosβ]]>-β·z·0msncos(α+γn+ηn)sinβ---(2.67)]]>∂L∂z12n=-kwn(z12n-lwn)---(2.68)]]>∂L∂β·=β·⟨msaw2n+mbaI+mb(b0sinα+c0cosα)2]]>+msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(β+γn)+b2nsinα}2]]>+man{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2]]>+mwn{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2⟩]]>-α·mba(b0cosα-c0sinα)]]>-z·6nmsna1ncos(α+γn+ηn)]]>+η·nmsnz6na1nsin(α+γn+ηn)]]>-θ·maw1na1ncos(α+γn+θn)]]>+α·a1n{msawcnsin(α+γn)-msawbn·cosα+msnz6nsin(α+γn+ηn)-maw1ncos(α+γn+θn)}]]>-z·0[{mbb0sinα+c0cosα)+maw1nsin(α+γn+ηn)+z6nmsncos(α+γn+ηn)]]>+msawcncos(α+γn)+msawbnsinα}sinβ+(mba+msawcn)cosβ---(2.69)]]>ddt(∂L∂β·)=β··⟨msaw2n+mbaI+mb(b0sinα+c0cosα)2]]>+msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}2]]>+man{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2]]>+mwn{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2⟩]]>+2β⟨·α·mb(b0sinα+c0cosα)(b0cosα-c0sinα)]]>+msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}{z·6ncos(α+γn+ηn)]]>-(α·+η·n)z6nsin(α+γn+ηn)-α·[c1nsin(α+γn)-b2ncosα]}]]>+man{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}{(α·+θ·n)e1ncos(α+γn+θn)]]>-α·[c2nsin(α+γn)-b2ncosα]}]]>+mwn{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α·+γn)+b2nsinα}{(α·+θ·n)e3nsin(α+γn+θn)]]>-α·[c2nsin(α+γn)-b2ncosα]}⟩]]>-α··mba(b0cosα-c0sinα)+α·2mba(b0sinα+c0cosα)]]>-z·6nmsna1ncos(α+γn+ηn)+z·6n(α·+η·n)msna1nsin(α+γn+ηn)]]>+η··nmsnz6na1nsin(α+γn+ηn)+η·nmsnz·6na1nsin(α+γn+ηn)]]>+η·n(α·+η·n)msnz6na1ncos(α+γn+ηn)]]>-θ··nmaw1na1ncos(α+γn+θn)+θ·n(α·+θ·n)maw1na1nsin(α+γn+θn)]]>+α··a1n{msawcnsin(α+γn)-msawbncosα+msnz6nsin(α+γn+ηn)-maw1ncos(α+γn+θn)}]]>+α·a1n{α·msawcncos(α+γn)+α·msawbnsinα+(α·+η·n)msnz6ncos(α+γn+ηn)]]>+msnz·6nsin(α+γn+ηn)]]>+(α·+θ·n)maw1nsin(α+γn+θn)}]]>-z··0[{mb(b0sinα+c0cosα)+maw1nsin(α+γn+θn)+z6nmsncos(α+γn+ηn)]]>+msawcncos(α+γn)+msawbnsinα}sinβ+(mba+msawancosβ]]]>-z·0[{α·mb(b0cosα-c0sinα)+(α·+θ·n)maw1ncos(α+γn+θn)+z·6nmsn(α+γn+ηn)]]>-(α·+η·n)z6nmsnsin(α+γn+ηn)-α·msawcnsin(α+γn)+α·msawbncosα}sinβ]]>+β·{mb(b0sinα+c0cosα)+maw1nsin(α+γn+θn)+z6nmsncos(α+γn+ηn)]]>+msawcncos(α+γn)+msawbnsinα}cosβ-β·(mba+msawan)sinβ]---(2.70)]]>∂L∂α·=α·mbbI-β·mba(b0cosα-c0sinα)+z·0mbcosβ(b0cosα-c0sinα)]]>+α·⟨msawIn+msnz6n[z6n+2{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]]>-2maw1n{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}⟩]]>+z·6nmsn{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}]]>+η·nmsnz6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+θ·[maw2In-maw1n{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}]]]>+β·a1n{msawcnsin(α+γn)-msawbncosα+msnz6nsin(α+γn+ηn)]]>-maw1ncos(α+γn+θn)---(2.71)]]>+z·0{maw1ncos(α+γn+θn)-z6nmsnsin(α+γn+ηn)]]>-msawcnsin(α+γn)+msawbncosα}cosβ]]>ddt(∂L∂α·)=-β··mba(b0cosα-c0sinα)+β·α·mba(b0sinα+c0cosα)]]>+z··0mbcosβ(b0cosα-c0sinα)-β·z·0mbsinβ(b0cosα-c0sinα)]]>-α·z·0mbcosβ(b0sinα+c0cosα)]]>+α··⟨mbbI+msaw1n+msnz6n[z6n+2{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]]>-2maw1n{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}⟩]]>+α·⟨msnz·6n[z6n+2{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]]>+msnz6n[z·6n-2η·n{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}]]]>-2θ·nmaw1n{c2ncosθn+b2nsin(γn+θn)}⟩]]>+z··6nmsn{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}+z·6nη·nmsn{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+η··nmsnz6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+η·nmsnz·6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+η·nmsnz6n{z·6n-η·n[c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)]}]]>+θ··[maw2In-maw1n{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}]]]>-θ·n2maw1n{c2ncosθn+b2nsin(γn+θn)}]]]>+β··a1n{msawcnsin(α+γn)-msaw1mcosα+msnz6nsin(α+γn+ηn)]]>-maw1ncos(α+γn+θn)}]]>+β·a1n{α·[msawcncos(α+γn)+msawbnsinα]+m·snz·6nsin(α+γn+ηn)]]>+(α·+η·n)msnz6ncos(α+γn+ηn)]]>+(α·+θ·n)maw1nsin(α+γn+θn)}]]>-z··0{maw1ncos(α+γn+θn)+z6nmsnsin(α+γn+ηn)]]>-msawcnsin(α+γn)+msawbncosα}cosβ]]>-z·0{-(α·+θ·n)maw1nsin(α+γn+θn)+z·6nmsnsin(α+γn+ηn)]]>-(α·+η·n)z6nmsncos(α+γn+ηn)-α·msawcncos(α+γn)-α·msawbnsinα}cosβ]]>-β·z·0{maw1ncos(α+γn+θn)-z6nmsnsin(α+γn+ηn)]]>-msawcnsin(α+γn)+msawbncosα}sinβ---(2.72)]]>∂L∂η·n=msnη·nz6n2+α·msnz6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+β·msnz6na1nsin(α+γn+ηn)]]>-z·0z6nmsnsin(α+γn+ηn)cosβ---(2.73)]]>ddt(∂L∂η·n)=msnη··nz6n2+2msnη·nz·6nz6n]]>+α··msnz6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+α·msnz·6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+α·msnz6n{z·6n-η·n[c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)]}+β··msnz6na1nsin(α+γn+ηn)]]>+β·m·snz·6na1nsin(α+γn+ηn)+β·(α·+η·n)msnz6na1ncos(α+γn+ηn)]]>-z··0z6nmsnsin(α+γn+ηn)cosβ-z·0z6nmsnsin(α+γn+ηn)cosβ]]>-(α·+η·n)z·0z6nmsncos(α+γn+ηn)cosβ-β·z·0z6nmsnsin(α+γn+ηn)cosβ---(2.74)]]>∂L∂θ·n=θ·nmaw2In+α·[maw2In-maw1n{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}]]]>-β·maw1na1ncos(α+γn+θn)+z·0maw1ncos(α+γn+θn)cosβ---(2.75)]]>ddt(∂L∂θ·n)=θ··nmaw2In+α··[maw2In-maw1n{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}]]]>-α·θ·nmaw1n{c2ncosθn+b2nsin(γn+θn)}]]>-β··maw1na1ncos(α+γn+θn)+β·(α·+θ·n)maw1na1nsin(α+γn+θn)]]>+z··0maw1ncos(α+γn+θn)cosβ-(α·+θ·n)z·0maw1nsin(α+γn+θn)cosβ]]>-β·z·0maw1ncos(α+γn+θn)sinβ---(2.76)]]>∂L∂z·6n=msnz·6n+α·msn{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}]]>-β·msna1ncos(α+γn+ηn)+z·0msncos(α+γn+ηn)cosβ---(2.77)]]>ddt(∂L∂z·6n)=msnz··6n+α··msn{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}]]>+α·η·nmsn{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>-β··msna1ncos(α+γn+ηn)]]>+β·(α·+η·n)msna1nsin(α+γn+ηn)]]>+z··0msncos(α+γn+ηn)cosβ]]>-(α·+η·n)z·0msnsin(α+γn+ηn)cosβ]]>-β·z·0msncos(α+γn+ηn)sinβ---(2.78)]]>∂L∂z·12n=0---(2.79)]]>ddt(∂L∂z·12n)=0---(2.80)]]>耗散函數(shù)為Ftot=-12(csnz·6n2+cwnz·12n2)---(2.81)]]>約束是基于幾何約束以及道路與車輪的接觸點。幾何約束可以表示為e2ncosθn＝-(z6n-d1n)sinηn(2.82)e2nsinθn-(z6n-d1n)cosηn＝c1n-c2n道路與車輪的接觸點定義為ztn=zPtouchpoint,nr]]>=z0+{z12ncosα+e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-α1nsinβ]]>=Rn(t)---(2.83)]]>其中Rn(t)為各個車輪的道路輸入。微分方程為θ·ne2nsinθn-z·6nsinηn-η·n(z6n-d1n)cosηn=0]]>θ·ne2ncosθn-z·6ncosηn+η·n(z6n-d1n)sinηn=0]]>z·0+{z·12ncosα-α·z12nsinα+(α·+θ·n)e3ncos(α+γn+θn)]]>-α·c2nsin(α+γn)+α·b2ncosα}cosβ]]>-β·[{z12ncosα+e3nsin(α+γn+θn)]]>+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ+a1ncosβ]-R·n(t)=0---(2.84)]]>由于這些約束的微分方程可以寫成Σjalnjdq·j+alntdt=0,(l=1,2,3,n=i,ii,iii,iv)---(2.85)]]>然后，由下述各式獲得alnj的值a1n0＝0a2n0＝0a3n0＝1a1n1＝0，a1n2＝0，a1n3＝-(z6n-d1n)cosηn，a1n4＝e2nsinθn，a1n5＝-sinηn，a1n6＝0a2n1＝0，a2n2＝0，a2n3＝(z6n-d1n)sinηn，a2n4＝e2ncosθn，a2n5＝-cosηn，a2n6＝0a3n1＝-{z12ncosα+e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ+a1ncosβ，a3n2＝(-z12nsinα+e3ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}cosβ，a3n3＝0，a3n4＝e3ncos(α+γn+θn)cosβ，θ3n5＝0，θ3n6＝cosαcosβ(2.86)由此，拉格朗日(Lagrange’s)方程變?yōu)閐dt(∂L∂q·j)-∂L∂qj=Qj+Σl,nλlnalnj---(2.87)]]>其中，q0＝z0q1＝β，q2＝α，q3i＝ηi，q4i＝θi，q5i＝z6i，q6i＝z12iq3ii＝ηii，q4ii＝θii，q5ii＝z6ii，q6ii＝z12iiq3iii＝ηiii，q4iii＝θiii，q5iii＝z6iii，q6iii＝z12iiiq3iv＝ηiv，q4iv＝θiv，q5iv＝z6iv，q6iv＝z12iv(2.88)ddt(∂L∂z·0)-∂L∂z0=∂F∂z·0+Σl,nλlnaln0,l=1,2,3,n=i,ii,iii,iv]]>z··0=(mb+msawn)+α··mbcosβ(b0cosα-c0sinα)]]>-α·2mbcosβ(b0sinα-c0cosα)-β··{mbacosβ+mb(b0sinα-c0cosα)sinβ}]]>+β·{β·(mba+msawan)sinβ+β·mb(b0sinα-c0cosα)cosβ}]]>+{z··6nmsncos(α+γn+ηn)-2(α·+η·n)z·6nmsnsin(α+γn+ηn)]]>+(α··+θ··n)maw1ncos(α+γn+θn)-(α·+θ·n)2maw1nsin(α+γn+θn)]]>-(α··+θ··n)z6nmsnsin(α+γn+ηn)]]>-(α·+θ·n)2z6nmsncos(α+γn+ηn)]]>-α··msawcnsin(α+γn)-α·2msawcncos(α+γn)]]>+α··msawbncosα-α·2msawbnsinα-β··msawan}cosβ]]>-2β·{z·6nmsncos(α+γn+ηn)+(α·+θ·n)maw1ncos(α+γn+θn)]]>-(α·+η·n)z6nmsnsin(α+γn+ηn)-α·msawcnsin(α+γn)+α·msawbncosα}sinβ]]>-(β··sinβ+β·2cosβ){mawlnsin(α+γn+θn)+z6nmsncos(α+γn+ηn)]]>+msawcncos(α+γn)+msawbnsinα}]]>+g(mb+msawn)]]>=λ3n]]>z··0=λ3n-g-α··mbCβA2-α·2mbA1-β··{mabCβ+mbA1Sβ}+β·{mbaSβ+β·mbA1Cβ}+{z··6nmsnCαγη-2(α·+η·n)z·6nmsnSαγη+(α··+θ··n)maw1nCαγη-(α·+θ·n)2maw1nSαγη-(α··+η··n)z6nmsnSαγη-(α·+η·n)2z6nmsnCαγη-α··msawcnSαγη-α·2msawcnCαγη+α··msawcnCα-α·2msawbnSα-β··msawan}Cβ-2β·{z·6nmsnCαγη+(α·+θ·n)maw1nCαγη-(α·+η·n)z6nmsnSαγη-α·msawcnSαγη+α·msawbnCα-β·msawan/2}Sβ-(β··Sβ+β·2Cβ){maw1nSαγη+z6nmsuCαγη+msawcnCαγη+msawbnSα}mbsawn]]>ddt(∂L∂β·)-∂L∂β=∂F∂β·+Σl,nλlnaln1,l=1,2,3,n=i,ii,iii,iv---(2.89)]]>β··<msaw2n+mbaI+mb(b0sinα+c0cosα)2]]>+msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}2]]>+man{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2]]>+mwn{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}2>]]>+2β·<α·mb(b0sinα+c0cosα)(b0cosα-c0sinα)]]>+msn{z6ncos(α+γn+ηn)]]>+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}{z·6ncos(α+γn+ηn)]]>-(α·+η·n)z6nsin(α+γn+ηn)-α·[c1nsin(α+γn)-b2ncosα]}]]>+man{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)]]>+b2nsinα}{(α·+θ·n)e1ncos(α+γn+θn)]]>-α·[c2nsin(α+γn)-b2ncosα]}]]>+mwn{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)]]>+b2nsinα}{(α·+θ·n)e3nsin(α+γn+θn)]]>-α·[c2nsin(α+γn)-b2ncosα]}>]]>-α··mba(b0cosα-c0sinα)+α·2mba(b0sinα+c0cosα)]]>-z··6nmsna1ncos(α+γn+ηn)+z·6n(α·+η·n)msna1nsin(α+γn+ηn)]]>+η··nmsnz6na1nsin(α+γn+ηn)]]>+η·nmsnz·6na1nsin(α+γn+ηn)+η·n(α·+η·n)msnz6na1ncos(α+γn+ηn)]]>-θ··nmaw1na1ncos(α+γn+θn)+θ·n(α·+θ·n)maw1na1nsin(α+γn+θn)]]>+α··a1n{msawcnsin(α+γn)-msawbncosα+msnz6nsin(α+γn+ηn)]]>-maw1ncos(α+γn+θn)}]]>+α·a1n{α·msawcncos(α+γn)+α·msawbnsinα+(α·+η·n)msnz6ncos(α+γn+ηn)]]>+msnz·6nsin(α+γn+ηn)+(α·+θ·n)maw1nsin(α+γn+θn)}---(2.90)]]>-z··0[{mb(b0sinα+c0cosα)+maw1nsin(α+γn+θn)+z6nmsncos(α+γn+ηn)]]>+msawcncos(α+γ)+msawbnsinα}sinβ+(mba+msawancosβ)]]]>-z·0[{α·mb(b0cosα-c0sinα)+(α·+θ·n)maw1ncos(α+γn+θn)+z·6nmsncos(α+γn+ηn)]]>-(α·+η·n)z6nmsnsin(α+γn+ηn)-α·msawcnsin(α+γn)+α·msawbncos}sinβ]]>+β·z·0{mb(b0sinα+c0cosα)+maw1nsin(α+γn+θn)+z6nmsncos(α+γn+ηn)]]>+msawcncos(α+γn)+msawbnsinα}cosβ-(mba+msawansinβ)]]]>+α·z·0mbsinβ(b0cosα-c0sinα)-β·z·0{mbasinβ-mb(b0sinα+c0cosα)cosβ}]]>-g{mbacosβ+mb(b0sinα+c0cosα)sinβ}]]>-<g[{msnz6ncos(α+γn+ηn)+maw1nsin(α+γn+θn)]]>+msawcncos(α+γn)+msawbnsinα}sinβ]]>+msawancosβ]]]>-z·0{z·6nmsncos(α+γn+ηn)+(α·+θ·n)maw1ncos(α+γn+θn)]]>-(α·+η·n)z6nmsnsin(α+γn+ηn)-α·msawcnsin(α+γn)+α·msawbncosα-β·msawan}sinβ}]]>-β·z·0{maw1nsin(α+γn+θn)+z6nmsncos(α+γn+ηn)]]>+msawcncos(α+γn)+msawbnsinα}cosβ>]]>=λ3n[-{z12ncosα+e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)]]>+b2nsinα}sinβ+a1ncosβ]]]>β··(msaw2n+mbaI+mbA12+msnB12+manB22+mwnB32)]]>+2β·[α·mbA1A2+msnB1{z·6nCαγηn-(α·+η·n)z6nSαγηn-α·A4}+manB2{(α·+θ·n)e1nCαγθn-α·A6}]]>+mwnB3{(α·+θ·n)e3nSαγθn-α·A6}]]]>-α··mbaA2+α·2mbaA1-z··6nmsna1nCαγηn+2z·6n(α·+η·n)+msna1nSαγηn]]>+η··nmsnz6na1nSαγηm+η·n(2α·+η·n)msnz6na1nCαγηn]]>-θ··nmaw1na1nCαγθn+θ·n(2α·+θ·n)maw1na1nSαγθn]]>+α··a1n{msawcnSαγn-msawbnCα+msnz6nSαγηn-maw1nCαγθn}]]>+α·2a1n{msawcnCαγn+msawbnSα+msnz6nCαγηn+maw1nSαγθn}]]>-z··0[{mb(b0Sα+c0Cα)+maw1nSαγηn+z6nmsnCαγηn+msawcnCαγn+msawbnSα}Sβ]]>+(mba+msawan)Cβ]+z·0(1-β·)(mba+msawan)sinβ]]>-g[mbaCβ+mbA1Sβ+{msnz6nCαγηn+maw1nSαγθn+msawcnCαγn+msawbnSα}Sβ+msawanCβ]]]>=λ3n[-{z12nCα+e3nSαγθn+c2nCαγn+b2nSα}Sβ+a1nCβ]---(2.91)]]>所以，β··=2β·[α·mbA1A2+msnB1{z·6nCαγηn-(α·+η·n)z6nSαγηn-α·A4}+manB2{(α·+θ·n)e1nCαγθn-α·A6}+mwnB3{(α·+θ·n)e3nSαγθn-α·A6}]-α··mbaA2+α·2mbaA1-z··6nmsna1nCαγηn+2z·6n(α·+η·n)msna1nSαγηn+η··nmsnz6na1nSαγηn+η·n(2α·+η·n)msnz6na1nCαγηn-θ··nmaw1na1nCαγθn+θ·n(2α·+θ·n)maw1na1nSαγθn+α··a1n{msawcnSαγn-msawbnCα+msnz6nSαγηn-maw1nCαγθn}+α·2a1n{msawcnCαγn+msawbnSα+msnz6nCαγηn+maw1nSαγθn}-z··0[{mb(b0Sα+c0Cα)+maw1nSαγηn+z6nmsnCαγηn+msawcnCαγn+msawbnSα}Sβ+(mba+msawan)Cβ]+z·0(1-β·)(mba+msawan)sinβ-g[mbaCβ+mbA1Sβ+{msnz6nCαγηn+maw1nSαγθn+msawcnCαγn+msawbnSα}Sβ+msawanCβ]+λ3n{(z12nCα+e3nSαγθn+c2nCαγn+b2nSα)Sβ-a1nCβ}-(msaw2n+mbal+mbA12+msnB12+manB22+mwnB32)---(2.92)]]>ddt(∂L∂α·)-∂L∂α=∂F∂α·+Σl,nλlnaln2,l=1,2,3,n=i,ii,iii,iv---(2.93)]]>-β··mba(b0cosα-c0sinα)+β·α·mba(b0sinα+c0cosα)]]>+z··0mbcosβ(b0cosα-c0sinα)-β·z·0mbsinβ(b0cosα-c0sinα)-α·z·0mbcosβ(b0sinα-c0cosα)]]>+α··<mbbI+msawIn+msnz6n{z6n+2{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]]>-2maw1n{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}>]]>+α·<msnz·6n[z5n+2{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]+msnz6n[z·6n-2η·n{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}]]]>-2θ·nmawin{c2ncosθn+b2nsin(γn+θn)}>]]>+z··6nmsn{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}+z·6nη·nmsn{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+η··nmsnz6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}+η·nmsnz·6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+η·nmsnz6n{z·6n-η·n[c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)]}]]>+θ··[maw2In-maw1n{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)]-θ·n2mawln{c2ncosθn+b2nsin(γn+θn)}]]]>+β··a1n{msawcnsin(α+γn)-msawbncosα+msnz6nsin(α+γn+ηn)-maw1ncos(α+γn+θn)}]]>+β·a1n{α·[msawcncos(α+γn)+msawbnsinα]+msnz·6nsin(α+γn+ηn)+(α·+η·n)msnz6ncos(α+γn+ηn)]]>+(α·+θ·n)maw1nsin(α+γn+θn)}]]>+z··0{maw1ncos(α+γn+θn)-z6nmsnsin(α+γn+ηn)-msawcnsin(α+γn)+msawbncosα}cosβ}]]>+z·0{-(α·+θ·n)maw1nsin(α+γn+θn)-z6nmsnsin(α+γn+ηn)-(α·+θ·n)z6nmsncos(α+γn+ηn)]]>-α·msawcncos(α+γn)-α·msawbnsinα}cosβ]]>-β·z·0{maw1ncos(α+γn+θn)-z6nmsnsin(α+γn+ηn)-msawcnsin(α+γn)+msawbncosα}cosβ}]]>-{β·2mb(b0cosα-c0sinα)+α·β·mb0}(b0sinα+c0cosα)]]>-|β·2<msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}{-z6nsin(α+γn+ηn)-c1nsin(α+γn)+b2ncosα}]]>+man{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}{e1cos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}]]>+mwn{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}{e3cos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}>]]>+z·6nβ·msna1nsin(α+γn+ηn)]]>+η·nβ·msnz6na1ncos(α+γn+ηn)]]>+θ·β·maw1na1nsin(α+γn+θn)]]>+α·β·a1n{msawcncos(α+γn)+msawbnsinα+msnz6ncos(α+γn+η·n)+maw1nsin(α+γn+θn)}]]>-z·0{z·6nmsnsin(α+γn+ηn)+(α·+θ·n)maw1nsin(α+γn+θn)]]>+(α·+η·n)z6nmsncos(α+γn+θn)+α·msawcncos(α+γn)+α·msawbnsinα}cosβ]]>β·z·0[{maw1ncos(α+γn+θn)-z6nmsnsin(α+γn+ηn)-msawnsin(α+γn)+msawbncosα}sinβ|]]>+gmb(b0cosα-c0sinα)cosβ]]>-g{msnz6nsin(α+γn+ηn)-maw1ncos(α+γn+θn)+msawcnsin(α+γn)-msawbncosα}cosβ]]>=λ3n{-z12nsinα+e3ncos(α+γn+θn)-c2nsin(α+γn)+b2ncosα}cosβ---(2.94)]]>z··0{mbA2+mαwInCαγθn-z6nmsnSαγηn-msawcnSαγn+msmvbnCα}Cβ]]>-β··mbnA2+α··{mbbI+msawIn+msnz6n(z6n+2E1n)-2mawlnH1n}]]>+2α·{msnz·6n(z6n+E1n)-msnz6nη·nE2n-θ·nmawlnH2n}+z··6nmsnE2n+z·6nη·nmsnE1n]]>+η··nmsnz6n{z6n+E1n}+η·nmsnz·6n{2z6n+E1n}-η·n2msnz6nE2n]]>+θ··(mnw2In-mmv1lnH1n)-θ·n2mawInH2n+β··a1n(msmvcnSαγn-msawbnCα+msnz6nSαγηn-mawlnCαγθn)]]>+β·a1n{α·(msawcnCαγn+msawbnSα)+msnz·6nSαγηn+(α·+η·n)msnz6nCαγηn+(α·+θ·n)mawlnSαγθn}]]>-β·2mbA2A1]]>-[β·2{msnB1(-z6nSαγηn-A4)+manB2(e1Cαγθn-A6)+mwnB3(e3Cαγθn-A6)}]]>+z·6nβ·msna1nSαγηn+η·nβ·msnz6na1nCαγηn+θ·β·maw1na1nSαγθn]]>+α·β·a1n{msawcnCαγn+msawbnSα+msnz6nCαγηn+maw1nSαγθn}]]]>+gmbA2Cβ-g{msnz6nSαγηn-maw1nCαγθn+msawcnSαγn-msawbnCα}Cβ·]]>=λ3n{-z12nSα+e3nCαγθn-c2nSαγn+b2nCα}Cβ----(2.95)]]>z··0{mbA2+mawlnCαγθn-z6nmsnSαγηn-msawcnSαγn+msawbnCα}Cβ]]>-β··mbaA2+α··{mbbI+msawln+msnz6n(z6n+2E1n)-2mawlnH1n}]]>+msn(2α·z·6n+η··nz6n+2η·nz·6n)(z6n+E1n)-2α·(msnz6nη·nE2n+θ·nmawlnH2n)]]>+z··6nmsnE2n-η·n2msnz6nE2n]]>+θ··(maw2In-mawlnH1n)-θ·n2mawlnH2n]]>+β··a1n(msawcnSαγn-msawbnCa+msnz6nSαγηn-mnw1nCαγθn)]]>-β·2{mbA2A1+msnB1(-z6nSαγηn-A4)+manB2(e1Cαγθn-A6)+mwnB3(e3Cαγθn-A6)}]]>+gmbA2Cβ-g{msnz6nSαγηn-mawlnCαγθn+msawcnSαγn-msawbnCα}Cβ]]>=λ3n(-z12nSα+e3nCαγθn-c2nSαγn+b2n′Cα)Cβ----(2.96)]]>ddt(∂L∂η·n)-∂L∂ηn=∂F∂η·n+Σl,nλlnαln3,l=1,2,3,n=i,ii,iii,iv,----(2.98)]]>msnη··nz6n2+2msnη·nz·6nz6n+α··msnz6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>+α·msnz·6n{z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}+α·msnz6n{z·6n-η·n[c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)]}]]>+β··msnz6na1nsin(α+γn+ηn)+β·msnz·6na1nsin(α+γn+ηn)+β·(α·+η·n)msnz6na1ncos(α+γn+ηn)]]>-z··0z6nmsnsin(α+γn+ηn)cosβ-z·0z·6nmsnsin(α+γn+ηn)cosβ]]>-(α·+η·n)z·0z6nmsncos(α+γn+ηn)cosβ-β·z·0z·6nmsnsin(α+γn+ηn)sinβ]]>-⟨α·2msnz6n{-c1nsinηn-b2ncos(γn+ηn)}]]>+β·2msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}{-z6nsin(α+γn+ηn)}]]>+z·6nα·msn{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}+z·6nβ·msna1nsin(α+γn+ηn)]]>-η·nα·msnz6n{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}+η·nβ·msnz6na1ncos(α+γn+ηn)]]>+α·β·a1nmsnz6ncos(α+γn+ηn)+gmsnz6nsin(α+γn+ηn)cosβ]]>-z·0{z6nmsnsin(α+γn+ηn)+(α·+η·n)z·0z6nmsncos(α+γn+ηn)}cosβ]]>+β·z·0z·6nmsnsin(α+γn+ηn)sinβ⟩]]>=-λ1n(z6n-d1n)cosηn+λ2n(z6n-d1n)sinηn----(2.99)]]>msnη··nz6n2+2msnη·nz·6nz6n+α··msnz6n{z6n+E1}]]>+α·msnz·6n{2z6n+E1}-α·msnz6nη·nE2+β··msnz6na1nSαγηn]]>+β·msnz·6na1nSαγηn+β·(α·+η·n)msnz6na1nCαγηn]]>-z··0z6nmsnSαγηnCβ]]>+α·2msnz6nE2+β·2msnB1z6nSαγηn-z·6nα·msnE1-z·6nβ·msna1nSαγηn]]>+η·nα·msnz6nE2-η·nβ·msnz6na1nCαγηn]]>-α·β·a1nmsnz6nCαγηn-gmsnz6nSαγηnCβ]]>=-λ1n(z6n-d1n)Cηn+λ2n(z6n-d1n)Sηn----(2.100)]]>msnz6n{η··nz6n+2η·nz·6n+α··(z6n+E1)+2α·z·6n+β··a1nSαγηn-z··0SαγηnCβ+α·2E2]]>+β·2B1Sαγηn-gSαγηnCβ}]]>=-λ1n(z6n-d1n)Cηn+λ2n(z6n-d1n)Sηn----(2.101)]]>λ1n=msnz6n{η··nz6n+2η·nz·6n+α··(z6n+E1)+2α·z·6n+β··a1nSαγη′-z··0Sαγη′Cβ+α·2E2+β·2B1Sαγη′-gSαγη′Cβ}-λ2n(z6n-d1n)Sip1-(z6n-d1n)Cip1----(2.102)]]>ddt(∂L∂θ·n)-∂L∂θn=∂F∂θ·n+Σl,nλlna1n4,l=1,2,3,n=i,ii,iii,iv---(2.103)]]>θ··nmaw2In+α··[maw2In-mawln{c2nsinθn-b2ncos(γn+θn)}]]>-α·θ·nmawln{c2ncosθn+b2nsin(γn+θn)}]]>-β··mawlna1ncos(α+γn+θn)+β·(α·+θ·n)mawlna1nsin(α+γn+θn)]]>+z··0mawlncos(α+γn+θn)cosβ-(α·+θ·n)z·0mawlnsin(α+γn+θn)cosβ]]>-β·z·0mawlncos(α+γn+θn)sinβ]]>-[-kzie0i2{sin(γi+θi)-sin(γii+θii)}cos(γn+θn)Xs]]>-kziiie0iii2{sin(γiii+θiii)-sin(γiv+θiv)}cos(γn+θn)Xs]]>-α·2mawln{c2ncosθn+b2nsin(γn+θn)}]]>+β·2⟨man{e1nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}e1ncos(α+γn+θn)]]>+mwn{e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}e3ncos(α+γn+θn)⟩]]>-θ·α·mawln{c2ncosθn+b2nsin(γn+θn)}+θ·β·mawlna1nsin(α+γn+θn)]]>+α·β·a1nmawlnsin(α+γn+θn)-gmawlncos(α+γn+θn)cosβ]]>-z·0(α·+θ·n)maw1nsin(α+γn+θn)cosβ-β·z·0maw1ncos(α+γn+θn)sinβ]]]>=λ1ne2nsinθn+λ2ne2ncosθn+λ3ne3ncos(α+γn+θn)cosβ----(2.104)]]>θ··nmaw2In+α··(maw2In-mawlnH1n)-α·θ·nmawlnH2-β··mawlna1nCαγθn+β·(α·+θ·n)mawlna1nSαγθn]]>+z··0mawlnCαγθnCβ]]>-[-kzie0i2{sin(γi+θi)+sin(γii+θii)}Xs-kziiie0iii2{sin(γiii+θiii)+sin(γiv+θiv)}cos(γn+θn)Xs]]>-α·2mawlnH2+β·2(manB2e1nCαγθn+mwnB3e3nCαγθn)]]>-θ·α·mawlnH2+θ·β·mawlna1nSαγθn+α·β·a1nmawlnSαγθn-gmawlnCαγθnCβ]]>=λ1ne2nSθn+λ2ne2nCθn+λ3ne3nCαγθnCβ----(2.105)]]>θ··nmaw2In+α··(maw2In-mawlnH1)-β··mawlna1nCαγθn+z··0mawlnCαγθnCβ+α·2mawlnH2]]>-β·2(manB2e1nCαγθn+mwnB3e3nCαγθn)]]>+gmawlnCαγθnCβ+Kzie0i2{sin(γi+θi)+sin(γii+θii)}cos(γn+θn)]]>+kziiie0iii2{sin(γiii+θiii)+sin(γiv+θiv)}cos(γn+θn)]]>=λ1ne2nSθn+λ2ne2ncθn+λ3ne3nCαγθnCβ----(2.106)]]>所以，ddt(∂L∂z·6n)-∂L∂z6n=∂F∂z·6n+Σl,nλlnaln5,l=1,2,3,n=i,ii,iii,iv----(2.108)]]>msnz··6n+α··msn{c1nsinηn+b2ncos(γn+ηn)}+α·η·nmsn{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]>-β··msna1ncos(α+γn+ηn)+β·(α·+η·n)msna1nsin(α+γn+ηn)]]>+z··0msncos(α+γn+ηn)cosβ-(α·+η·n)z·0msnsin(α+γn+ηn)cosβ]]>-β·z·0msncos(α+γn+ηn)sinβ]]>-⟨msnη·n2z6n+α·2msn[z6n+{c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}]]]>+β·2msn{z6ncos(α+γn+ηn)+c1ncos(α+γn)+b2nsinα}cos(α+γn+ηn)]]>+η·nα·msn{2z6n+c1ncosηn-b2nsin(γn+ηn)}+η·nβ·msna1nsin(α+γn+ηn)]]>+α·β·a1nmsnsin(α+γn+ηn)-gmsncos(α+γn+ηn)cosβ-ksn(z6n-lsn)]]>+z·0(α·+η·n)msnsin(α+γn+ηn)cosβ-β·z·0msncos(α+γn+ηn)sinβ⟩]]>=-csnz·6n-λ1nsinηn-λ2ncosηn----(2.109)]]>msn{z··6n+α··E2-β··a1nCαγηn-η·n2z6n-α·2(z6n+E1)-β·2B1Cαγηn-2η·nα·z6n+gCαγηnCβ}+ksn(z6n-lsn)]]>=-csnz·6n-λ1nSηn-λ2nCηn----(2.110)]]>所以，λ2n=msn{z··6n+α··E2-β··a1nCαγηn-η·n2z6n-α·2(z6n+E1)-β·2B1Cαγηn-2η·nα·z6n+gCαγηnCβ}+ksn(z6n-lsn)+csnz·6n+λ1nSηn-Cηn----(2.111)]]>ddt(∂L∂z·12n)-∂L∂z12n=∂F∂z·12n+Σl,nλlnaln6,l=1,2,3,n=i,ii,iii,iv]]>kwn(z12n-lwn)=-cwnz·12n+λ3ncosαcosβ]]>=-cwnz·12n+λ3nCαCβ----(2.112)]]>所以，λ3n=cwnz·12n+kwn(z12n-lwn)Cα----(2.113)]]>由微分約束，得到，θ··ne2nSθn+θ·n2e2nCθn-z··6nSηn-z·6nη·nCηn-η··n(z6n-d1n)Cηn-η·nz·6nCηn+η·n2(z6n-d1n)Sηn=0]]>θ··ne2nCθn-θ·n2e2nSθn-z··6nCηn+z·6nη·nSηn+η··n(z6n-d1n)Sηn+η·nz·6nSηn+η·n2(z6n-d1n)Cηn=0----(2.114)]]>所以，η··n=θ··ne2nSθn+θ·n2e2nCθn-z··6nSηn-2η·nz·6nCηn+η·n2(z6n-d1n)Sηn(z6n-d1n)Cηn----(2.115)]]>z··6n=θ··ne2nCθn-θ·n2e2nSθn+-η··n(z6n-d1n)Sηn+2η·nz·6nSηn+η·n2(z6n-d1n)CηnCηn----(2.116)]]>以及，z·12n={α·z12nS·α-(α·+θ·n)e3nCαγθn+α·c2nSαγn-α·b2nCα}Cβ-z·0+β·[{z12nCα+e3nSαγθn+c2nCαγn+b2nSα}Sβ+α1nCβ]+R·n(t)CαCβ----(2.117)]]>為隨后的熵產(chǎn)生計算對方程(2.113)補充積分(supplementaldifferentiation)可得kwnz·12n=-cwnz·12n+λ·3nCαCβ-α·λ3nS·αCβ-β·λ3nCαSβ----(2.118)]]>因此，z··12n=λ·3nCαCβ-α·λ3nSαCβ-β·λ3nCαSβ-kwnz·12ncwn----(2.119)]]>或者由約束的第三個方程得到z··0+]]>{z··12ncosα-z·12nα·cosα-α··z12nsinα-α·z·12nsinα-α·2z12ncosα+(α··+θ·n)e3ncos(α+γn+θn)]]>-(α·+θ·n)2e3nsin(α+γn+θn)-α··c2nsin(α+γn)-α·2c2ncos(α+γn)+α··b2ncosα-α·2b2nsinα}cosβ]]>-β·{z·12ncosα-α·z12nsinα+(α·+θ·n)e3ncos(α+γn+θn)-α·c2nsin(α+γn)+α·b2ncosα}sinβ]]>-β··[{z12ncosα+e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}sinβ+α1ncosβ]]]>-β·[{z·12ncosα-α·z12nsinα+(α·+θ·n)e3ncos(α+γn+θn)-(α·+γ·n)c2nsin(α+γn)+α·b2ncosα}sinβ]]>+β·{z12ncosα+e3nsin(α+γn+θn)+c2ncos(α+γn)+b2nsinα}cosβ-β·α1nsinβ]-R··n(i)=0----(2.120)]]>熵產(chǎn)生方程的推導如下。最小熵產(chǎn)生(用于遺傳算法的適應函數(shù))可表述如下dβSdt=-2β·2[α·mbA1A2+msnB1{z·6nCαγηn-(α·+η·n)z6nSαγηn-α·A4}+manB2{(α·+θ·n)e1nCαγθn-α·A6}+mwnB3{(α·+θ·n)e3nSαγθn-α·A6}-z·0(mba+msawan)Sβ/2]msaw2n+mba1+mbA12+msnB12+manB22+mwnB32----(2.122)]]>dαSdt=-2α·2{msnα·z·6n(z6n+E1n)+msnz6nη·nE2n+θ·nmawlnH2n}mbb1+msawIn+msnz6n(z6n+2E1n)-2mawlnH1n----(2.123)]]>dηnSdt=η·n3tgηn-2η·n2z·6nz6n-d1n----(2.124)]]>dz6nSdt=2η·nz·6n2tgηn----(2.125)]]>dz12nSdt=z·12n2(α·+α·tgα+2β·tgβ)----(2.126)]]>為了模擬懸架系統(tǒng)，懸架系統(tǒng)方程被編程至方程塊201。如圖9A所示，具有固定控制(例如，減震器具有固定的阻尼系數(shù))時，根據(jù)圖3A(有代數(shù)環(huán))模擬的懸架系統(tǒng)的速度比根據(jù)圖4模擬的懸架系統(tǒng)慢9倍多。如圖9B所示，具有可變控制(例如，減震器具有可變阻尼系數(shù))時，根據(jù)圖3A(有代數(shù)環(huán))模擬的懸架系統(tǒng)的速度比根據(jù)圖4模擬的懸架系統(tǒng)慢約9倍。圖10示出了單輪腳踏車模型1000的部件以及坐標系。單輪腳踏車模型1000包含軸1001的車輪1001、車身1003以及轉(zhuǎn)子1004。連接對(linkpair)L1、L3和L2、L4被連接在車身1003和軸1001之間。第一馬達提供扭矩，以控制連接對L1、L3之間的角度。第二馬達提供扭矩，以控制連接對L1、L3之間的角度。采用如圖10所示的坐標系，給出單輪腳踏車1000的運動方程為在上面的單輪腳踏車運動方程中，一般的α運動方程為α···A01+γ···A02+β···A03+θ··w·A04+θ··1·A06+θ··2·A07+θ··3·A08+θ··4·A09+η···A10+]]>+α··AA+γ··AG+β··AB+θ·w·ATw+θ·1·AT1+θ·2·AT2+θ·3·AT3+θ·4·AT4+AD=0]]>給出α運動方程的系數(shù)為A01＝AW01+AB01+AL101+AL201+AL301+AL401+ATt01；其中AW01＝2[cos(γ)2(sin(θw)2IIWShX+cos(θw)2IIWShZ)+sin(γ)2IIIWShYK]；(其中IIIWShK、IIWShZ、IIWShX為車輪1001及軸1002繞x、y、z軸的聯(lián)合慣性力矩。)AB01＝[sin(γ)2(MB(Rwe5c)2+IBy)+MB(e52sin(β)2)+cos(γ)2(IBxsin(β)2+IBzcos(β)2)]；(其中Rwe5c＝Rw+e5cos(β)。)AL101＝AL101i+AL101m；其中AL101i＝[cos(γ)2(IL1xsin(ZU)2+IL1zcos(ZU)2)+sin(γ)2IL1y]；(其中ZU＝β+θ1。)AL101m＝ML1[sin(γ)2(Rw+e1cos(β)-e2sin(ZU))2+(e1sin(β)+e2cos(ZU)2++k12cos(γ)2+k1sin(2γ)(Rw+e1cos(β)-e2sin(ZU))]；AL201＝AL201i+AL201m；其中AL201i＝[cos(γ)2(IL2xsin(ZZ)2+IL2zcos(ZZ)2)+sin(γ)2IL2y]；(這里ZZ＝β+θ2。)AL201m＝ML2[sin(γ)2(Rw+e1cos(β)-e2sin(ZZ))2+(e1sin(β)e2cos(ZZ))2++k12cos(γ)2-k1sin(2γ)(Rw+e1cos(β)-e2sin(ZZ))]；AL301＝AL301i+AL301m；AL301i＝[cos(γ)2(IL3xsin(PR)2+IL3zcos(PR)2)+sin(γ)2IL3y]；(其中PR＝θ3+Ψ，Ψ＝θw+ψ(const)。)AL301m＝ML3[(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))2+sin(γ)2(e3xsin(Ψ)-Δzcos(PR)-Rw)2++Δyk12cos(γ)2-sin(2γ)Δyk1(Rw+(Δzcos(PR)-e3xsin(Ψ)))]；(其中Δyk1＝Δy+k1+e3y-位移為Y。)AL401＝AL401i+AL401m；AL401i＝[cos(γ)2(IL4xsin(PL)2+IL4zcos(PL)2)+sin(γ)2IL4y]；(其中PR＝θ4+Ψ，Ψ＝θw+ψ(const)。)AL401m＝ML4[(e3xcos(Ψ)-Δzsin(PL))2+sin(γ)2(Rw+Δzcos(PL)+e3xsin(Ψ))2++Δyk12cos(γ)2-sin(2γ)Δyk1(Rw+Δzcos(PL)+e3xsin(Ψ))]；ATt01＝ATt01i+ATt01m；ATt01m＝MTi[sin(γ)2(Rwe6)2+sin(β)2e62]；ATt01i=[sin(γ)2(sin(η)2ITtx+cos(η)2ITty)+12sin(2η)sin(2γ)sin(β)(ITty-ITtx)+]]>cos(γ)2[sin(β)2(cos(η)2ITtx+sin(η)2ITty)+cos(β)2ITtz]];]]>(其中Rwe6＝Rw+e6cos(β)，MTi＝MTurntable+Mmotor_rot。)A02＝AW02+AB02+AL102+AL202+AL302+AL402+ATt02；其中，AW01＝GW01＝sin(2θw)cos(γ)[IIWShZ-IIWShX]；AB02＝-[sin(β)cos(γ)(MBe5(Rwc5c)+cos(β)(IBx-IBz))]；AL102＝AL102i+AL102m；AL102i=12sin(2ZU)cos(γ)[IL1z-IL1x];]]>AL102m=ML1[cos(γ)(12e22sin(2ZU)-12e12sin(2β)-Rw(e1sin(β)+e2cos(ZU))-e1e2cos(ZU2B]]>+k1sin(γ)(e1sin(β)+e2cos(ZU))];]]>(其中ZU2B＝2β+θ1。)AL202＝AL202i+AL202m；AL202i=12sin(2ZZ)cos(γ)[IL1z-IL2x];]]>AL202m=ML2[cos(γ)(12e22sin(2ZZ)-12e12sin(2β)-Rw(e1sin(β)+e2cos(ZZ))-e1e2cos(ZZ2B))]]>-k1sin(γ)(e1sin(β)+e2cos(ZZ))];]]>(其中ZZ2B＝2β+θ2。)AL302＝AL302i+AL302m；AL302i=12sin(2PR)cos(γ)[IL3x-IL3x];]]>AL302m=ML3[cos(γ)(12e3x2sin(2Ψ)-12Δz2sin(2PR)-Rw(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))-Δze3xcos(j]]>+Δuk1sin(γ)(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))];]]>(其中P2R＝θ3+2Ψ。)AL402＝AL402i+AL402m；AL402i=12sin(2PL)cos(γ)[IL4z-IL4x];]]>AL402m=ML4[cos(γ)(12e3x2sin(2Ψ)-12Δz2sin(2PL)-Rw(Δzsin(PL)-e3xcos(Ψ))+Δze3xcos(P@L))+]]>+Δyk1sin(γ)(e3xcos(Ψ)-Δzsin(PL))];]]>(其中P2L＝θ4+2Ψ。)ATt02=[12sin(2η)sin(γ)cos(β)(ITtx-ITty)-12sin(2β)cos(γ)(cos(η)2ITtx+sin(η)2ITty-ITtx)-]]>-sin(β)cos(γ)MTt[e6(Rwe6)]];]]>A03＝AB03+AL103+AL203+ATt03；其中AB03＝sin(γ)[IBy+NBe5(Rwcos(β)+e5)]；AL103＝sin(γ)IL1y+ML1[sin(γ)(e12+e22-2e1e2sin(θ1)+Rw(e1cos(β)-e2sin(ZU)))-k1cos(γ)(e2sin(ZU)-e1cos(β))]；AL203＝sin(γ)IL2y+ML2[sin(γ)(e12+e22-2e1e2sin(θ2)+Rw(e1cos(β)-e2sin(ZZ)))++k1cos(γ)(e2sin(ZZ)-e1cos(β))]；ATt03=[sin(γ)(sin(η)2ITtx+cos(η)2ITty)+12sin(2η)cos(γ)sin(β)(ITty-ITtx)+]]>+sin(γ)Mne6[(Rwcos(β)+e6)]];]]>A04＝AW04+AB04+AL104+AL204+AL304+AL404+ATt04；其中AW04＝2[sin(γ)IIIWShYK]；AB04＝MBRwsin(γ)Rwe5c；AL104＝ML1[Rw2sin(γ)+Rwk1cos(γ)+Rwsin(γ)(e1cos(β)-e2sin(ZU))]；AL204＝ML2[Rw2sin(γ)-Rwk1cos(γ)+Rwsin(γ)(e1cos(β)-e2sin(ZZ))]；AL304＝ML3[sin(γ)(Rw2+Rw(Δzcos(PR)-e3xcos(Ψ)))+Rwcos(γ)Δyk1]；AL404＝ML4[sin(γ)(Rw2+Rw(Δzcos(PL)+e3xcos(Ψ)))-Rwcos(γ)Δyk1]；ATt03＝[MTisin(γ)Rw[Rwe6]]；A06＝AL106；AL106＝sin(γ)IL1y+ML1[sin(γ)(e22-e1e2sin(θ1)-Rwe2sin(ZU))-k1e2cos(γ)sin(ZU)]；A07＝AL207；AL207＝sin(γ)IL2y+ML2[sin(γ)(e22-e1e2sin(θ2)-Rwe2sin(ZZ))+k1e2cos(γ)sin(ZZ)]；A08＝AL308；AL308＝sin(γ)IL3y+ML3[sin(γ)(Δz2+Δze3xsin(θ3)+RwΔzcos(PR)+Δyk1Δzcos(γ)cos(PR)]A09＝AL409；AL409＝sin(γ)IL4y+ML4[sin(γ)(Δz2-Δze3xsin(θ4)+RwΔzcos(PL)-Δyk1Δzcos(γ)cos(PL)]ATt010＝ITtzcos(β)cos(γ)；AA=γ··AA2+β··AA3+θ·w·AA4+θ·1·AA6+θ·2·AA7+θ·3·AA8+θ·4·AA9+η··AA10;]]>其中AA2＝AW2A+AB2A+AL12A+AL22A+AL32A+AL42A+ATt2A；AW2A＝-2sin(2γ)[(sin(θw)2IIWShX+cos(θw)2IIWShZ)-IIIWShYK]；AB2A＝sin(2γ)[MB(Rwe5c)2+IBy-(IBxsin(β)2+IBzcos(β)2)]；AL12A＝AL12Ai+AL12Am；AL12Ai＝sin(2γ)[IL1y-(IL1xsin(ZU)2+IL1zcos(ZU)2)]；AL12Am＝ML1[siN(γ)((Rw+e1cos(β)-e2sin(ZU))2-k12)++2k1cos(2γ)(Rw+e1cos(β)-e2sin(ZU))]；AL22A＝AL22Ai+AL22Am；AL22Ai＝sin(2γ)[IL2y-(IL2xsin(ZZ)2+IL2zcos(ZZ)2)]；AL22Am＝ML2[sin(γ)((Rw+e1cos(β)-e2sin(ZZ))2-k12)--2k1cos(2γ)(Rw+e1cos(β)-e2sin(ZZ))]；AL32A＝AL32Ai+AL32Am；AL32Ai＝sin(2γ)[IL3y-(IL3xsin(PR)2+IL3zcos(PR)2)]；AL32Am＝ML3[sin(2γ)((e3xsin(Ψ)-Δzcos(PR)-Rw)2-Δyk12)++2cos(2γ)Δyk1(Rw+(Δzcos(PR)-e3xsin(Ψ)))]；AL42A＝AL42Ai+AL42Am；AL2Ai＝sin(2γ)[IL4y-(IL4xsin(PL)2+IL4zcos(PL2)]；AL42Am＝ML4[sin(2γ)((e3xsin(Ψ)+Δzcos(PL+Rw)2-Δyk12)--2cos(2γ)Δyk1(Rw+(Δzcos(PL)+e3xsin(Ψ)))]；ATt2A＝ATt2Ai+ATt2Am；ATt2Am＝MTt[sin(2γ)(Rwe6)2]；ATt2Ai＝[sin(2γ)((sin(η)2ITtx+cos(η)2ITty)-[sin(β)2(cos(η)2ITtx+sin(η)2ITty)+cos(β)2ITtz])++sin(2η)cos(2γ)sin(β)(ITty-ITtx)]；AA3＝AB3A+AL13A+AL23A+ATt3A；其中AB3A＝2sin(β)[cos(β)cos(γ)2(MBe52+(IBx-IBz))-MBe5Rwe5csin(γ)2]；AL13A＝AL13Ai+AL13Am；AL13Ai＝sin(2ZU)cos(γ)2[IL1x-IL1z]；AL13Am＝ML1[cos(γ)2(e12(2β)+2e1e2cos(ZU2B)-e22sin(2ZU))-2sin(γ)2Rw(e1sin(β)+2-k1sin(2γ)(e1sin(β)+e2cos(ZU))]；AL23A＝AL23Ai+AL23Am；AL23Ai＝sin(2ZZ)cos(γ)2[IL2x-IL2z]；AL23Am＝ML2[cos(γ)2(e12sin(2β)+2e1e2cos(ZZ2B)-e22sin(2ZZ))-2sin(γ)2Rw(e1sin(β)+e2cc+k1sin(2γ)(e1sin(β)+e2cos(ZZ))]；ATt3A＝ATt3Ai+ATt3Am；ATt3Ai=12sin(2η)sin(2γ)cos(β)(ITty-ITtx)+sin(2β)cos(γ)2(cos(η)2ITtx+sin(η)2ITty-ITtz)]]>ATt3Am＝2MTtsin(β)[cos(β)cos(γ)2e62-e6Rwsin(γ)2]；AA4＝AW4A+AL35A+AL45A；其中AW4A＝2sin(2θw)cos(γ)2[LIWShX-IIWShZ]；AL35A＝AL35Ai+AL35Am；AL35Ai＝AL38Ai＝sin(2PR)cos(γ)2[IL3x-IL3z]；AL35Am＝ML3[cos(γ)2(Δz2sin(2PR)-e3x2sin(2Ψ)+2Δze3xcos(P2R))--2sin(γ)2Rw(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))-Δyk1sin(2γ)(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))]；AL45A＝AL45Ai+AL45Am；AL45Ai＝AL49Ai＝sin(2PL)cos(γ)2[IL4x-IL4z]；AL45Am＝ML4[cos(γ)2(Δz2sin(2PL)-e3x2sin(2Ψ)-2Δze3xcos(P2L))--2Rwsin(γ)2(Δzsin(PL)-e3xcos(Ψ))-Δyk1sin(2γ)(e3xcos(Ψ)-Δzsin(PL))]；AA6＝AL16A；其中AL16A＝AL16Ai+AL16Am；AL16Ai＝sin(2ZU)cos(γ)2[IL1x-IL1z]；AL16Am＝-ML1[e22sin(2ZU)cos(γ)2+e2cos(ZU)(2sin(γ)2(e1cos(β)+Rw)+k1sin(2γ))++2e1e2sin(β)cos(ZU)]；AA7＝AL27A；AL27A＝AL27Ai+AL27Am；AL27Ai＝sin(2ZZ)cos(γ)2[IL2x-IL2z]；AL27Am＝-ML1[e22sin(2ZZ)cos(γ)2+e2cos(ZZ)(2sin(γ)2(e1cos(β)+Rw)-k1sin(2γ)))++2e1e2sin(β)cos(ZZ)]；AA8＝AL38A；AL38A＝AL38Ai+AL38Am；AL38Ai＝(seeAL35Ai)；AL38Am＝ML3[cos(γ)2Δz2sin(2PR)+2Δze3xcos(Ψ)cos(PR)++2sin(γ)2(Δze3xsin(Ψ)sin(PR)-RwΔzsin(PR))-Δyk1sin(2γ)Δzsin(PR)]；AA9＝AL49A；AL49A＝AL49Ai+AL49Am；AL49Ai＝(seeAL45Ai)；AL49Am＝ML3[cos(γ)2Δz2sin(2PL)-2Δze3xcos(Ψ)cos(PL)--2sin(γ)2(Δze3xsin(Ψ)sin(PL)+RwΔzsin(PL))+Δyk1sin(2γ)Δzsin(PL)]；AA10＝ATt10A；ATt10A＝sin(2η)sin(γ)2(ITtx-ITty)+cos(2η)sin(2γ)sin(β)(ITty-ITtx)++cos(γ)2sin(β)2sin(2η)(ITty-ITtx)AG=γ··AG1+β··AG2+θ·w·AG3+θ·1·AG5+θ·2·AG6+θ·3·AG7+θ·4·AG8+η·AG9·]]>其中AG1＝AW1G+AB1G+AL11G+AL21G+AL31G+AL41G+ATt1G；AW1G＝sin(2θw)sin(γ)[IIWShX-IIWShZ]；AB1G＝[sin(β)sin(γ)(MBe5(Rwc5c)+cos(β)(IBx-IBz))]；AL11G＝AL11Gi+AL11Gm；AL11Gi=12sin(2ZU)sin(γ)[IL1x-IL1z];]]>AL11Gm=ML1[-sin(γ)(12e22sin(2ZU)-12e12sin(2β)-Rw(e1sin(β)+e2cos(ZU))-e1e2cos(ZU2]]>+k1cos(γ)(e1sin(β)+e2cos(ZU))];]]>AL21G＝AL21Gi+AL202m；Al21Gi=12sin(2ZZ)sin(γ)[IL2x-IL2z];]]>AL21Gm=ML2[sin(γ)(12e12sin(2β)-12e22sin(2ZZ)+Rw(e1sin(β)+e2cos(ZZ))+e1e2cos(ZZ2B))]]>-k1cos(γ)(e1sin(β)+e2cos(ZZ))];]]>AL31G＝AL31Gi+AL31Gm；AL31Gi=12sin(2PR)sin(γ)[IL3x-IL3z];]]>AL31Gm=ML3[-sin(γ)(12e3x2sin(2Ψ)-12Δz2sin(2PR)-Rw(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))-Δze3xcos(]]>+Δyk1cos(γ)(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))];]]>AL41G＝AL41Gi+AL41Gm；AL402i=12sin(2PL)sin(γ)[IL4x-IL4z];]]>AL41Gm=ML4[-sin(γ)(12e3x2sin(2Ψ)-12Δz2sin(2PL)-Rw(Δzsin(PL)-e3xcos(Ψ))+Δze3xcos(P2L))+]]>+Δyk1cos(γ)(e3xcos(Ψ)-Δzsin(PL))];]]>ATt1G=[12sin(2η)cos(γ)cos(β)(ITtx-ITty)+12sin(2β)sin(γ)(cos(η)2ITtx+sin(η)2ITty-ITtz)+]]>+sin(β)sin(γ)MTt[e6(Rwe6)]];]]>AG2＝AB2G+AL12G+AL22G+ATt2G；AB2G＝cos(γ)[2MB(e52sin(β)2)+(IBz-IBx)cos(2β)+IBy]；AL12G＝AL12Gi+AL12Gm；AL12Gi＝cos(γ)[IL1y-(IL1x-IL1z)cos(2ZU)]；AL12Gm＝2ML1cos(γ)(e1sin(β)+e2cos(ZU))2；AL22G＝AL22Gi+AL22Gm；AL22Gi＝cos(γ)[IL2y-(IL2x-IL2z)cos(2ZZ)]；AL22Gm＝2ML2cos(γ)(e1sin(β)+e2cos(ZZ))2；ATt2G＝cos(γ)[(sin(η)2ITtx+cos(η)2ITty)-cos(2β)[(cos(η)2ITtx+sin(η)2ITty)-ITtz]++2MTt[e62sin(β)2]]；AG3＝AW3G+AB3G+AL13G+AL23G+AL33G+AL34G+AL43G+AL44G+ATt3G其中AW3G＝2cos(γ)[cos(2θw)(IIWShZ-IIWShX)+IIWSYK]；AB3G＝MBRwcos(γ)(Rwe5c)；AL13G＝ML1[cos(γ)(Rw2+Rw(e1cos(β)-e2sin(ZU)))-Rwk1sin(γ)]；AL23G＝ML2[cos(γ)(Rw2+Rw(e1cos(β)-e2sin(ZZ)))+Rwk1sin(γ)]；AL33G＝ML3[cos(γ)(Rw2+Rw(Δzcos(PR)-e3xsin(Ψ)))-Rwsin(γ)Δyk1]；AL34G＝AL34Gi+AL34Gm；AL34Gi＝AL37Gi＝cos(γ)[IL3y-cos(2PR)(IL3x-IL3z)]；AL34Gm＝ML3cos(γ)(e3xcos(Ψ)+Δzsin(PR))2AL43G＝ML4[cos(γ)(Rw2+Rw(Δzcos(PL)+e3xsin(Ψ)))+Rwsin(γ)Δyk1]；AL44G＝AL44Gi+AL44Gm；AL44Gi＝AL48Gi＝cos(γ)[IL4y-cos(2PL)(IL4x-IL4z)]；AL44Gm＝ML4cos(γ)(e3xcos(Ψ)-Δzsin(PL))2；ATt3G＝[Mntcos(γ)Rw[Rwe6]]；AG5＝AL15G；AL15G＝2ML1cos(γ)(e1e2cos(ZU)sin(β)+e22cos(ZU)2)+cos(γ)[[IL1z-IL1x]cos(2ZU)+IL1y]AG6＝AL26G；AL26G＝2ML2cos(γ)(e1e2cos(ZZ)sin(β)+e22cos(ZZ)2)+cos(γ)[[IL2z-IL2x]cos(2ZZ)+IL2y]AG7＝AL37G；AL37G＝AL34Gi+2ML3cos(γ)[Δz2sin(PR)2+Δze3xcos(Ψ)sin(PR)]；AG8＝AL48G；AL48G＝AL44Gi+2ML4cos(γ)[Δz2sin(PL)2-Δze3xcos(Ψ)sin(PL)]；AG9＝ATt9G；ATt9G=sin(γ)cos(β)(cos(2η)(ITtx-ITty)-ITtz)+12sin(2β)cos(γ)sin(2η)(ITtx+ITty)]]>AB=β··AB1+θ·w·AB2+θ·1·AB4+θ·2·AB5+η··AB8;]]>其中AB1＝AB1B+AL11B+AL21B+ATt1B；AB1B＝-sin(γ)MBe5Rwsin(β)；AL11B＝ML1(e1sin(β)+e2cos(ZU))[-Rwsin(γ)-k1cos(γ)]；AL21B＝ML2(e1sin(β)+e2cos(ZZ))[-Rwsin(γ)+K1cos(γ)]；ATt1B=12sin(2η)cos(γ)cos(β)(ITty-ITtx)-MTte6sin(γ)Rwsin(β);]]>AB2＝AB2B+AL12B+AL22B+ATt2B；AB2B＝-sin(γ))MBe5Rwsin(β)；ATt2B＝-MTte6sin(γ)Rwsin(β)；AL12B＝-ML1sin(γ)Rw(e1sin(β)+e2cos(ZU)；AL22B＝-ML2sin(γ)Rw(e1sin(β)+e2cos(ZZ)；AB4＝AL14B；AL14B＝-2e2ML1[e1sin(γ)cos(θ1)-cos(ZU)(k1cos(γ)+Rwsin(γ))]；AB5＝AL25B；AL25B＝2e2ML2[cos(ZZ)(k1cos(γ)-Rwsin(γ))-e1sin(γ)cos(θ2)]；AB8＝ATt8B；ATt8B＝sin(γ)sin(2η)(ITtx-ITty)+cos(γ)sin(β)(cos(2η)(ITty-ITtx)-ITtz)；ATw=θ·w·ATw2+θ·1·ATw3+θ·2·ATw4+θ·3·ATw5+θ·4·ATw6;]]>其中ATw2＝AL32Tw+AL31S+AL42Tw+AL41S；AL32Tw＝-ML3sin(γ)Rw(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))；AL42Tw＝ML4sin(γ)Rw(-Δzsin(PL)+e3xcos(Ψ))；AL31S＝-ML3(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))[cos(γ))Δyk1+sin(γ)Rw]AL41S＝ML4(e3xcos(Ψ)-Δzsin(PL))[sin(γ)Rw-cos(γ)Δyk1]ATw3＝AL13Tw；AL13Tw＝-ML1sin(γ)Rwe2cos(ZU)；ATw4＝AL24Tw；AL24Tw＝-ML2sin(γ)Rwe2cos(ZZ)；ATw5＝AL35Tw+AL34S；AL35Tw＝-ML3sin(γ)RwΔzsin(PR)；AL34S＝2ΔzML3(sin(γ)(e3xcos(θ3)-Rwsin(PR))-cos(γ)Δyk1sin(PR))；ATw6＝AL46Tw+AL45S；AL46Tw＝-ML3sin(γ)RwΔzsin(PL)；AL45S＝2ΔzML4(cos(γ)Δyk1sin(PR)-sin(γ)(e3xcos(θ4)+Rwsin(PL)))；AT1=θ·1·AL11T1;]]>其中AL11T1＝-e2ML1(cos(ZU)[Rwsin(γ)+k1cos(γ)]+e1sin(γ)cos(θ1))；AT2=θ·2·AL21T2;]]>其中AL11T1＝e2ML1(cos(ZU)[k1cos(γ)-Rwsin(γ)]-e1sin(γ)cos(θ2))；AT3=θ·3·AL31T3;]]>其中AL34S＝ΔzML3(sinγ)(e3xcos(θ3)-Rwsin(PR))-cos(γ)Δyk1sin(PR))；AT4=θ·4·AL41T4;]]>其中AL41T4＝ΔzML4(cos(γ)Δyk1sin(PR)-sin(γ)(e3xcos(θ4)+Rwsin(PL)))；AD=Dwcorα·;]]>Dwcor為流體與車輪帶之間的粘性摩擦系數(shù)。在單輪腳踏車運動方程中，一般的γ運動方程為γ···G02+α···G01+β···G03+θ··w·(G04+G05)+θ···G06+θ··2·G07+θ··3·G08+θ··4·G09+]]>+η···G10+γ··GG+α··GA+β··GB+θ·w·(GTw+Gs)+θ·1·GT1+θ·2·GT2+θ·3·GT3+]]>+θ·4·GT4+BV=0]]>給出的γ運動方程的系數(shù)為G01＝GW01+GB01+GL101+GL201+GL301+GL401+GTt01；其中GW01＝AW01；GB01＝AB02；GL101＝AL102；GL301＝AL302；GL401＝AL402；GTt01＝AG02＝GW02+GB02+GL102+GL202+GL302+GL402+GTt02；其中GW02＝2(cos(θw)2IIWShX+IIWShZsin(θw)2)；GB02＝MB(Rwe5c)2+(cos(β)2IBx+sin(β)2IBz)；GL102＝ML1((Rw+e1cos(β)-e2sin(ZU))2+k12)+(cos(ZU)2IL1x+sin(ZU)2IL1z)；GL202＝ML2((Rw+e1cos(β)+e2sin(ZZ))2-k12)+(IL2xcos(ZZ)2+IL2zsin(ZZ)2)；GL302＝ML3((e3xsin(Ψ)-Δzcos(PR)-Rw)2+Δyk12)+(cos(PR)2IL3x+sin(PR)2IL3z)；GL402＝ML4((e3xsin(Ψ)+Δzcos(PL)+Rw)2+Δyk12)+(cos(PL)2IL4x+sin(PL)2IL4z)；GTt02＝cos(β)2(cos(η)2ITtx+sin(η)2ITty)+sin(β)2ITtz+MTt[sin(2γ)(Rwe6)2]；其中GL103＝ML1k1(e1sin(β)+e2cos(ZU))；GL203＝ML2k1(e1sin(β))+e2cos(ZZ))；GTt03=12sin(2η)cos(β)(ITty-ITtx);]]>G04(G05)＝GL305+GL405；其中GL305(GL304)＝ML3Δyk1(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))；GL405(GL404)＝ML4Δyk1(e3xcos(Ψ)-Δzsin(PL))；G06＝GL106；G07＝GL207；G08＝GL308；G09＝GL409；G10＝GTt010；其中GL106＝ML1k1e2cos(ZU)；GL207＝ML2k1e2cos(ZZ)；GL308＝ML3Δyk1Δzsin(PR)；GL409＝-ML4Δyk1Δzsin(PL)；GTt010＝sin(β)ITtz；GA=α··GA1+β··GA3+θ·w·GA4+θ·1·GA6+θ·2·GA7+θ·3·GA8+θ·4·GA9+η··GA10]]>其中GA1=GW1A+GB1A+GL11A+GL21A+GL31A+GL41A+GTt1A=-12AA2;]]>GA3＝GB3A+GL13A+GL23A+GTt3A；其中GB3A＝-cos(γ)[2cos(β)(MBe5(Rwe5c)+cos(2β)(IBx-IBz)+IBy)]；GL13A＝cos(γ)[cos(ZU)[IL1z-IL1x]-IL1y]+2ML1[k1sin(γ)(e1cos(β)-e2sin(ZU))++cos(γ)(Rw(e2sin(ZU)-e1cos(β))-(e2sin(ZU)-e1cos(β))2)]；GL23A＝cos(γ)[cos(2ZZ)[IL2z-IL2z]-IL2y]+2ML2[k1sin(γ)(e2sin(ZZ)-e1cos(β))++cos(γ)(Rw(e2sin(ZZ)-e1cos(β))-(e2sin(ZZ)-e1cos(β))2)]；GTt3A＝-[2cos(β)cos(γ)MTt[e6(Rwe6)]-sin(2η)sin(γ)sin(β)(ITty-ITtx)++cos(γ)[sin(η)2ITtx+ITtycos(η)2+cos(β)(cos(η)2ITtx+sin(η)2ITty-ITtz)]]；GA4＝GW4A+GB4A+GL14A+GL24A+GL34A+GL44A+(GL35A+GL45A)+GTt4A；其中GW4A＝2cos(γ)[cos(2θw)(IIWShZ-IIWShX)-IIIWShYK]；GB4A＝-MBRwcos(γ)(Rwe5c)；GL14A＝-ML1[cos(γ)(Rw2+Rw(e1cos(β)-e2sin(ZU)))-Rwk1sin(γ)]；GL24A＝-ML2[cos(γ)(Rw2+Rw(e1cos(β)-e2sin(ZZ)))+Rwk1sin(γ)]；GL34A＝-ML3[cos(γ)(Rw2+Rw(Δzcos(PR)-e3xsin(Ψ)))-Rwsin(γ)Δyk1]；GL44A＝-ML4[cos(γ)(Rw2+Rw(Δzcos(PL)+e3xsin(Ψ)))+Rwsin(γ)Δyk1]；GL35A＝GL35Ai+GL35Am；GL35Ai＝GL38Ai＝cos(γ)[cos(2PR)(IL3z-IL3x)-IL3y]；GL35Am＝2ML3[cos(γ)(Rw[e3xsin(Ψ)-Δzcos(PR)]-[e3xsin(Ψ)-Δzcos(PR)]2)+sin(γ)Δyk1[Δzcos(PR)-e3xsin(Ψ)]]；GL45A＝GL45Ai+GL45Am；GL45Ai＝GL49Ai＝cos(γ)[cos(2PL)(IL4z-IL4x)-IL4y]；GL45Am＝-2ML4[cos(γ)(Rw[e3xsin(Ψ)+Δzcos(PL)]+[e3xsin(Ψ)+Δzcos(PL)]2)+sin(γ)Δyk1[Δzcos(PL)+e3xsin(Ψ)]]；GTt4A＝-[MTtcos(γ)Rw[Rwe6]]；GA6＝GL16A；GA7＝GL27A；GA8＝GL38A；GA9＝GL49A；GA10＝GTt10A；其中GL16A＝cos(γ)[cos(ZU)[IL1z-IL1x]-IL1y]+2ML1[-k1sin(γ)e2sin(ZU)++cos(γ)(e2Rwsin(ZU)-e22sin(ZU)2+e2sin(ZU)e1cos(β))]；GL27A＝cos(γ)[cos(2ZZ)[IL2z-IL2X]-IL2y]+2ML2[k1sin(γ)e2sin(ZZ)++cos(γ)(Rwe2sin(ZZ)-e22sin(ZZ)2+e2sin(ZZ)e1cos(β))]；GL38Am＝GL35Ai+2ML3[cos(γ)(e3xsin(Ψ)Δzcos(PR)-RwΔzcos(PR)-Δz2cos(PR)2)+sin(γ)Δyk1Δzcos(PR)]；GL49Am＝GL45Ai-2ML4[cos(γ)(RwΔzcos(PL)+e3xsin(Ψ)Δzcos(PL)+Δz2cos(PL)2)+sin(γ)Δyk1Δzcos(PL)]；GTt10A=sin(γ)cos(β)[cos(2η)(ITtx-ITty)+ITtz]+12sin(2β)cos(γ)sin(2η)(ITtx-ITty)]]>GG=β··GG2+θ·w·GG3+θ·1·GG5+θ·2·GG6+θ·3·GG7+θ·4·GG8+η··GG9;]]>其中GG2＝GB2G+GL12G+GL22G+GTt2G；GB2G＝-2[sin(β)(MBe5(Rwe5c)+cos(β)(IBx-IBz))]；GL12G＝ML1(e22sin(2ZU)-e12sin(2β)-2Rw(e1sin(β)+e2cos(ZU))-2e1e2cos(ZU2B))--sin(2ZU)[IL1x-IL1z]；GL22G＝-ML2(e12sin(2β)-e22sin(2ZZ)+2Rw(e1sin(β)+e2cos(ZZ))+2e1e2cos(ZZ2B))--sin(2ZZ)[IL2x-IL2z]；GTt2G＝-sin(2β)(cos(η)2ITtx+sin(η)2ITty-ITtz)-MTtsin(β)[e6(Rwe6)]；GG3＝GW3G+GL34G+GL44G；GW3G＝-sin(2θw)[IIWShX-IIWShZ]；GL34G=2ML3(12e3x2sin(2Ψ)-12Δz2sin(2PR)-Rw(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))-Δze3xcos(P2R))-]]>-sin(2PR)[IL3x-IL3z];]]>GL44G=2ML4(12e3x2sin(2Ψ)-12Δz2sin(2PL)-Rw(Δzsin(PL)-e3xcos(Ψ))+Δze3xcos(P2L))]]>-sin(2PL)[IL4x-IL4z];]]>GG5＝GL15G；GG6＝GL26G；GG7＝GL37G；GG8＝GL48G；GG9＝GTt9G；GL15G＝ML1(e22sin(2ZU)-ze1e2cos(ZU)cos(β)-2e2Rwcos(ZU))--sin(2ZU)[IL1x-IL1z]；G0L26G＝ML2(e22sin(2ZZ)-2e1e2cos(ZZ)cos(β)-2e2Rwcos(ZZ))--sin(2ZZ)[IL2x-IL2z]；GL37G=2ML3(Δze3xsin(PR)sin(Ψ)-12Δz2sin(2PR)-RwΔzsin(PR))-]]>-sin(2PR)[IL3x-IL3z];]]>GL44G=-2ML4(12Δz2sin(2PL)+Δze3xsin(PL)sin(Ψ)-RwΔzsin(PL))-]]>-sin(2PL)[IL4x-IL4z];]]>GTt2G＝cos(β)2sin(2η)(ITty-ITtx)；GB=β··GBl+θ·1·GB4+θ·2·GB5+η··GB8;]]>其中GB1＝GL11B+GL21B+GTt1B；GL11B＝ML1k1(e1cos(β)-e2sin(ZU))；GL21B＝ML2k1(e2sin(ZZ)-e1cos(β))；GTt03=12sin(2η)sin(β)(ITty-ITtx);]]>GB4＝GL14B；GB5＝GL25B；GB8＝GTt8B；；GL14B＝-ML1k1e2sin(ZU)；GL25B＝ML2k1e2sin(ZZ)；GTt8G＝-cos(β)([ITtx-ITty]cos(η)-ITtz)；GTw+GS=θ·w·(GL3lS+GL4lS)+θ·3·GL34S+θ··GL35S;]]>其中GL31S＝ML3Δyk1[Δzcos(PR)-e3xsin(Ψ)]；GL34S＝2ML3Δyk1Δzcos(PR)；GL41S＝-ML4Δyk1[Δzcos(PL)+e3xsin(Ψ)]；GL41S＝-2ML4Δyk1Δzcos(PL)；GTl=θ·1·GL11T1;GT2=θ·2·GL21T2;GT3=θ·3·GL31T3;GT4=θ·4·GL41T4;]]>其中GL11T1＝-ML1k1e2sin(ZU)；GL21T2＝ML2k1e2sin(ZZ)；GL31T3＝ML3Δyk1Δzcos(PR)；GL41T4＝-ML4Δyk1Δzcos(PL)；GV＝GWV+GBV+GL1V+GL2V+GL3V+GL4V+GTtV；其中GWV＝-MWgRwsin(γ)；GBV＝-MBge5sin(γ))(Rw+e5cos(β))；GL1V＝ML1g(sin(γ)(e2sin(ZU)-e1cos(β)-Rw)-k1cos(γ))；GL2V＝-ML2g(sin(γ)(e2sin(ZZ)-e1cos(β)-Rw)-k1cos(γ))；GL3V＝-ML3g(sin(γ)(Δzsin(PR)-e3xsin(Ψ)+Rw)-Δyk1cos(γ))；GL4V＝ML4g(Δyk1cos(γ)-sin(γ)(Δzcos(PL)+e3xsin(Ψ)+Rw))；GTtV＝-MTtgsin(γ)Rwe6；給出一般的β運動方程為β···B03+α···B01+γ···B02+θ··w·B04+θ··1·B06+θ··2·B07+β··BB+α··BA+]]>+γ··BG+θ·1·BT1+θ·2·BT2+BV+BD=C1(λi)]]>給出β運動方程的系數(shù)為B01＝BB01+BL101+BL201+BTt01；其中BB01＝AB03；BL101＝AL103；BL201＝AL203；BTt01＝ATt03；B02＝BL102+BL202+BTt02；BL102＝ML1k1sin(2γ)(e1sin(β)+e2cos(ZU))；BL202＝-ML2k1sin(2γ)(e1sin(β)+e2cos(ZZ))；BTt02=12sin(2η)cos(β)(ITtx-ITty);]]>B03＝BB03+BL103+BL203+BTt03；BB03＝IBy+MBe52；BL103＝IL1y+ML1(e12+e22-2e1e2sin(θ1))；BL203＝IL2y+ML2(e12+e22-2e1e2sin(θ2))；ATt03＝MTte62+(sin(η)2ITtx+cos(η)2ITty)；B04＝BB04+BL104+BL204+BTt04；BB03＝MBe5Rwcos(β)；BL104＝ML1Rw(e1cos(β)-e2sin(ZU))；BL204＝ML2Rw(e1cos(β)-e2sin(ZZ))；BTt04＝MTte6Rwcos(β)；B06＝BL106；B07＝BL207；；BL106＝IL1y+ML1(e22-e1e2sin(θ1))；BL207＝IL2y+ML2(e22-e1e2sin(θ2))；BA=α··BAl+γ··BA2+θ·w·BA4+θ·1·BA6+θ·2·BA7+η··BA10;]]>其中BA1＝BB1A+BL11A+BL21A+BTt1A；BB1A=-12AB3A;BL11A=-12AL13A;BL2LA=-12AL23A;BTt1A=-12ATt3A;]]>BA2＝BB2A+BL12A+BL22A+BTt2A；BB2A＝cos(γ)[2MBe5cos(β)(Rwe5c)+IBy+cos(2β)(IBx-IBz)]；BL12A＝cos(γ)[IL1y+cos(2ZU)(IL1x-IL1z)]+2ML1[sin(γ)k1(e2in(ZU)-e1cos(β))++cos(γ)((e1cos(β)-e2sin(ZU))2+Rw(e1cos(β)-e2sin(ZU)))]；BL22A＝cos(γ)[IL1y+cos(2ZZ)(IL1x-IL1z)]+2ML1[sin(γ)k1(e1cos(β)-e2sin(ZZ))++cos(γ)((e1cos(β)-e2sin(ZZ))2+Rw(e1cos(β)-e2sin(ZZ)))]；BTt2A＝[cos(γ)[2cos(β)2(cos(η)2ITtx+sin(η)2ITty)+cos(2η)(ITty-ITtx)-cos(2β)ITtz]--sin(2η)sin(γ)sin(β)(ITty-ITtx)]+2MTtcos(β)cos(γ)e6Rwe6；BA4＝BB4A+BL14A+BL24A+BTt4A；BB4A＝sin(γ)MBe5Rwsin(β)；BL14A＝ML1Rwsin(γ)(e1sin(β)+e2cos(ZU))；BL24A＝ML2Rwsin(γ)(e1sin(β)+e2cos(ZZ))；BTt4A＝MTte6sin(γ)Rwsin(β)；BA6＝BL16A；BA7＝BL27A；BL16A＝-2ML1e1e2cos(θ1)sin(γ)；BL27A＝-2ML2e1e2cos(θ2)sin(γ)；BA10＝BTt10A；BTt10A＝sin(γ)sin(2η)(ITtx-ITty)+cos(γ)sin(β)(cos(2η)(ITty-ITtx)+ITtz)；BG=γ··BG1+η··BG9;]]>其中BG1＝BB1G+BL11G+BL21G+BTt1G；BB1G＝[sin(β)(MBe5(Rwe5c)+cos(β)(IBx-IBz))]；BL11G=-ML1(12e22sin(2ZU)-12e12sin(2β)-Rw(e1sin(β)+e2cos(ZU))-e1e2cos(ZU2B))+]]>+12sin(2ZU)[IL1x-IL1z];]]>BL21G=-ML2(12e22sin(2ZZ)···12e12sin(2β)·Rw(e1sin(β)+e2cos(ZZ))-e1e2cos(ZZ2B))+]]>+12sin(2ZZ)[IL2x-IL2z];]]>ATt02=12sin(2β)cos(γ)(cos(η)2ITtx+sin(η)2ITty-ITtx)+sin(β)MTt[e6(Rwe6)];]]>BG9＝BTt9G；BTt9G＝cos(β)(cos(2η)(ITtx-ITty)-ITtz)；BB=θ·1·BB4+θ2··BB5+η··BB8;]]>其中BB4＝BL14B；BB5＝BL25B；BB8＝BTt8B；BL14B＝-2ML1e1e2cos(θ1)；BL25B＝-2ML2e1e2cos(θ2)；BTt8B＝sin(2η)(ITtx-ITty)；BT1=θ·1·BL11T1;BT2=θ·2·BL21T2;]]>其中BL11T1＝-ML1e1e2cos(θ1)；BL21T2＝-ML2e1e2cos(θ2)；BV＝BBV+BL1V+BL2V+BTtV；其中BBV＝-MBge5sin(β)cos(γ)；BL1V＝-ML1gcos(γ)(e1sin(β)+e2cos(ZU))；BL2V＝-ML2gcos(γ)(e1sin(β)+e2cos(ZZ))；BTtV＝-MTtgsin(β)cos(γ)e6；BD=ddβ·[Dgir(β·-θ·w)2];]]>其中Dgir為車身1003與車輪1001之間的摩擦系數(shù)。C1(λi)＝λ1·a1，3+λ2·a2，3+λ3·a3，3+λ4·a4，3；a1，3＝e1cos(β)-2e2sin(ZU)；a2，3＝-(e1sin(β)+2e2cos(ZU))；a3，3＝e1cos(β)-2e2sin(ZZ)；a4，3＝-(e1sin(β)+2e2cos(ZZ))；給出一般的thetawheel運動方程為θ··w·Tw04+α···Tw01+γ···Tw02+β···TW03+θ··1·Tw06+θ··2·Tw07+θ··3·Tw08+θ··4·Tw09+]]>α··TwA+γ··TwG+β··TwB+θ·w·TwS(TwTw)+θ·1·TwT1+θ·2·TwT2+θ·3·TwT3+]]>θ·4·TwT4+TwV+TwD=C2(λi)]]>給出thetawheel運動方程的系數(shù)為Tw01＝TwW01+TwB01+TwL101+TwL201+TwL301+SL301+TwL401+SL401+TwTt01其中TwW01＝AW04；TwB01＝AB04；TwL101＝AL104；TwL201＝AL204；TwL301＝AL304；TwL401＝AL404；SL301＝ML3[sin(γ)(Δz2+e3x2+2Δze3xsin(θ3)+Rw(Δzcos(PR)-e3xsin(Ψ)))++cos(γ)Δyk1(Δzcos(PR)-e3xsin(Ψ))]+sin(γ)IL3y；SL401＝ML4[sin(γ)(Δz2+e3x2-2Δze3xsin(θ4)+Rw(Δzcos(PL)-e3xsin(Ψ)))--cos(γ)Δyk1(Δzcos(PL)-e3xsin(Ψ))]+sin(γ)IL4y；TwTt01＝ATt03；Tw02＝SL302+SL402；其中SL302＝ML3Δyk1(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))；SL402＝ML4Δyk1(e3xcos(Ψ)-Δzsin(PL))；Tw03＝TwB03+TwL103+TwL203+TwTt03；其中TwB03＝MBe5Rwcos(β)；TwL103＝ML1Rw(e1cos(β)-e2sin(ZU))；TwL203＝ML2Rw(e1cos(β)-e2sin(ZZ))；TwTt03＝MTte6Rwcos(β)；Tw04＝TwW04+TwB04+TwL104+TwL204+TwL304+2TwL305+SL305+TwL404++2TwL405+SL405+TwTt04；其中TwW04＝2IIIWShYK；TwB04＝MBRw2；TwL104＝ML1Rw2；TwL204＝ML2Rw2；TwL304＝ML3Rw2；TwL404＝ML4Rw2；TwTt04＝MTtRw2；SL305＝IL3y+ML3(Δz2+2Δze3xsin(θ3)+e3x2)；SL405＝IL4y+ML4(Δz2-2Δze3xsin(θ4)+e3x2)；Tw06＝TwL106；Tw07＝TwL207；Tw08＝TwL308+SL308；Tw09＝TwL409+SL409；；其中TwL106＝-ML1e2sin(ZU)Rw；TwL203＝-ML2e2sin(ZZ)Rw；TwL308＝ML3Δzcos(PR)Rw；TwL409＝ML4Δzcos(PL)Rw；SL308＝IL3y+ML3(Δz2+Δze3xsin(θ))；SL409＝IL4y+ML4(Δz2-Δze3xsin(θ4))；TwA=α··TwA1+γ··TwA2+β··TwA3+θ·1·TwA6+θ·2·TwA7+θ·3·TwA8+θ·4·TwA9;]]>其中TwA1=TwW1A+SL31A+SL41A=-12AA4;]]>TwA2＝TwW2A+TwB2A+TwL12A+TwL22A+TwL32A+SL32A+TwL42A++SL42A+TwTt2A；其中TwW2A＝2cos(γ)[IIIWShYK-cos(2θw)(IIWShZ-IIWShX)]；TwB2A＝MBRwcos(γ)(Rwe5c)；TwL12A＝ML1[cos(γ)(Rw2+Rw(e1cos(β)-e2sin(ZU)))-Rwk1sin(γ)]；TwL22A＝ML2[cos(γ)(Rw2+Rw(e1cos(β)-e2sin(ZZ)))+Rwk1sin(γ)]；TwL32A＝ML3[cos(γ)(Rw2+Rw(Δzcos(PR)-e3xsin(Ψ)))-Rwsin(γ)Δyk1]；TwL42A＝ML4[cos(γ)(Rw2+Rw(Δzcos(PL)+e3xsin(Ψ)))+Rwsin(γ)Δyk1]；SL32A＝2ML3[cos(γ)((e3xcos(Ψ)+Δzsin(PR))2+Rw(Δzcos(PR)-e3xsin(Ψ)))--sin(γ)Δyk1(Δzcos(PR)-e3xsin(Ψ))]+cos(γ)[IL3y-cos(2PR)(IL3z-IL3x)]；SL42A＝2ML4[cos(γ)((e3xcos(Ψ)-Δzsin(PL))2+Rw(Δzcos(PL)+e3xsin(Ψ)))++sin(γ)Δyk1(Δzcos(PL)+e3xsin(Ψ))]+cos(γ)[IL4y-cos(2PL)(IL4z-IL4x)]；TwTt2A＝[MTtcos(γ)Rw[Rwe6]]；TwA3＝TwB3A+TwL13A+TwL23A+TwTt3A＝AB2；TwA6＝TwL16A＝AL13Tw；TwA7＝TwL27A＝AL24Tw；TwA8＝TwL38A(＝AL35Tw)+SL38A；TwA9＝TwL49A(＝AL46Tw)+SL49A；SL38A＝2ΔzML3sin(γ)e3xcos(θ3)；SL49A＝2ΔzML4sin(γ)e3xcos(θ4)；TwG＝γ&(TwW1G+SL31G+SL41G)；其中TwW1G+SL31G+SL41G=-12GG3;]]>TwB=β··TwB1+θ·1·TwB4+θ·2·TwB5;]]>其中TwB1＝TwB1B+TwL11B+TwL21B+TwTt1B；TwB1B＝-MBe5Rwsin(β)；TwTt1B＝-MTte6Rwsin(β)；TwL11B＝-RwML1(e1sin(β)+e2cos(ZU))；TwL21B＝-RwML2(e1sin(β)+e2cos(ZZ))；TwB4＝TwL14B；TwB5＝TwL25B；；TwL14B＝-2RwML1e2cos(ZU)；TwL25B＝-2RwML2e2cos(ZZ)；TwS=θ·w·(TwL3LS+TwL41S)+θ·3·(TwL34S+TwL44S)+θ·4·(TwL35S+TwL45S);]]>其中TwL31S＝-ML3Rw(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))；TwL41S＝ML4Rw(e3xcos(Ψ)-Δzsin(PL))；TwL34S＝-2RwML3Δzsin(PR)；TwL34S＝2ΔzML3e3xcos(θ3)；TwL45S＝-2RwML4Δzsin(PL)；TwL45S＝-2ΔzML4e3xcos(θ4)；TwT1=θ·1·TwL1T1;TwT2=θ·2·TwL21T2;]]>TwT3=θ·3·(TwL31T3+SL31T3);TwT4=θ·4·(TwL41T4+SL41T4);]]>其中TwL11T1＝-RwML1e2cos(ZU)；TwL21T2＝-RwML2e2cos(ZZ)；TwL31T3＝-RwML3Δzsin(PR)；SL31T3＝ΔzML3e3xcos(θ3)；TwL41T4＝-RwML4Δzsin(PL)；SL45S＝-ΔzML4e3xcos(θ4)；TwV＝SL3V+SL4V；其中SL3V＝-ML3gcps(γ)(Δzsin(PR)+e3xcos(Ψ))；SL4V＝ML4gcos(γ)(e3xcos(Ψ)-Δzsin(PL))；其中Dgir為車身與車輪之間的摩擦系數(shù)。C2(λi)＝λ1·a1，5+λ2·a2，5+λ3·a3，5+λ4·a4，5；a1，5＝e3xsin(Ψ)-e4Lcos(PR)；a2，5＝e3xcos(Ψ)+e4Lsin(PR)；a3，5＝-e3xsin(Ψ)+e4Lcos(PL)；a4，5＝e4Lsin(PL)-e3xcos(Ψ)；給出完整約束下一般的theta1運動方程為θ··1·T106+β···T103+θ··w·1T104+θ··3·T108+θ·3·T1T1+β··T1B+θ·w·T1S+θ·3·T1T3=0]]>給出theta1運動方程的系數(shù)為T103＝(e1sin(β)+2e2cos(ZU))；T104＝-(e3xcos(Ψ)+e4Lsin(PR))；T106＝2e2eos(ZU)；T108＝-e4Lsin(PR)；T1B=β··(e1cos(β)-2e2sin(ZU))-θ·1·4e2sin(ZU);]]>T1S=-Ψ··(e4Lcos(PR)-e3xsin(Ψ))-θ·3·(2e4Lcos(PR));]]>T1T1=-θ·1·2e2sin(ZU);T1T3=-θ·3·(e4Lcos(PR));]]>給出完整約束下一般的theta2運動方程為θ··2·T207+β···T203+θ··w·T204+θ··4·T209+θ·2·T2T2+β··T2B+θ·w·T2S+θ·4·T2T4=0]]>給出theta2運動方程的系數(shù)為T203＝(e1sin(β)+2e2cos(ZZ))；T204＝-(e4Lsin(PL)-e3xcos(Ψ))；T207＝2e2cos(ZZ)；T209＝-e4Lsin(PL)；T2B=β··(e1cos(β)-2e2sin(ZZ))-θ·2·4e2sin(ZZ);]]>T2S=-Ψ··(e4Lcos(PL)+e3xsin(Ψ))-θ·4·(2e4Lcos(PL));]]>T2T2=-θ·2·2e2sin(ZZ);T1T4=-θ·4·(e4Lcos(PL));]]>給出完整約束下一般的theta3運動方程為θ··3·T308+β···T303+θw···T304+θ··1·T306+θ·3·T3T3+β··T3B+θw··T3S+θ·1·T3T1=0]]>給出theta3運動方程的系數(shù)為T303＝-(e1cos(β)-2e2sin(ZU))；T304＝-(e3xsin(Ψ)-e4Lsin(PR))；T306＝2e2sin(ZU)；T38＝e4Lcos(PR)；T3B=β··(e1sin(β)+2e2cos(ZU))+θ·1·4e2cos(ZU);]]>T3S=-Ψ··(e4Lsin(PR)+e3xcos(Ψ))-θ·3·(2e4Lsin(PR));]]>T3T1=θ·1·2e2cos(ZU);T3T3=-θ·3·(e4Lsin(PR));]]>給出完整約束下一般的theta4運動方程為θ··4·T409+β···T403+θ··w·T404+θ··2·T407+θ·4·T4T4+β··T4B+θ·w·T4S+θ·2·T4T2=0]]>給出theta4運動方程的系數(shù)為T403＝-(e1cos(β)-2e2sin(ZZ))；T404＝(e4Lcos(PL)+e3xsin(Ψ))；T407＝2e2sin(ZZ)；T409=e4Lcos(PL);T4B=β··(e1sin(β)+2e2cos(ZZ))+θ·2·4e2cos(ZZ);]]>T4S=Ψ··(e3xcos(Ψ)-e4Lsin(PL))-θ·4·(2e4Lsin(PL));]]>T4T2=θ·2·2e2cos(ZZ);T1T4=-θ·4·(e4Lsin(PL));]]>給出一般的η運動方程為η···N10+α···N01+γ···N02+α··NA+γ··NG+β··NB+ND=τ3;]]>給出η運動方程的系數(shù)為N01＝NTt01；N02＝NTt02；N10＝NTt10；其中NTt01＝ITtzcos(γ)cos(β)；NTt01＝ITtzsin(β)；NTt01＝ITtz;NA=α··NA1+γ··NA2+β··NA3;]]>其中NA1=-12[sin(2η)(sin(γ)2-cos(γ)2sin(β)2)-cos(2η)sin(2γ)sin(β)](ITtx-ITty);]]>NA2=-[ITizcos(β)sin(γ)+(cos(2η)sin(γ)cos(β)+12sin(2β)cos(γ)sin(2η))(ITix-ITiy)]]]>NA3＝-[ITtzsin(β)cos(γ)+(sin(γ)sin(2η)-cos(2η)cos(γ)sin(β))(ITtx-ITty)]；NG=γ··NG1+β··NG2;]]>其中NG1=-12cos(β)2sin(2η)(ITiy-ITix);NG2=cos(β)[ITiz-cos(2η)(ITix-ITiy)];]]>NB=β··NB1;where:NB1=12sin(2η)(ITty-ITtx);]]>ND=ddη·[DTtglr(η·)2];]]>其中DTtgir為轉(zhuǎn)車臺轉(zhuǎn)子的摩擦系數(shù)。τ3為轉(zhuǎn)車臺的扭矩。給出一般的λ方程為λ1=TH3·a2,6-TH1·a2,8a1.8·a2.6-a2,8·a1,6;]]>λ2=TH1·a1,8-TH3·a1,6a1.8·a2.6-a2,8·a1,6;]]>λ3=TH2·a4,9-TH4·a4,7a4,9·a3,7-a3,9·a4,7;]]>λ4=TH4·a3,7-TH4·a3,9a4,9·a3,7-a3,9·a4,7;]]>給出λ方程的系數(shù)為a1，3＝e1cos(β)-2e2sin(ZU)；a1，5＝e3xsin(Ψ)-e4Lcos(PR)；a2，3＝-(e1sin(β)+2e2cos(ZU))；a2，5＝e3xcos(Ψ)+e4Lsin(PR)；a3，3＝e1cos(β)-2e2sin(ZZ)；a3，5＝-e3xsin(Ψ)+e4Lcos(PL)；a4，3＝-(e1sin(β)+2e2cos(ZZ))；a4，5＝e4Lsin(PL)-e3xcos(Ψ)；a1，6＝-2e2sin(ZU)；a1，8＝-e4Lcos(PR)；a2，6＝-2e2cos(ZU)；a2，8＝e4Lsin(PR)；a3，7＝-2e2sin(ZZ)；a3，9＝-e4Lcos(PL)；a4，7＝-2e2cos(ZZ)；a4，9＝e4Lsin(PL)；TH1=α···T101+γ···T102+β···T103+θ··w·T104+θ··1·T106+α··T1A]]>+γ··T1G+β··T1B+T1V+T1D;]]>其中T101＝AL106；T102＝GL106；T103＝BL106；T104＝TwL106；T106＝IL1y+ML1e22；T1A=α··T1A1+γ··T1A2+β··T1A3+θ·w·T1A4;]]>其中T1A1=12ML1[cos(γ)2e22sin(2ZU)+cos(ZU)e2(2sin(γ)2[eIcos(β)+Rw]+k1sin(2γ))+]]>+(e1sin(β)e2sin(ZU))]-12sin(2ZU)cos(γ)2[IL1x-IL1z];]]>T1A2＝cos(γ)[IL1y-cos(2ZU)[IL1z-IL1x]]+2ML1[k1sin(γ)e2sin(ZU)++cos(γ)(e22sin(ZU)2-e2sin(ZU)Rw-e2sin(ZU)e1cos(β))]；TLA3＝2ML1e1sin(γ)e2cos(θ1)；T1A4＝RwML1sin(γ)e2cos(ZU)；T1G=γ··T1G1;T1B=β··T1B1;]]>T1G1=12ML1(e22sin(2ZU)+2e2cos(ZU)(Rw+e1cos(β)))+12sin(2ZU)[IL1x-IL1z];]]>T1B1＝ML1e1e2cos(θ1)；T1V＝-ML1gcos(γ)e2cos(ZU)；T1D=DL1_Bθ·1;]]>DL1_B為連接L1與車身之間接合點的粘滯摩擦系數(shù)。TH2=α···T201+γ···T202+β···T203+θ··w·T204+θ··2·T207+α··T2A+]]>+γ··T2G+β··T2B+T2V+T2D;]]>其中T201＝AL207；T202＝GL207；T203＝BL207；T204＝TwL207；T207＝IL2y+ML2e22；T2A=α··T2A1+γ··T2A2+β··T2A3+θ·w·T2A4;]]>其中T2A1=12ML2[cos(γ)2e22sin(2ZZ)+cos(ZZ)e2(2sin(γ)2[e1cos(β)+Rw]-k1sin(2γ))+]]>+(e1sin(β)e2sin(ZZ))]-12sin(2ZZ)cos(γ)2[IL2x-IL2z];]]>T2A2＝cos(γ)[IL2y+cos(2ZZ)[IL2z-IL2x]]+2ML1[-k1sin(γ)e2sin(ZZ)++cos(γ)(e22sin(Z2)2-e2sin(Z2)Rw-e2sin(Z2)e1cos(β))]；T2A3＝2ML2e1sin(γ)e2cos(θ2)；T2A4＝RwML2sin(γ)e2cos(ZZ)；T2G=γ··T2G1;T2B=β··T2B1;]]>T2G1=-12ML2(e22sin(2ZZ)-2e2cos(ZZ)(Rw+e1cos(β)))+12sin(2ZZ)[IL2x-IL2z];]]>T2B1＝ML2e1e2cos(θ2)；T2V＝-ML2gcos(γ)e2cos(ZZ)；T2D=DL2_Bθ·2;]]>其中，DL2_B為連接L2與車身之間接合點的粘滯摩擦系數(shù)。TH3=α···T301+γ···T302+β···T303+θ··w·(T304+T305)+θ··3·T308+α··T3A+]]>+γ··T3G+θ··T3S+T3V+T3D-τ1;]]>其中T301＝AL308；T302＝GL308；T303＝BL308；T304＝TwL308；T305＝SL308；T308＝IL3y+ML3Δz2；T3A=α··T3A1+γ··T3A2+β··T3A3+θ·w·(T3A4+T3A5);]]>其中T3A1=-12sin(2PR)cos(γ)2[IL3x-IL3y]-mL3[cos(γ)2(12Δz2sin(2PR)+Δzsin(Ψ)e3xsin(PR))-]]>+Δzcos(θ3)e3x-sin(γ)2RwΔzsin(PR)-12Δyk1sin(2γ)Δzsin(PR)];]]>T3A2＝cos(γ)[[IL3x-IL3z]cos(2PR)+IL3y]-2ML3[sin(γ)Δyk1Δzcos(PR)--cos(γ)(Δz2cos(PR)2+Δzcos(PR)(Rw-sin(Ψ)e3x))]；T3A4＝ML3Δzsin(γ)Rwsin(PR)；T3A5＝-2ΔzML3sin(γ)e3xcos(θ3)；T3G=γ··T3G1;T3S=θ·w·T3S1;]]>T3G1=-ML3(Δzsin(PR)e3xsin(Ψ)-12Δz2sin(2PR)-Δzsin(PR)Rw)+12sin(2PR)[IL3x-IL3z];]]>T3S1＝-ML3Δzcos(θ3)e3x；T3V＝-ML3gcos(γ)Δzsin(PR)；T3D=DL3_L1·θ3·;]]>DL3_L1為連接L3與L1之間接合點的粘滯摩擦系數(shù)。τ1為右連接馬達的扭矩。TH4=α···T401+γ···T402+β···T403+θ··w·(T404+T405)+θ··4·T409+α··T4A+]]>+γ··T4G+θ··T4S+T4V+T4D+τ2;]]>其中T401＝AL409；T402＝GL409；T403＝BL409；T404＝TwL409；T405＝SL409；T409＝IL4y+ML4Δz2；T4A=α··T4A1+γ··T4A2+β··T4A3+θ·w·(T4A4+T4A5);]]>其中T4A1=-12sin(2PL)cos(γ)2[IL4x-IL4z]-ML4[cos(γ)2(12Δz2sin(2PL)+Δzsin(ψ)e3xsin(PL))-]]>-Δzcos(θ4)e3x-sin(γ)2RwΔzsin(PL)+12Δyk1sin(2γ)Δzsin(PL)];]]>T4A2＝cos(γ)[[IL3x-IL3z]cos(2PL)+IL3y]+2ML3[sin(γ)Δyk1Δzcos(PL)++cos(γ)(Δz2cos(PL)2+Δzcos(PL)(Rw+sin(Ψ)e3x))]；T4A4＝ML4Δzsin(γ)Rwsin(PL)；T4A5＝2ΔzML4sin(γ)e3xcos(θ4)；T4G=γ··T4G1;T4S=θw··T4S1;]]>T4G1=ML4(12Δz2sin(2PL)+Δzsin(PL)e3xsin(Ψ)+Δzsin(PL)Rw)+12sin(2PL)[IL3x-IL3z];]]>T4S1＝ML4Δzcos(θ4)e3x；T4V＝-ML4gcos(γ)Δzsin(PL)；T4D=DL4_L2θ·4;]]>DL4_L2為連接L4與L2之間接合點的粘滯摩擦系數(shù)。τ2為左連接馬達的扭矩。給出C1...C6的一般方程為C1＝λ1·a1，3+λ2·a2，3+λ3·a3，3+λ4·a4，3；C2＝λ1·a1，5+λ2·a2，5+λ3·a3，5+λ4·a4，5；C3＝λ1·a1，6+λ2·a2，6；C4＝λ3·a3，7+λ4·a4，7；C5＝λ1·a1，8+λ2·a2，8；C6＝λ3·a3，9+λ4·a4，9；給出受控扭矩的一般方程為τ1=-τ2=-K1β-K2β·;τ3=K3γ+K4γ·;]]>其中K1、K2、K3和K4為通過軟件技術(shù)(例如，模糊控制器)得到的PD控制器的模糊增益系數(shù)。圖11示出了有無代數(shù)環(huán)進行模擬時，基于上述單輪腳踏車運動方程模擬的α角比較的示意性標繪圖。圖12示出了有無代數(shù)環(huán)進行模擬時，基于上述單輪腳踏車運動方程模擬的β角比較的示意性標繪圖。圖13示出了有無代數(shù)環(huán)進行模擬時，基于上述單輪腳踏車運動方程模擬的γ角比較的示意性標繪圖。在圖11至13中，有代數(shù)環(huán)計算得到的模擬結(jié)果概略地位于無代數(shù)環(huán)計算得到的模擬結(jié)果的上方。因此，正如圖11至圖13所顯示的，有無代數(shù)環(huán)的模擬產(chǎn)生基本上相同的結(jié)果，消除代數(shù)環(huán)的益處在于速度的明顯加快。取決于被模擬的方程，其速度可以提高高達200倍或更多。標題為“基于軟計算的智能化機械控制懸架系統(tǒng)(INTELLIGENTMECHATRONICCONTROLSUSPENSIONSYSTEMBASEDONSOFTCOMPUTING)”的美國專利申請No.10/033370描述了用于產(chǎn)生具有選定隨機特性的非線性隨機過程的形成濾波器結(jié)構(gòu)，該專利的整個內(nèi)容在此被結(jié)合作為參考。在一個實施例中，圖3A、3B、4、6和7所示的系統(tǒng)可以被用于模擬一個非線性形成濾波器(formingfilter)，其描述如下α0x··+α1x2x·+α2x3+α3x(xx··+x·2)+α4x·+ω2x=ξ(t)]]>其中x為坐標，為速度，為加速度，ξ(t)為白噪聲，α1，i＝0，...，4為模型參數(shù)。在一個實施例中，α0＝0.01，α1＝0.5，α2＝0.0并且α3＝0.2，α4＝0.2。圖14示出了使用有代數(shù)環(huán)的濾波器產(chǎn)生非高斯有色隨機過程的位置、速度及加速度結(jié)果。圖15示出了使用沒有代數(shù)環(huán)的濾波器產(chǎn)生非高斯有色隨機過程的位置、速度及加速度結(jié)果。圖16示出了產(chǎn)生的隨機過程的相圖以及不同濾波器輸出之間的關(guān)系。圖17示出了對隨機過程產(chǎn)生的時間復雜度評估。盡管結(jié)合特定實施例描述了本發(fā)明，本領(lǐng)域的技術(shù)人員將會想到其他實施例。應被理解的是，上面所描述的實施例只是以范例而非限制的方式給出，并且，本發(fā)明應由所附的權(quán)利要求來限定。權(quán)利要求1.一種有效的數(shù)值積分方法，用于模擬具有基本上非線性的、包含高階導數(shù)的非線性微分方程，包括提供一個或多個輸入變量給一方程組；使用所述輸入變量由所述方程組計算一個或多個輸出；對至少一個選定輸出積分，以產(chǎn)生一積分輸出；對所述積分輸出微分，以產(chǎn)生一重構(gòu)的選定輸出；以及把所述重構(gòu)的選定輸出作為下一個輸入提供到所述方程組。2.一種具有非線性的、包含高階導數(shù)的非線性微分方程的隨機模擬方法，包括定義有一代數(shù)環(huán)的非線性微分方程組，其中至少一個方程的一輸出變量也是所述至少一個方程的一輸入，所述輸出變量對應于所述輸出變量代表的量的n階導數(shù)；通過下述方法定義消除所述代數(shù)環(huán)的一模擬系統(tǒng)對所述輸出變量積分，以產(chǎn)生一積分輸出變量，所述積分輸出變量對應于由所述輸出變量代表的所述量的n-1階導數(shù)；提供所述積分輸出變量到所述至少一個方程的輸入；以及對所述積分輸出變量微分，并提供所述積分的一輸出到所述至少一個方程的一輸入；以及使用歐拉型方法來數(shù)值評估所述模擬系統(tǒng)。3.根據(jù)權(quán)利要求2的方法，其中還包括提供一個或多個輸入到一控制系統(tǒng)；從所述一個或多個輸入計算出一控制輸出到所述控制系統(tǒng)；以及提供所述控制輸出到所述方程組的至少一個輸出。4.根據(jù)權(quán)利要求2的方法，其中還包括使用一控制器產(chǎn)生一控制信號，所述控制器接收來自一第一信息信號的輸入，所述第一信息信號包含所述方程組的至少一個變量；從所述信息信號計算熵；使用所述熵計算一教學信號；使用所述教學信號教導所述控制器。5.根據(jù)權(quán)利要求4的方法，其中還包括使用所述教學信號訓練一神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。6.根據(jù)權(quán)利要求5的方法，其中所述教學信號通過一遺傳分析器計算。7.根據(jù)權(quán)利要求6的方法，其中所述遺傳分析器的一適應函數(shù)是以所述信息信號為基礎(chǔ)的。8.根據(jù)權(quán)利要求6的方法，其中所述遺傳分析器的一適應函數(shù)被設(shè)定為降低所述第一信息信號的熵。9.根據(jù)權(quán)利要求5的方法，其中所述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為一模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。10.根據(jù)權(quán)利要求5的方法，其中所述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為一由所述教學信號教導的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。11.根據(jù)權(quán)利要求5的方法，其中所述教學信號的計算包含運行一遺傳分析器，所述遺傳分析器具有一降低所述方程組熵的適應函數(shù)。12.一種用于模擬控制被描述為非線性微分方程組的設(shè)備的模擬系統(tǒng)，包含一設(shè)備模擬模塊，其被設(shè)定成計算基于一個或多個設(shè)備變量的方程組的另一個設(shè)備輸出，其中同樣作為所述方程組輸入的來自所述方程組的輸出變量，在作為輸入提供到所述方程組之前，先積分，然后再微分；通過計算一教學信號來產(chǎn)生所述教學信號的裝置，以產(chǎn)生降低所述設(shè)備熵的控制；由所述教學信號指導的產(chǎn)生一增益排表的裝置；以及控制裝置，其使用至少一個所述設(shè)備變量及所述增益排表來產(chǎn)生一控制信號。13.根據(jù)權(quán)利要求12的控制系統(tǒng)，其中所述用以產(chǎn)生一增益排表的裝置包含一遺傳分析器。14.一種用于模擬控制被描述為非線性微分方程組的設(shè)備的裝置，包含一設(shè)備模擬模塊，其被設(shè)定成計算基于一個或多個設(shè)備變量的方程組的另一個設(shè)備輸出，其中同樣作為所述方程組輸入的來自所述方程組的輸出變量，在作為輸入提供到所述方程組之前，先積分，然后再微分；以及一多路復用器，其被設(shè)定成根據(jù)一模擬算法提供所述輸入到所述方程組。15.根據(jù)權(quán)利要求14的裝置，其中所述模擬算法為一階歐拉算法。16.根據(jù)權(quán)利要求14的裝置，其中所述模擬算法為龍格—庫塔算法。17.根據(jù)權(quán)利要求14的裝置，其中還包含一分析器，用于通過計算一教學信號來產(chǎn)生所述教學信號，以產(chǎn)生降低所述設(shè)備熵的控制；一模糊邏輯分類器模塊，用以產(chǎn)生由所述教學信號指導的一增益排表；以及一控制模塊，其使用至少一個所述設(shè)備變量及所述增益排表來產(chǎn)生一控制信號。18.根據(jù)權(quán)利要求17的控制系統(tǒng)，其中所述產(chǎn)生一增益排表的裝置包含一遺傳分析器。19.一種用于模擬控制通過一個或多個微分方程進行描述的非線性設(shè)備的自組織方法，包括獲得設(shè)備熵的時間微分(dSu/dt)與從一控制該設(shè)備的低電平控制器提供到該設(shè)備的熵的時間微分(dSc/dt)之差；通過一遺傳算法中的進化來進化一控制規(guī)則，所述遺傳算法使用所述差作為一適應函數(shù)；通過下述方法消除來自所述模擬的代數(shù)環(huán)積分同樣作為所述方程組輸入的所述方程組的輸出，以產(chǎn)生積分輸出，微分所述積分輸出，以產(chǎn)生重構(gòu)輸入，提供所述重構(gòu)輸入到所述方程組，通過根據(jù)歐拉或龍格—庫塔方法從所述方程組之前的輸出計算所述方程組新的輸入，來模擬所述非線性設(shè)備的工作。20.根據(jù)權(quán)利要求19的方法，其中還包括使用李雅譜諾夫函數(shù)分析所述物理設(shè)備的一個或多個非線性工作特性；并且基于進化來校正所述控制規(guī)則。21.根據(jù)權(quán)利要求19的方法，其中還包括通過使用一遺傳算法相對于所述低電平控制器的一個變量進化一控制規(guī)則，所述遺傳算法使用降低所述設(shè)備熵的時間微分(dSu/dt)與由所述低電平控制器提供到所述設(shè)備的熵的時間微分(dSc/dt)之差的適應函數(shù)；以及基于所述進化控制規(guī)則校正所述低電平控制器的變量。22.一種適用于控制非線性設(shè)備的控制裝置，包括一模擬器，其被設(shè)定成使用一非線性微分方程組根據(jù)歐拉方法模擬一非線性設(shè)備的工作，其中同樣作為所述方程組輸入的來自所述方程組的輸出，在被提供為所述方程組的輸入之前，先積分，然后再微分；一熵計算器，其基于所述設(shè)備熵的時間微分(dSu/dt)與由控制所述裝置的一低電平控制器提供到所述設(shè)備的熵的時間微分(dSc/dt)之差來計算熵產(chǎn)生量；一遺傳算法模塊，其獲得一使所述差最小化的適應函數(shù)；以及一模糊邏輯分類器，其被設(shè)定成使用學習過程來確定一模糊規(guī)則，所述模糊邏輯控制器被設(shè)定成使用一來自所述遺傳算法的輸出作為一教學信號，所述模糊邏輯控制器還被設(shè)定成形成一控制規(guī)則，該控制規(guī)則通過跟蹤所述模糊規(guī)則來設(shè)置所述控制器的變化增益。23.根據(jù)權(quán)利要求22的裝置，其中所述模糊邏輯分類器包含一模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其被設(shè)定成通過使用所述學習過程來形成所述模糊規(guī)則的一查找表；以及一模糊控制器，其被設(shè)定成產(chǎn)生一用于控制所述設(shè)備的控制器的變化增益排表。24.根據(jù)權(quán)利要求22的裝置，其中所述低電平控制器為一線性控制器。25.根據(jù)權(quán)利要求22的裝置，其中所述低電平控制器為一PID控制器。26.一種用于模擬具有包含高階導數(shù)非線性的非線性微分方程的模擬裝置，包含一方程模塊，用于計算一非線性微分方程組，其中至少一個方程的一輸出變量也是所述至少一個方程的一輸入，所述輸出變量對應于由所述輸出變量代表的量的n階導數(shù)；一積分器模塊，其被設(shè)定成積分所述輸出變量，以產(chǎn)生一積分輸出變量，所述積分輸出變量對應于由所述輸出變量代表的所述量的n-1階導數(shù)；一微分器模塊，其被設(shè)定成微分所述積分輸出變量，以將所述輸出變量重構(gòu)成一重構(gòu)輸出變量；以及一多路復用器，其被設(shè)定成接收所述積分輸出變量和所述重構(gòu)輸出變量，并根據(jù)一求解方法來計算所述方程模塊的新的輸入。27.根據(jù)權(quán)利要求26的裝置，其中所述求解方法為歐拉方法。28.根據(jù)權(quán)利要求26的裝置，其中所述求解方法為龍格—庫塔方法。29.根據(jù)權(quán)利要求26的裝置，其中所述非線性微分方程組描述一單輪腳踏車。30.根據(jù)權(quán)利要求26的裝置，其中所述非線性微分方程組包含一單輪腳踏車的模擬模型。31.根據(jù)權(quán)利要求26的裝置，其中所述非線性微分方程組包含一懸架架系統(tǒng)的模擬模型。32.根據(jù)權(quán)利要求26的裝置，其中所述非線性微分方程組包含一個在一隨機道路信號面前的懸架系統(tǒng)的模擬模型。全文摘要本發(fā)明描述了動態(tài)系統(tǒng)有效隨機模擬的系統(tǒng)和方法。由于隨機微分方程通常無法找到分析解，其完整分析要求數(shù)值模擬。通常這些模擬絕大部分由一階歐拉型算法來處理。通過消除模擬內(nèi)的代數(shù)環(huán)改善這些算法的效率。當方程組的輸出變量也是描述系統(tǒng)的一個或多個方程的輸入變量時，會出現(xiàn)代數(shù)環(huán)。在一個實施例中，通過用公式表達模擬，引起代數(shù)環(huán)的輸出變量被積分以產(chǎn)生積分輸出，從而消除代數(shù)環(huán)。該積分輸出隨后被提供到一微分器，在需要時重構(gòu)輸出變量。文檔編號G06F17/10GK1672146SQ03818152公開日2005年9月21日申請日期2003年7月28日優(yōu)先權(quán)日2002年7月30日發(fā)明者謝爾蓋·V·烏里揚諾夫,謝爾蓋·潘菲洛夫申請人:雅馬哈發(fā)動機株式會社